山東省鄄城縣重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題(含答案)

高三數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、復(fù)數(shù)、數(shù)列、立體幾何、直線和圓、圓錐曲線。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.或 D.或3.已知兩條不同的直線，及三個(gè)不同的平面，，，則下列推理正確的是（）A.，， B.，C.， D.，4.“函數(shù)的圖象關(guān)于對稱”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知的面積為24，平面中的點(diǎn)分別滿足，，，則的面積為（）A.7 B.8 C.9 D.106.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.7.如圖，在四棱錐中，，，平面，，，，則（）A.1 B. C. D.8.已知曲線，過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（（）A. B.C. D.10.已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.11.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過，斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，若為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的取值可以是（）A. B. C. D.212.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，且?dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，C.D.若，則恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.拋物線的準(zhǔn)線方程為______.14.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.15.已知點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為______.16.如圖，在直三棱柱中，，，，為線段上的一點(diǎn)，且二面角的正切值為3，則三棱錐的外接球的體積為______.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分10分）已知圓，直線.（1）證明：直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若直線和圓交于，兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）利用題中條件能否得出平面？若不能，試添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件后證明平面.19.（本小題滿分12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求出的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：在中，角，，的對邊分別為，，，已知，______.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，且，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21.（本小題滿分12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為2.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為的直線與圓相切，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若弦長的取值范圍為，求的取值范圍.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍；（3）求證：，.參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.A因?yàn)?，所以，所以，?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選A.2.A由，得，或，或，解得，，但，不滿足集合中元素的互異性，符合，所以.故選A.3.B對于A，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，缺少條件“”的情況下，與的位置關(guān)系不確定，平行，相交或在內(nèi)都有可能，故A錯(cuò)誤；對于B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩直線平行，故B正確；對于C，若，，則與可能平行或相交，故C錯(cuò)誤；對于D，，，則或者，故D錯(cuò)誤.故選B.4.B當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱時(shí)，有，，得，，因?yàn)椋浴昂瘮?shù)的圖象關(guān)于對稱”是“，”的必要不充分條件.故選B.5.A由題意，，同理，，所以.故選A.6.D如圖，設(shè)雙曲線的半焦距為.若，因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，又，則是等邊三角形，則，則，再根據(jù)雙曲線的定義得，得，所以，故選D.7.D如圖，連接.由已知，，得.因?yàn)槠矫?，所以，可得，同理可?易證，所以.在中，，，所以，則.故選D.8.D設(shè)直線方程為，代入曲線的方程并整理得，設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，符合題意，所以面積的最大值為，故選C.9.AC當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.由已知得，所以或，所以直線的方程為或.故選AC.10.ABC由知，，，所以，即，所以，故A，B均正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，故C正確；由，得，，所，故D錯(cuò)誤.故選ABC.11.BC顯然直線的方程為，設(shè)，，由得，，解得，①，，則，又為銳角，則，，所以，解得，②由①②，解得或.故選BC.12.AC因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對稱，所以，解得.所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，?當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以的周期?，又，，，，，，，，所以，故C正確；令，即，畫出與的圖象，如圖所示：因?yàn)?，，所以兩函?shù)圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，所以恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選AC.13.根據(jù)已知得，其焦點(diǎn)位于軸上，故其準(zhǔn)線方程為.14.80由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，又，，所以，所以，，所以.15.1由題意知，點(diǎn)，，，可得，，則，，，所以，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為.16.如圖，作，交于，則，過作交于點(diǎn)，連接.易得平面，則是二面角的平面角，所以，所以，又，，所以，所以，.可把三棱錐補(bǔ)成棱長為，，的長方體，則三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，17.（1）證明：直線，即，聯(lián)立解得所以不論取何值，直線必過定點(diǎn).圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)部，則直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)（2）解：直線經(jīng)過圓內(nèi)定點(diǎn)，圓心，記圓心到直線的距離為.因?yàn)?，所以?dāng)最大時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)直線時(shí)，被圓截得的弦最短，此時(shí).因?yàn)椋源藭r(shí)直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程為，即.綜上，的最小值為，此時(shí)直線的方程為.18.（1）證明：易得，，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.而，，平面，所以平面平面.（2）解：利用題中條件不能得出平面，添加條件，證明如下：由，，，，平面，所以平面.19.解：選①：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，因?yàn)?，所?所以，即.又，，所以或，即或.因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的值為或.選②：因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所?所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，所?因此的值為.選③：因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即，且，即，因?yàn)?，，所以，即，于是為等邊三角形，因此與矛盾，故不存在.20.（1）證明：連接，記，連接，如圖所示.因?yàn)榍?，所以為等邊三角形，所?在中，由余弦定理可得，所以，同理可得.又，即，所以，.又，即，所以，.因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以.又，所以，所以，所以.又，，平面，所以.平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以，，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，?設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.21.解：（1）由題意可知：解得，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，，，由，得，聯(lián)立消去并整理得，恒成立，則，.所以，，因?yàn)榈娜≈捣秶鸀椋瑒t，解得.所以，因?yàn)?，則，所以，所以的取值范圍為.22.（1）解：若，則，所