2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)《考點(diǎn)·題型·難點(diǎn)》期末高效復(fù)習(xí)（人教版）第07講：相似（必刷9大考題+9大題型）解析版

第第頁第07講：相似【考點(diǎn)歸納】考點(diǎn)一：比例的性質(zhì)考點(diǎn)二：相似圖形和性質(zhì)考點(diǎn)三：平行線分線段成比例定理考點(diǎn)四：相似三角形的判定考點(diǎn)五：相似三角形的性質(zhì)考點(diǎn)六：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)七：位似考點(diǎn)八：相似三角形的動(dòng)點(diǎn)問題考點(diǎn)九：相似三角形的綜合問題【知識(shí)歸納】1.相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。2.相似三角形的判定方法:根據(jù)相似圖形的特征來判斷。（對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等）

eq\o\ac(○,1).平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（預(yù)備定理）

eq\o\ac(○,2).如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似；（“角角”）

eq\o\ac(○,3.)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似；（“邊比角邊比”）

eq\o\ac(○,4.)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似；（“邊邊邊比”）3.直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。（“斜邊直角邊比”）

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。4.相似三角形的性質(zhì):eq\o\ac(○,1).相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。

eq\o\ac(○,2.)相似三角形周長的比等于相似比。

eq\o\ac(○,3).相似三角形面積的比等于相似比的平方。5、（1）位似圖形的概念：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．（2）位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．【題型歸納】題型一：比例的性質(zhì)1．（2023上·湖南株洲·九年級(jí)校考期末）已知，則的值為(

)A． B． C．2 D．【答案】B【分析】本題考查比例的性質(zhì)，分式的約分等知識(shí)，設(shè)，求出a、b、c，再代入中約分即可得解，運(yùn)用“設(shè)k法”求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，則，∴，故選：B．2．（2023下·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則（

）A．?3 B．3 C． D．【答案】C【分析】由，可得，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，熟練地把比例式化為等積式是解本題的關(guān)鍵．3．（2022上·廣東佛山·九年級(jí)?？计谀┮阎?，若，則（

）A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A【分析】利用等比性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，故選A．題型二：相似圖形和性質(zhì)4．（2023上·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術(shù)墻．下面是王亮從藝術(shù)墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內(nèi)、外邊框的圖形不一定相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)圖形相似的概念進(jìn)行解答即可．【詳解】解：兩個(gè)矩形不一定相似，但兩個(gè)正方形、兩個(gè)等邊三角形及兩個(gè)圓一定相似，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)圖形的相似，掌握相似多邊形的概念（即邊數(shù)相同的兩個(gè)多邊形，如果對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例）是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把矩形對(duì)折，折痕為，如果矩形和矩形相似，則它們的相似比為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】此題主要考查了相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，設(shè)矩形的長，寬，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得．【詳解】解：設(shè)矩形的長，寬，則，矩形與矩形相似，，即，即．．故選：A．6．（2023上·浙江嘉興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形與四邊形是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心．若，四邊形的面積是25，則四邊形的面積是（

）A．4 B．10 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得四邊形與四邊形相似比為，求出，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形與四邊形是位似圖形，，∴四邊形與四邊形相似比為，∴，∵四邊形的面積是25，∴四邊形的面積為，故A正確．故選：A．題型三：平行線分線段成比例定理7．（2023上·陜西渭南·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和，已知，若，則的長為（

）

A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，根據(jù)題意可得，設(shè)，則，由此即可求解，掌握平行線的分線段成比例，比例的性質(zhì)，解方程的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，設(shè)，則，∴，解得，，∴的長為，故選：．8．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，與相交于點(diǎn)，且，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．【詳解】解：A．，則，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，則，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，則，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；D．，則，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．9．（2023上·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，直線，另兩條直線分別交于點(diǎn)及點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，進(jìn)而求出，再根據(jù)線段之間的關(guān)系逐一判斷即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴，，∴，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)符合題意，故選A．題型四：相似三角形的判定10．（2023上·吉林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的邊上一點(diǎn)，則能得到的條件為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定方法：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，判斷即可．【詳解】解：由圖可得：，，即時(shí)，．故選：A．11．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)校考期末）如圖，在中，點(diǎn)P在邊上，則在下列條件中，不能證明相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了相似三角形的判定：有兩組角相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，熟記判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．當(dāng)時(shí)，，，故A不符合題意；B．當(dāng)時(shí)，，，故B不符合題意；C．當(dāng)時(shí)，即，而，∴所以不能判定和相似，故C符合題意．D．當(dāng)時(shí)，∵，，故D不符合題意．故選：C．12．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，下列條件中不能判定和相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，判定A、B選項(xiàng)；根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，判定C、D選項(xiàng)．【詳解】解：A、∵，，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，，∴不能判定和相似，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵，，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．題型五：相似三角形的性質(zhì)13．（2023上·海南?？凇ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持，當(dāng)時(shí)，則的長為（）

A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用等量代換可得，然后利用兩角相等的兩個(gè)三角形的相似證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長，進(jìn)而求出的長．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022上·廣西百色·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如下圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得解．【詳解】解：∵△ABC∽△ADB，∴，∴AB2=AC?AD．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對(duì)應(yīng)位置上并準(zhǔn)確確定出對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．15．（2022下·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形與矩形是位似圖形，點(diǎn)是位似中心．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為可得，由矩形與矩形是位似圖形可得，，從而得到，，由相似三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)行計(jì)算可得，從而得到答案．【詳解】解：四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，矩形與矩形是位似圖形，，，，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，四邊形是矩形，，即，，解得：，，故選：B．題型六：相似三角形的實(shí)際應(yīng)用16．（2023上·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)，并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：依題意，，根據(jù)物距為，像距為，得，即可作答．【詳解】解：如圖：依題意，∵物距為，像距為∴∵蠟燭火焰倒立的像的高度是∴∴故選：A17．（2023上·山西太原·九年級(jí)期末）如圖，為了確定路燈燈泡的位置，小明與小亮選取了長1米的標(biāo)桿，小明測(cè)得標(biāo)桿在路燈下的影長米，從點(diǎn)B出發(fā)沿著所在直線行走7.5米時(shí)恰好在路燈的正下方．據(jù)此可得，路燈燈泡離地面的距離為（

）A．5.6米 B．6米 C．6.4米 D．7.5米【答案】B【分析】如圖，為燈泡離地面的高度，證明，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，為燈泡離地面的高度，由題意，得：，∵，∴，∴∴，解得（米）；所以路燈燈泡離地面的距離為6m．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．18．（2022上·湖南衡陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩高，把一根長為的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿上長為時(shí)，它離地面的高度為，則壩高為（）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得，可得，進(jìn)而得出即可．【詳解】解：如圖，，則，∴，，即，解得，故選C．題型七：位似19．（2023上·山西長治·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，老師上課時(shí)用投影儀將四邊形投影到屏幕上，占O為投影的光源，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了位似變換．熟練掌握位似的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由題意知，四邊形與四邊形位似，O為位似中心，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，由題意知，四邊形與四邊形位似，O為位似中心，∴，故選：A．20．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若，的周長為15，則的周長為（

）

A．10 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到，根據(jù)得到相似比為：，再結(jié)合三角形的周長比等于相似比即可得到答案．【詳解】解：∵與是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形∴的周長為15，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．21．（2023上·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知與位似，位似中心為點(diǎn)O，且的面積等于面積的，則的值為（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的面積比等于相似比的平方可得答案，熟記位似圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.【詳解】解：∵與位似，位似中心為點(diǎn)O，且的面積等于面積的，∴，∴，∴；故選B題型八：相似三角形的動(dòng)點(diǎn)問題22．（2022上·安徽馬鞍山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在鈍角三角形ABC中，，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】如果以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，由于A與A對(duì)應(yīng)，那么分兩種情況：①D與B對(duì)應(yīng)；②D與C對(duì)應(yīng)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答．【詳解】解：兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，則①當(dāng)D與B對(duì)應(yīng)時(shí)，有，∴，∴，∴；②當(dāng)D與C對(duì)應(yīng)時(shí)，有，∴，∴，∴，∴當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是1.5秒或2.4秒，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．23．（2020·山西·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位長度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)即停．當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不對(duì)【答案】C【分析】首先設(shè)秒鐘與以、、為頂點(diǎn)的三角形相似，則，，，然后分兩種情況當(dāng)和當(dāng)討論．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．，，，當(dāng)，，即，解得；當(dāng)，，即，解得，綜上所述，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想．24．（2022上·河南鄭州·九年級(jí)鄭州中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直到它們都到達(dá)點(diǎn)C為止．線段PQ的長度為y（cm），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則y與t的函數(shù)圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理可得，然后分兩段：當(dāng)點(diǎn)Q在AB邊上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)Q在BC邊上時(shí)，，分別求出函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，根據(jù)題意得：點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B的時(shí)間是，到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間為，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)Q在AB邊上時(shí)，，，如圖，過點(diǎn)Q作QD⊥AC于點(diǎn)D，則DQ∥BC，∴△ADQ∽△ACB，∴，∴，解得：，，∴，∴，即；當(dāng)點(diǎn)Q在BC邊上時(shí)，，，，如圖，∴，，∴，即，綜上所述，y與t的函數(shù)關(guān)系式為，∴函數(shù)圖象第一段為過原點(diǎn)的直線的一部分，第二段為自左向右逐漸下降的線段．故選：A題型九：相似三角形的綜合問題25．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AB上的點(diǎn)，CE，AD交于點(diǎn)F，BD＝AD，BE＝EC．

(1)求證：△ABD∽△CBE；(2)若CD＝CF，試求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，結(jié)合∠B＝∠B，可以得到；（2）設(shè)∠B＝x，則由（1）和已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到問題解答．【詳解】（1）證明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE

∴∠BAD＝∠BCE而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）解：設(shè)∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝

∴

∴即

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問題，熟練掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及方程思想方法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．26．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作射線交于點(diǎn)M，使．

(1)求證：；(2)當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.（1）先根據(jù)等邊對(duì)等角證明，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明即可證明，即可得證；（2）先求出、的長，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）如圖所示，過點(diǎn)A作于D，先利用三線合一定理求出，由勾股定理得：，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，證明，求出，由勾股定理得：，即可求解.【詳解】（1）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，P為中點(diǎn)，∴，∵，∴，即，∴；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)A作于D，

∵在中，，∴，∴由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴由勾股定理得：，∴；27．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：三角形內(nèi)部有一小三角形與原三角形相似，其中小三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在原三角形的三邊上（頂點(diǎn)可重合），則稱這兩個(gè)三角形是星相似三角形例如：如圖1，中，，和是星相似三角形．如圖2，是的中點(diǎn)，以為直徑畫圓，交，于點(diǎn)，，．（1）①若，求的長．②設(shè)，，試寫出與的函數(shù)關(guān)系式．（2）若，則與哪個(gè)三角形星相似，并證明．（3）在（2）的條件下，求的長．【答案】（1）①；②；（2）△CEG與△FEC星相似，證明見解析；（3）．【分析】（1）①利用勾股定理和等面積法即可求得CE，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD，在利用勾股定理即可求得DE；②證明△FOG∽△EDG，可得，再解直角三角形求得DE和FO，即可求得與的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊對(duì)等角可得∠BCE=∠CGE，從而可證明△FEC∽△CEG，即△CEG與△FEC星相似；（3）可利用三角形外角的性質(zhì)證明∠GCE=∠GDE，從而可得EC=ED=m，從而可得，，解直角三角形即可得出．【詳解】解：（1）①在Rt△ABC中，，，∴，∵D為AB的中點(diǎn)，∴，∵，在Rt△ABC中，，即，解得，∴；②連接OF，∵OF=OC，∴∠DCB=∠OFC，由①可得BD=CD，∴∠DCB=∠B，∴∠OFC=∠B，∴△FOG∽△EDG，∴，∵CB=x，∴，，，，即，解得，，∴；（2）△CEG與△FEC星相似，由（1）可知OF//CD,又∵O為CD的中點(diǎn)，∴OF為△CBD的中位線，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∵∠CEB=180°-∠CEA=90°,∴,∴∠BCE=∠FEC，∵CG=CE，∴∠CGE=∠FEC，∴∠BCE=∠CGE，∵∠FEC=∠FEC，∴△FEC∽△CEG，∴△CEG與△FEC星相似；（3）∵CD=BD，BF=EF，∴∠B=∠FCD=∠DEG，∵∠FCE=∠FCD+∠GCE，∠CGE=∠DEG+∠GDE，∴∠GCE=∠GDE，∴EC=ED，設(shè)CE=m，則DE=m，，，，即，解得．【強(qiáng)化精練】一、單選題28．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙?jí)校考期末）如圖，在中，，且，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理：由，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，．【詳解】解：，，，故選：A．29．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，，E是的中點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)F，使，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求出的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解，掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：已知四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，，若，∴，∴，故選：．30．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了相似三角形的判定和勾股定理，根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出，，的長，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，，A．由勾股定理求得三邊分別為，1，，，∵，∴圖中的三角形（陰影部分）與相似；B．由勾股定理求得三邊分別為，，3，∵，∴圖中的三角形（陰影部分）與不相似；C．由勾股定理求得三邊分別為1，，，∵，∴圖中的三角形（陰影部分）與不相似；D．由勾股定理求得三邊分別為2，，，∵，∴圖中的三角形（陰影部分）與不相似；故選：A．31．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，的延長線交的延長線于N，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，先得到，再由平行線的性質(zhì)得到，由此可證明得到，再證明得到，從而得到，由此可得答案．【詳解】解；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，故選B．32．（2023上·山東青島·九年級(jí)期末）如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在反比例函數(shù)與的圖象上，點(diǎn)、在軸上，、分別交軸于點(diǎn)、，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)線段的長度是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)：點(diǎn)坐標(biāo)為，，利用函數(shù)關(guān)系式表示出，，，，，利用三角形的面積公式，由此得到答案．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，，，，，，，，故選：．33．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)乘以或得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把縮小，而點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故選：D．34．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，，（字母“”表示面積），則的值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)H，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，即，根據(jù)，易得，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)H，，，，即，，，中邊上的高和中邊上的高之比為，，故選：C．35．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②【答案】C【分析】根據(jù)中，，于點(diǎn)D，得到是等腰直角三角形，得到，根據(jù)于點(diǎn)E，，得到，根據(jù)，推出，得到，①正確；極端情況，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，得到A、E、F三點(diǎn)重合，得到，得到，②不正確；根據(jù)，得到點(diǎn)D、E都在以為直徑的圓上，推出，結(jié)合，推出，③正確；根據(jù),，得到，得到，推出，④正確．正確的有①③④．本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形．解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，圓周角定理推論，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)．【詳解】∵于點(diǎn)D，∴，∵，∴，∴，∴，∵于點(diǎn)E，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴①正確；②如圖，當(dāng)時(shí)，由于，∴A、E、F三點(diǎn)重合，此時(shí)，∴，∴②不正確；③∵，∴點(diǎn)D、E都在以為直徑的圓上，∴，∵，∴，∴③正確；④∵,，∴，∴，∴，∴④正確．∴正確的有①③④．故選：C．二、填空題36．（2023上·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┐笞匀皇敲赖脑O(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)，如果的長度為，那么的長度為．【答案】【分析】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分成兩段，其中較長線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，那么這個(gè)點(diǎn)就是這條線段的黃金分割點(diǎn)．根據(jù)，即可作答．【詳解】解：∵P為的黃金分割點(diǎn)∴故答案為：37．（2023上·吉林·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，與位似，點(diǎn)為位似中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則與的周長比為.

【答案】【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)周長比等于相似比，相似比等于位似比，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴∵與位似，∴位似比為：則與的周長比為，故答案為：．38．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，如果的面積為，則的面積為．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用，由四邊形是平行四邊形，易證得，又由點(diǎn)是中點(diǎn)，的面積為2，即可根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，求得的面積，繼而求得答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，∴，故，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，的面積是2，，，，．故答案為：24．39．（2023上·陜西榆林·九年級(jí)?？计谀┤?，則．【答案】/0.75【分析】本題考查比例的性質(zhì)，主要利用了等比性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等比性質(zhì)．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．40．（2023上·山西長治·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，，，垂足為E，則的長為．【答案】3【分析】如圖，作于，則，由勾股定理得，，由，求得，由勾股定理得，，則，由，可得，證明，則，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，作于，∵，，∴，由勾股定理得，，∵，∴，解得，，由勾股定理得，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題41．（2023上·廣東揭陽·九年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，在中，D是上一點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)若求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．（1）由是公共角，可證得；（2）由，，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得的長．【詳解】（1）證明：，．（2）42．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)校考期末）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)間連接為邊的三角形稱為“格點(diǎn)三角形”，圖中的就是格點(diǎn)三角形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

(1)將沿軸向左平移3個(gè)單位，得到，畫出；(2)將以為位似中心放大2倍，得到，畫出；(3)寫出、的坐標(biāo)．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析(3)的坐標(biāo)為：；的坐標(biāo)為：．【分析】考查畫關(guān)于平移，位似的圖形；得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解決本題的突破點(diǎn)．（1）把A、B、C三點(diǎn)向左平移3個(gè)單位，得到相應(yīng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；（2）延長到，使，延長到，使，連接即可；

（3）根據(jù)各點(diǎn)所在象限及距離坐標(biāo)軸的距離可得相應(yīng)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖，．

（2）解：如圖所示；（3）解：的坐標(biāo)為：；的坐標(biāo)為：．43．（2023上·廣東揭陽·九年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，的頂點(diǎn)P在正方形的邊上，，經(jīng)過點(diǎn)C，與交于點(diǎn)Q．(1)在不添加字母和輔助線的情況下，圖中；(2)若P為的中點(diǎn)，連接，求證：；(3)若時(shí)，試探究線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)(2)見解析(3)，見解析【分析】（1），根據(jù)“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”得出答案；（2），延長交的延長線于點(diǎn)E，先證明，可得，，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，進(jìn)而得出答案；（3），由（1）可知，可得，再根據(jù)，求出，即可得出答案.【詳解】（1）．∵，∴，，∴．∵，∴．故答案為：；（2）證明：延長交的延長線于點(diǎn)E．∵P為中點(diǎn)，∴．∵是正方形，∴．∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．（3）當(dāng)時(shí)，有．證明：由（1）可知，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)等，過中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是證明線段相等的常用方法．44．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙?jí)校考期末）如圖，在中，過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)E，連接，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，且．

(1)求證：．(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得，推，再根據(jù)，證三角形相似，用的是兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似；（2）先根據(jù)，推，在直角三角形中，求出，的長，再根據(jù)，推比例線段，把已知的線段代入計(jì)算即可．【詳解】（1）∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴,∵，∴，∴，解得．45．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)校考期末）日晷儀也稱日晷，是我國古代觀測(cè)日影記時(shí)的儀器，主要是根據(jù)日影的位置，以指定當(dāng)時(shí)的時(shí)辰或刻度．小明為了探究日器的奧秘，在不同的時(shí)刻對(duì)日晷進(jìn)行了觀察．如圖，日晷的平面是以點(diǎn)O為圓心的圓，線段為日器的底座，點(diǎn)C為日晷與底座的接觸點(diǎn)，與相切于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，F(xiàn)均在上，且為不同時(shí)刻晷針的影長（A、O、B共線），的延長線分別與相交于點(diǎn)E，D，連接，已知．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則，再由平行線的性質(zhì)可得；（2）連接，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AB為圓O直徑，∴，∴，∵，∴．即；（2）解：連接，如圖所示，∵，∴，∵，∴，∴，∵是圓O的切線，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴．46．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)校考期末）在中，點(diǎn)D是邊上的點(diǎn)，連接．

(1)如圖①，若平分，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，，，，求的長．(2)如圖②，若是邊上的中線，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，求證：．(3)如圖③，若，，是邊上的中線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連