滬教版2020必修第三冊(cè)-第7講 柱體（講義）教師版

第7講柱體

【知識(shí)梳理】

一、棱柱

1.棱柱定義：如果一個(gè)多面體有兩個(gè)全等的多邊形的面互相平行，且不在這兩個(gè)面上的棱都

相互

平行，那么這個(gè)多面體叫做棱柱；

棱柱的兩個(gè)相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的側(cè)面；

棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；

不在底面上的棱叫做棱柱的側(cè)棱；

兩個(gè)底面間的距離叫做棱柱的高：

直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱，否者為斜棱柱。

正棱柱：底面是兩個(gè)正多邊形的直棱柱成為正棱柱

2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、

五棱柱……

3、棱柱的表示方法：

①用表示底面的各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為

ABCD-A,gCQ、ABCDE—耳gCQ&、ABCDEF-AgGQ砧；

②用棱柱的對(duì)角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱

可表示為棱柱AG、棱柱A。等；六棱柱可表示為棱柱AC一棱柱AA、棱柱等.

4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行.

要點(diǎn)詮釋：

有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱.如下

圖所示的幾何體滿足“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這一條件，但它不

是棱柱.

判定一個(gè)幾何體是否是棱柱時(shí)，除了看它是否滿足：“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都

是平行四邊形”這兩個(gè)條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個(gè)相鄰的四邊形的公共邊都

互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱.

二、圓柱

L圓柱的定義：將矩形ABCO繞其一邊A3所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的的幾何體叫做圓

柱；AB

所在直線叫做圓柱的軸；

線段AD和3C旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；

線段C。旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；8叫做圓柱側(cè)面的一條母線;

圓柱的兩個(gè)底面間的距離（即AB的長度）叫做圓柱的高

【性質(zhì)】根據(jù)圓柱的形成過程易知：

①圓柱有無窮多條母線，且所有母線都與

軸平行；

②圓柱有兩個(gè)相互平行的底面.

三.多面體的直觀圖

斜二測(cè)畫圖法：畫直觀圖時(shí)，規(guī)定在鉛垂方向和左右方向上線段的長度與其表示的真實(shí)

長度相等，而在前后方向上，線段的長度是其表示的真實(shí)長度的二分之一，根據(jù)這樣的

規(guī)定，我們可以畫出空間圖形的直觀圖，這樣的畫圖方法簡稱"斜二測(cè)”畫圖法.

i如圖，是一個(gè)用斜二測(cè)方法畫的正方體的直

觀圖，y軸與z軸方向上的長度等于正方體；

邊長，x軸方向上的長度等于邊長一半

【注意】“斜二測(cè)”畫圖法有兩條重要性質(zhì)：

①平行直線的直觀圖仍是平行直線；

②線段及其線段上定比分點(diǎn)的直觀圖保持[

；原比例不變.\

四.柱體的體積

柱體的體積：V柱=S底x〃（力為柱體的高）

圓柱的體積：/柱=S底義〃=萬（力，，分別為圓柱的高和底面半徑）

五.柱體的表面積

1.柱體的體積公式

棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V梭所Sh.

圓柱的體積：底面半徑是r,高是h的圓柱的體積是VwFShun/h.

綜上，柱體的體積公式為V=Sh.

2.圓柱的表面積

（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r,母線長

I,那么這個(gè)矩形的長等于圓柱底面周長C=2nr,寬等于圓柱側(cè)面的母線長/（也是高），由

此可得S留柱側(cè)=C/=2nr/.

⑵圓柱的表面：S圓柱表=2++2]〃=2Mr+/）.

【例題解析】

知識(shí)點(diǎn)一：棱柱

例1.（2020?南昌縣蓮塘第三中學(xué)高二月考）如圖所示，下列四個(gè)幾何體:

A.①B.②C.③D.④

【答案】B

【分析】根據(jù)棱柱的定義直接判斷出結(jié)果.

【詳解】棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是四邊形且每相鄰兩個(gè)四邊形的

公共邊都互相平行.

由此可知②中沒有互相平行的平面，所以不是棱柱,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的定義，主要考查學(xué)生對(duì)棱柱概念的理解，難度容易

例2.（2020?湖南高二學(xué)業(yè)考試）如圖所示的幾何體是（）

A.圓錐B.棱錐C.圓臺(tái)D.棱柱

【答案】D

【分析】分析幾何體的結(jié)構(gòu)，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】由圖形可知，該幾何體有兩個(gè)面平行且全等，側(cè)棱平行且相等，故該幾何體為棱

柱.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.

例3.（2020?南昌縣蓮塘第三中學(xué)高二期末（文））如圖，三棱柱ABC-AgG

被平面OE&A截成兩個(gè)幾何體］、H,且平面平面A844,則（）

I不是棱柱，II是棱柱

c.I是棱柱，n是棱柱D.I不是棱柱，n不是棱柱

【答案】c

【分析】根據(jù)平面平行的性質(zhì)和棱柱的性質(zhì),結(jié)合棱柱的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由平面￡>EE］。//平面可知：平面OE&A與三棱柱ABC-AgC的各

個(gè)側(cè)面都平行，而三棱柱ABC-A與&上下底面平行且是全等形，因此三角形C0E與三

角形GQE1是全等三角形，四邊形A8DE和四邊形4耳。耳是全等的四邊形，根據(jù)棱柱

的定義可知：［,II都是棱柱.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了棱柱的判斷，考查了平面平行的性質(zhì)，考查了棱柱的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)

題.

壯］例徂（2020?山西省長治市第二中學(xué)校高二月考（文））如圖所示的組合體，其結(jié)

構(gòu)特征是（）

A.左邊是三棱臺(tái)，右邊是圓柱B.左邊是三棱柱，右邊是圓柱

C.左邊是三棱臺(tái)，右邊是長方體D.左邊是三棱柱，右邊是長方體

【答案】D

【分析】由已知圖形，結(jié)合棱柱定義,即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)三棱柱和長方體的結(jié)構(gòu)特征，可知此組合體左邊是三棱柱，右邊是長方體.

故選:I).

【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的識(shí)別，掌握定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

［例5.在直三棱柱名G中，AByLBG,AB=CQ=a,B(=b.

(1)設(shè)反b分別為/A、園的中點(diǎn)，求證：⑦'〃平面/鑿

(2)求證:4GJL被

(3)求點(diǎn)5到平面4閱的距離.

【難度】★★

【答案】(1)證明：；E、F分別為ABi、BC的中點(diǎn)，，EF〃AC.?.?AC〃AC,.?.EF〃AC.I

EF〃平面ABC.

(2)證明：：AB=CG,...ABuBBi又三棱柱為直三棱柱，...四邊形ABBA為正方形.連接

A>B,則ABJ_AB1.又?.?AB」BG,二AB」平面ARG./.AB.lAiC,.又AC_LAA”/.AiC,1

平面AIABBI.，AC_LAB.

(3)解：；.AB〃平面ABC.；.Ai到平面ABG的距離等于a到平面ABC的距

離.過Ai作A￡_LACi于點(diǎn)G,；AB_L平面ACCAi,AABlAiG.從而A6_L平面ABC,

故A,G即為所求的距離，即A,G=-y/b2-a2。

b

知識(shí)點(diǎn)二：平面直觀圖

pH例1.如圖所示，正方形力比的邊長為1,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，

則原圖形的周長是()

A.6B.8

C.2+3*D.2+273

I~~II-

0I

【思路點(diǎn)撥】由斜二測(cè)畫法的規(guī)則知在已知圖形平行丁X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于

X’軸，長度保持不變，已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y'軸，且長度

為原來一半.

【答案】B

【解析】根據(jù)水平放置平面圖形的直觀圖的畫法，可得原圖形是一個(gè)平行四邊形，如圖，對(duì)

角線08=2巾,a=1,

【總結(jié)升華】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面圖形的直觀圖，其中斜：測(cè)畫法的規(guī)則，能夠幫助我

們快速的在直觀圖面積和原圖面積之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

例2.用斜二測(cè)畫法畫邊長為2的正三角形的直觀圖時(shí)，如果在已知圖形中取的x

軸和正三角形的一邊平行，則這個(gè)正三角形的直觀圖的面積是_

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)斜二測(cè)畫法與平面直觀圖的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解析】如圖B'C是邊長為2的正三角形4?。的直觀圖，

則4B'=2,CD'為正三角形46C的高"的一半，

即C'D'=!XG=@,

22

則高C'E=C'D'sin45°=^x^=X^,

224

三角形B'C的面積為,x2x^=邁.

244

故答案為：■

4

【總結(jié)升華】本題主要考查斜二測(cè)畫法的應(yīng)用，要求熟練掌握斜二測(cè)對(duì)應(yīng)邊長的對(duì)應(yīng)關(guān)

系，比較基礎(chǔ).

c

知識(shí)點(diǎn)三：柱體的體積

在］例1.（2021?安徽滁州市?高二期末（理））一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)面積為16

的正方形，則該圓柱的體積是（）

A.64兀B.32萬

C.16%D.8萬

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求得圓柱的底面直徑和高，代入公式，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)檩S截面的面積為16,所以圓柱的底面直徑和高均為4,

所以圓柱的體積V=22x4=16w

故選：C

d2.（2019?浙江杭州市?杭州四中高二期中）已知一個(gè)正方體棱長為1,則它的

體積為（）

A.1B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)棱長為。的正方體的體積公式V=d，求解即可.

【詳解】?.?正方體的棱長為1

,該正方體的體積V=『=l

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的體積公式，屬于容易題.

例3.（2020?黑龍江鶴崗市?鶴崗一中高二月考（文））己知一個(gè)正方體和一個(gè)圓

柱等高，并且側(cè)面積相等，則這個(gè)正方體和圓柱的體積之比為（）

【答案】B

r\

【分析】設(shè)正方體的棱長為根據(jù)側(cè)面積相等，可得圓柱的底面半徑為/?=—,再根

TI

據(jù)體積公式可得答案.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為。，則圓柱的高為設(shè)圓柱的底面半徑為R，

則正方體的側(cè)面積為4a2,圓柱的側(cè)面積為2兀Ra，

所以4a2=2兀Ra＞所以R=—，

71

所以正方體和圓柱的體積之比為一^（2a\=--

TTR--a7ia-\—I4

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體和圓柱的側(cè)面積與體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

1丫1例4.（2021?安徽蕪湖市?高二期末（文））已知圓柱的側(cè)面展開圖矩形面積為

3,底面周長2,則圓柱的體積為（)

33234

A.—B.—C.—D.——

712萬3兀2

【答案】B

【分析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為「，母線長為/2,計(jì)算出一、〃的值，利用柱體的體積

公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為r,母線長為人，則圓柱的底面圓周長為2乃廠=2,可

3

圓柱側(cè)面展開圖的面積為2〃用=3,解得〃二大

2

（］Y33

因此，該圓柱的體積為V=—X—=.

J224

故選：B.

例5（2021?安徽蕪湖市?高二期末（理））高為加，〃（根＜〃）的兩圓柱體枳分別

為匕和嚓其側(cè)面面積相等，則匕與匕的大小關(guān)系是（）

A.喙＞匕B.吸=匕C.V?,＜KD.不確定

【答案】A

Vn,

【分析】根據(jù)體積公式表示底面半徑，再由側(cè)面積相等列等式化簡得二；=一＞1,從而可

判斷.

【詳解】設(shè)高為九〃（加＜”）的兩圓柱的底面半徑分別為*4,

所以nrt；m=Vm,兀r；n=Vn,

Vn

整理得個(gè)=一＞1,所以匕＞匕.

V”m

故選:A.

例6.（2021?青海海東市?高二期末（理））軸截面是邊長為4的正方形的圓柱的

體積是.

【答案】16萬

【分析】根據(jù)軸截面是邊長為4的正方形，可得圓柱底面圓半徑r=2，高〃=4,再根據(jù)

圓柱體積公式即可求解.

【詳解】解：由題意可得：圓柱的底面圓半徑r=2,高力=4，

故該圓柱的體積是7ir2h=2?x4=16萬?

故答案為：16乃.

CH例7.（202°?朝陽市第一高級(jí)中學(xué)高二期中）若正方體的表面積為12,則其體積為

【答案】2&

【分析】根據(jù)正方體的表面枳的計(jì)算公式，求邊長進(jìn)而求得體積.

【詳解】設(shè)正方體的棱長是。，由題意得：6a2=12,解得a=0,

正方體的體積V=/=（近）3=2&.

故答案為：2夜.

「工例8.（2020?黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中（文））棱長為2的正方體體積

為.

【答案】8

【分析】宜接由正方體的體積公式可得答案.

【詳解】正方體的棱長為2,則其體積為丫=r=8

故答案為：8

力^例9.（2020?長春市第六中學(xué)高二月考（理））已知某圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為

6的正方形，則該圓柱的體積為.

54

【答案】—

7C

【分析】根據(jù)圓柱體積公式，結(jié)合側(cè)面展開圖的性質(zhì)進(jìn)行求解即可

【詳解】因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，

3

所以該圓柱的底面圓的周長為6,因此半徑為一，而圓柱的高為6,

故該圓柱的體積為乃x6=—.

71

54

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱體積公式的計(jì)算，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

例10.（2020?攀枝花市第十五中學(xué)校高二期中（文））已知圓柱的上下底面的中

心分別為4,。2,過直線。O?的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該圓

柱的體積為—

【答案】54%

【分析】由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.

【詳解】解：因?yàn)檩S截面是正方形，且面積是36,

所以圓柱的底面直徑和高都是6

V=7ir~h=乃x3?x6=54萬

故答案為：54%

【點(diǎn)睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.

「工例11.（2020?重慶市第七中學(xué)校高二期中）已知正方體的表面積為24,則該正方

體的體積為.

【答案】8

【分析】根據(jù)正方體表面積公式得到邊長，進(jìn)而得到體積公式.

【詳解】正方體的表面積是24,設(shè)邊長為a,則表面積為6/=24na=2，

則該正方體的體積為d=23=8.

故答案為：8.

例12.（2019?合肥市第六中學(xué)高二月考（理））已知一個(gè)凸多面體的平面展開圖

由兩個(gè)正六邊形和六個(gè)正方形構(gòu)成，如圖所示，若該凸多面體所有棱長均為1,則其體積

V=

【答案】受

【分析】由展開圖知該多面體是正六棱柱，由棱柱體積公式計(jì)算即得.

【詳解】該多面體是一個(gè)底面邊長為1的正六邊形，高為1的正六棱柱.則底面六邊形的面

積S=2S^ABC+SACDF，如圖所示,

在AABC1中，5=120°,S=--/lfi-5C-sinl20o=—,

A4BC24

21

山余弦定理AC=AB-+BC-2AB?8C?cos120"=3,所以AC=百，SACDF=g,

則丫=5〃=（2*當(dāng)+6）*1=孚.

故答案為：巫.

2

【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱的表面展開圖，考查棱柱的體積.屬于基礎(chǔ)題.

例13.（2020?懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高二月考（理））己知一個(gè)圓柱的側(cè)面

積等于表面積的一半，且其軸截面的周長是18,則該圓柱的體積是.

【答案】2771

【分析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為r,高為〃，由題意兩個(gè)條件可列出關(guān)于兩個(gè)未知數(shù)的

方程組，進(jìn)而可求出r=/z=3,即可求圓柱的體積.

2nrh_1

【詳解】解：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為小高為h.由題意可得，2加/+2兀所―5,解得

2（2r+/i）=18

r=h=3,

則該圓柱的體積是Ttr~h=27兀.

故答案為：27兀.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱體積的求解，考查了圓柱的側(cè)面積.本題的關(guān)鍵是求出圓柱底面圓

的半徑和高.本題的難點(diǎn)在于軸截面的周長這一條件的理解.

例14.（2020?臺(tái)州市三梅中學(xué)高二月考）已知圓柱的底面半徑長為1,母線長為

2,求它的側(cè)面積和體積.

【答案】4肛2萬

【分析】圓柱的底面半徑為r=l，母線長與高為〃=/=2,根據(jù)側(cè)面積為S=2%〃，體積

為V=TT戶h能求出結(jié)果.

【詳解】?.?圓柱的底面半徑為r=1，母線長為/=2,

所以圓柱的高等于母線長九=/=2

???圓柱的側(cè)面積為S=2兀〃=2兀x1x2=4兀；

圓柱的積為V=7ir2h=7ixI2x2=2兀.

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積與體積的求法，考查圓柱的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，是基礎(chǔ)題.

列15.（2020?河北黃驊中學(xué)）有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度為7.8g/cnP）

六角螺帽共重6kg,已知該種規(guī)格的螺帽底面是正六邊形，邊長是12mm，內(nèi)孔直徑為

10mm,高為

（1）求一個(gè)六角螺帽的體積；（精確到0.00len?）

(2)問這堆六角螺帽大約有多少個(gè)？

(參考數(shù)據(jù):=3.14,=1.73,2.952x7.8?23,1.083x7.8?8.45)

【答案】(1)2.952(cm3)；(2)261個(gè).

【分析】(1)利用六棱柱的體積減去圓柱的體積即得解；

(2)計(jì)算6x1000+(7.8x2.952)即得解.

【詳解】⑴由題得V=^x(12)2x6xl0-3.14x(5xlO

=3736.8-785

=2951.8?2952(mm3)=2.952(cm3)

(2)這堆螺帽的個(gè)數(shù)為：6x1000-(7.8x2.952)?261(個(gè))

答：每個(gè)螺帽的體積為2.952cm,，共有261個(gè)螺帽.

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水

平.

例16.(2019?北京大學(xué)附屬中學(xué)新疆分校高二月考)已知一個(gè)長方體共一頂點(diǎn)的

三個(gè)面的面積分別是及、百、遙，

(1)求這個(gè)長方體的對(duì)角線長。

(2)求這個(gè)長方體的的體積

【答案】⑴指(2)76

【分析】(1)設(shè)此長方體的棱長分別為a,b,c,則ab=0,機(jī)?=百，M=娓，解出

a,b,c,再利用長方體的對(duì)角線長1=J(、歷了+(g)2+『即可.

(2)由(1)知a,b,c,利用長方體體積公式即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)此長方體的棱長分別為a,b,c,則ab=y[2,be=&ac=#，可得

abc=瓜■解得c=VLa=72.b=l.

這個(gè)長方體的對(duì)角線長1=7(V2)2+(V3)2+12=A/6.

（2）由（1）可知：V=abc=V6-

【點(diǎn)睛】熟練掌握長方體的側(cè)面枳、對(duì)角線長及體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

0^例17.（2021?上海高二專題練習(xí)）如圖，直三棱柱內(nèi)接于高為力的圓柱中，已知

ZACB=90°,AA'^42,3C=AC=1,。為AB的中點(diǎn)，求:

（1）圓柱的全面積和體積;

（2）求直線A'C與平面ARB'A所成的角的大小.

【答案】（1）S=3兀，V兀；（2）arcsin

26

【分析】（1）先求出底面半徑,再根據(jù)上下底面積與側(cè)面積之和求解全面積與體積即可.

⑵連接A'C,A'O,CO,再證明直線A'C與平面A58A'所成的角為NCAO,再求得AC

與CO的長求解即可.

【詳解】（1）易得底面直徑AB=J5,故全面積s=2%X+乃xjlx夜=3

(萬丫1-

體積v-7TX——X&=——7T.

[2)2

(2)連接A'CA'QCO,因?yàn)锽C=AC=L故CO_LAB,又A4'_L平面A8C,故

A4'±CO.又A4'cAB=A,故CO_L平面ABB'A.

故直線AC與平面ABB'A所成的角為ZCA'O.

歷近七

又CO="y,A,C=y/2+i=y/3.故sin/CAO=9_=^=述，

2A'C6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的表面積與體積的求解，同時(shí)也考查了線面角的求解,需要根

據(jù)題意證明出線面垂直,進(jìn)而得出線面角.屬于基礎(chǔ)題.

知識(shí)點(diǎn)四：柱體的表面積

［工例1.（2020?全國高二）已知正四棱柱（即底面是正方形的直棱柱）的底面邊長為

女m,側(cè)面的對(duì)角線長是36;加，則這個(gè)正四棱柱的表面積為

A.90cm2B.36加cm1C.72CTM2D.54cm2

【答案】A

【分析】求出側(cè)棱長，再求出側(cè)面積和兩個(gè)底面積，即可得表面積.

【詳解】由題意側(cè)棱長為J（3石2一3?=6.

所以表面積為：S=4x3x6+2x32=90（。篦2）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的表面積，解題關(guān)鍵是求出側(cè)棱長.

作］例2.（2019?浙江嘉興市?高二期中）正方體的體積是64,則其表面積是（）

A.64B.16C.96D.無法確定

【答案】C

試題分析：由正方體的體積是64,能求出正方體的邊長為4,由此能求出正方體的表面

積.解：?.?正方體的體積是64,...正方體的邊長為4,.?.它的表面積S=6義4邑96.故選C

考點(diǎn)：正方體的體積和表面積

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體的體積和表面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)

轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.

例3.（2020?安徽省泗縣第一中學(xué)高二月考（理））將一個(gè)棱長為a的正方體，切

成27個(gè)全等的小正方體，則所有小正方體的表面積為（）.

A.6a2B.12/C.18?2D.244

【答案】C

【分析】根據(jù)棱長為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，得到每個(gè)小正方體的棱長為

q求解.

3

z26

/Q2

【詳解】每個(gè)小正方體的棱長為q，表面積為：=Q

6-l3-9-

3\

2

所以27個(gè)小正方體的表面積為27x—/=184.

3

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征及表面積的求法，還考查了空間想象的能力，屬

于基礎(chǔ)題.

例4.（2020?黑龍江哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二開學(xué)考試）長方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三

條棱長分別為3,4,a,表面積為108,則a等于（）

A.2B.3C.5D.6

【答案】D

【分析】利用長方體表面積的計(jì)算方法直接計(jì)算即司;

【詳解】長方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為3,4,a,則長方體的表面積為

3x4x2+2x4a+2x3a=l（）8,解得爐6,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查長方體表面積的計(jì)算方法，屬于簡單題.

5.（2°20?全國高二）已知直三棱柱A5C-A'8'C'中，底面為等邊三角形,

。為的中點(diǎn)，平面截該三棱柱所得的截面是面積為9的正方形，則該三棱柱的

側(cè)面積是（）

A.6GB.9GC.1873D.306

【答案】C

【分析】求出正三角形的邊長和直三棱柱的側(cè)棱長，即得該三棱柱的側(cè)面積.

【詳解】由題得截面正方形的邊長為3,

所以直三棱柱的側(cè)棱為3,底面正三角形的高為3,

所以底面正三角形的邊長為2百，

所以該三棱柱的側(cè)面積是3x2有x3=18

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查棱柱的側(cè)面積的計(jì)算和截面問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

△1例6.（2020?重慶市清華中學(xué)校高二月考）如果圓柱的底面半徑為2,高為4,那

么它的側(cè)面積等于（）

A.16%B.207C.24〃D.12%

【答案】A

【分析】利用圓柱的側(cè)面積公式可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，圓柱的側(cè)面積為2萬x2x4=16萬.

故選：A.

d17.（2020?南昌市第三中學(xué)高二月考（文））一個(gè)圓柱的底面直徑與高都等于一

個(gè)球的直徑，則圓柱的全面積與球的表面積之比（）

A.2:3B.2:1C.1:2D.3:2

【答案】D

【分析】設(shè)球的半徑為，分別求出圓柱及球的表面積，即可求出表面積之比.

【詳解】設(shè)球的半徑為，則由題意S圓柱=2〃/+2%八2廠=6萬/，s球=4不產(chǎn)，

所以圓柱的全面積與球的表面積之比為3:2,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱和球的的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握

水平.

△1例8.（2020?浙江省東陽中學(xué)高二月考）圓柱的母線長為5cm,底面半徑為

2cm，則圓柱的側(cè)面積為（）

A.204cm?B.lO^cm2C.28^cm2D.14^cm2

【答案】A

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可.

【詳解】圓柱的母線長為5cm,底面半徑為2cm,

則圓柱的側(cè)面積為S1H=2%x2x5=20萬（cm）

故選：A

【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

「工例9.（2020?青岡縣第一中學(xué)校高二開學(xué)考試）底面直徑和高都是4的圓柱的側(cè)

面積為（）

A.20兀B.18萬C.16%D.14%

【答案】C

【分析】先求出底面圓的周長，再乘圓柱的高即可得側(cè)面積.

【詳解】解：圓柱底面圓的周長為/=乃"=4乃，則側(cè)面枳為S=/力=4?x4=16乃.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱側(cè)面積的求解.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是將側(cè)面積看成了表面積.

△^例10.（2021?湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）過圓柱的上，下底面圓圓心的平面

截圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則圓柱的側(cè)面積是（）

A.126兀B.12乃C.8%D.10乃

【答案】C

【分析】結(jié)合立體圖，先由面積計(jì)算底面半徑和側(cè)棱，再利用側(cè)面積公式計(jì)算即可.

【詳解】如圖所示，過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是正方形

ABCD,面積為8,故邊長AB=AC=20，即底面半徑H=gAB=0,側(cè)棱長為

AC=2五.

AR

則圓柱的側(cè)面積是s=2KR-AC=2%XX2V2=8）.

故選：C.

例11.（2019?湖南高二期末（文））一個(gè)圓柱的體積為16乃，45為底面圓的直

徑，8M為母線,直線和/與底面所成的角為45°,則該圓柱的側(cè)面積為（）

A.4乃B.8乃C.16萬D.32萬

【答案】C

【分析】圓柱的側(cè)面積為側(cè)面展開的長方形的面積，底面圓周長是長方形的長，圓柱的高

是長方形的高

【詳解】解：作出軸截面如圖:

設(shè)底面圓的半徑為r,母線長BM=L

因?yàn)橹本€4%與底面所成的角為45°,所以2尸=/.

則圓柱的體積為萬/,即左尸2r=16萬，解得r=2，所以/=4.

故該圓柱的側(cè)面積為S=2兀rl=16萬.

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查圓柱的側(cè)面積的求法，基礎(chǔ)題.

fYl例12,(2021,上海高二專題練習(xí))長方體的12條棱的總長度為56，"，表面積為

112〃?2,那么長方體的對(duì)角線長為m

【答案】2拘

【分析】設(shè)出該長方體的長寬高分別為a,b,c,由已知有：4(a+匕+c)=56,

2{ab+bc+ca)=\\2,解之可得出對(duì)角線的長.

【詳解】設(shè)該長方體的長寬高分別為a,b,c,則有：4(a+h+c)=56,即

a+b+c—i4…①

2(ab+bc+ca)=\{2,即=56????

：.a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+c?)=142-112=84

???長方體的對(duì)角線的長為：行了17=病=2后，

故答案：2后.

【點(diǎn)睛】本題考查長方體的邊長，表面積，對(duì)角線之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

0^例］3.(2020?江西贛州市?高二期中(理))已知正六棱柱的高為2,底面邊長為

1,則該正六棱柱表面積為.

【答案】12+36

【分析】分別求解底面的正六邊形面積與側(cè)面的六個(gè)矩形面積求和即可.

【詳解】正六棱柱的高為2,底面邊長為1,

故正六棱柱的底為由6個(gè)全等的邊長為1的等邊三角形構(gòu)成.

且正六棱柱的側(cè)面積為Sfw=6X1X2=12,

正六棱柱的底面積為S,?=2x6x-xlxlx.yzrt—=373,

23

所以圓柱的表面積為：S衣=12+3，^,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六棱柱的表面積問題,注意正六邊形轉(zhuǎn)換為六個(gè)正三角形進(jìn)行面

積的求解.屬于基礎(chǔ)題型.

[yy列14.（2019?上海大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）己知一個(gè)直四棱柱底面是邊長為2cM

的菱形，高是3須，則此直四棱柱的側(cè)面積為cm2.

【答案】24

【分析】由直四棱柱的性質(zhì)直接求側(cè)面積即可.

【詳解】直四棱柱底面/四是邊長為2的菱形，且四個(gè)側(cè)面全等

...該直四棱柱的側(cè)面積為S=4X2X3=24.

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的性質(zhì)與面積的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

例15.（2020?重慶市第七中學(xué)校）已知圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，則圓

柱的側(cè)面積為.

【答案】16萬

【分析】由圓柱軸截面的性質(zhì)知：圓柱體的高為/z=4,底而半徑為r=2,根據(jù)圓柱體的

側(cè)面積公式，即可求其側(cè)面積.

【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4的正方形,

，圓柱體的高為Zi=4,底面半徑為r=2,

.?.圓柱的側(cè)而枳為S=2Q〃=16;T.

故答案為：16乃.

例16.（2021?上海高二專題練習(xí)）底面半徑和高均為3的圓柱的表面積為

【答案】36〃

【分析】先根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式求解側(cè)面積，再加上兩個(gè)底面積得結(jié)果.

【詳解】底面半徑和高均為3的圓柱的表面積為2〃?3?3+2?萬?3?=36〃

故答案為：36%

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的表面積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

例17.（2021?上海高二專題練習(xí)）若圓柱的軸截面面積為S,則它的側(cè)面積為

【答案】兀S

【分析】設(shè)出圓柱的底面半徑和母線長，由此根據(jù)圓柱的軸截面面積，求得它的側(cè)面積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為/,依題意可知2rx/=Snrx/=一,故其側(cè)

2

5

面積為2乃xrx/=2^x—=TTS.

2

故答案為：兀S

【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓柱側(cè)面枳的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

例18.（2020?重慶市第七中學(xué)校高二月考）底面半徑為2,母線長為4的圓柱,

則圓柱的表面積為

【答案】24〃

（分析】計(jì)算出側(cè)面積和底面積相加即得.

【詳解】由題總:S=24x2?+2%x2x4=24萬.

故答案為:24〃.

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的表面積，掌握基本幾何體的表面積公式是解題關(guān)鍵.

例19.（2020?四川省南充高級(jí)中學(xué)高二期中（理））已知一個(gè)圓柱的表面積等于

3

側(cè)面積的一，且其軸截面的周長為16,則該圓柱的體積為

2

【答案】16萬

【分析】設(shè)底面半徑為八高為力，由已知列關(guān)于r與刀的方程組，求得r與力的值，代入

圓柱體積公式得答案.

【詳解】設(shè)底面半徑為八高為方,

4r+2〃=16

r=2

由已知可得，2iQ.2兀/解得

〃=4

2

該圓柱的體積為丫="乂22*4=16%.

故答案為：16萬.

例20.（2020?江蘇無錫市?高二期末）某種圓柱形飲料罐的容積為定值，當(dāng)?shù)酌?/p>

半徑R與它的高〃的比值為時(shí)，可以使它的用料最省.

【答案】—

2

【分析】首先設(shè)這種圓柱形飲料罐的容積為V，得到丫=萬/?2.丸，再求出其表面積的等

式，由基本不等式知S最小時(shí)的條件為2萬R2=工，進(jìn)而聯(lián)立以上兩個(gè)等式求得底面半徑

R

R與它的高/?的比值.

【詳解】

解：設(shè)這種圓柱形飲料罐的容積為V,則

這種圓柱形飲料罐的表面積為：

c,V■,2V,VVI,VV

S=2兀R?+2兀R-h=27VR-+2兀R——7=2兀R，+—=ITIR'+-+->3,2萬R?-----

TTR2RRRNRR

=3也獷,

,V

當(dāng)且僅當(dāng)2乃R-=-時(shí)等式成立，也即S取得最小值，

R

,V

此時(shí)聯(lián)立V=/與2萬R2=一得:

R

R]_

~h2

故答案為：—■

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱體的體積和表面積，考查由基本不等式求最小值等知識(shí)點(diǎn)，考

查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題型.

例2L（2°2°?攀枝花市第十五中學(xué)校高二期中（文））若長方體的三個(gè)面的面積

分別是V^cm?,百cmZ'V^cm?,求:

（1）長方體的體對(duì)角線的長;

（2）長方體的表面積.

【答案】（1）y/6cm-（2）=（2V2+2-^3+2\/6）c/W

【分析】（1）設(shè)長方體的長，寬，高分別為acm,從m,em,根據(jù)已知條件列出方程，求

出a/,c,即可求出對(duì)角線；

（2）根據(jù)已知條件，即可求解.

【詳解】（I）設(shè)長方體的長，寬，高分別為acm,反m,8m,如圖.

ab=-j2,

可令|反=也,解得

?.-BD；=DD；+BD-=DD：+AD2+AB2=a2+b2+c2=6,

BQ=V6cm，該長方體的體對(duì)角線長為76cm.

（2）S表=（20+2>/^+26）0112.

【點(diǎn)睛】本題考查長方體面的面積與邊長的關(guān)系，明確長方體的對(duì)角線與長、寬、高的關(guān)

系，屬于基礎(chǔ)題.

OH例22（2°19?浙江杭州市?杭州四中高二期中）已知正三棱柱ABC-AB|G底

面邊長為2,高為2.求（1）此三棱柱的體積；（2）此三棱柱的表面積.

【答案】⑴273

（2）12+26

【分析】（1）先求出％8c=8,再根據(jù)柱體的體積公式丫=56求解即可.

（2）求每個(gè)面的面積再相加，即可.

【詳解】(1)?.?正三棱柱4?C—底面邊長為2

/.S^BC=gAB-AC?sinZBAC=-^x2x2xsin60=G

???正三棱柱ABC—A瓦G高為〃=2

=S1MBe?"=8x2=2百

c-Afi1G

（2）?.?正三棱柱ABC-AgC底面邊長為2,高為2.

,每個(gè)側(cè)面都是邊長為2的正方形，即所有側(cè)面的面積和為3x2x2=12

正三棱柱ABC—AAG底面邊長為2.

1^MBC5AA1slG=\J3

正三棱柱ABC—A4G的表面積為s=12+26.

【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱的體積與表面積，屬于較易題.

lYl例23.（2°19?青海西寧市?西寧四中高二月考）如圖，在底面邊長為。的正三棱

柱-中，BB[=&i,D是AC的中點(diǎn)。

（1）求證：4?"/平面。8。1；

（2）求正三棱柱ABC-A4G的體積及表面積。

【答案】（D見解析，（2）-J,-a2+3ay/a.

42

【分析】（1）設(shè)B￡nBC=O,根據(jù)0D為△ACBi的中位線，故有AB"OD,再利用直線和平

面平行的判定定理證得ABi〃平面GBD；

（2）利用棱柱的體積與表面積公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)BiCDBOO,則由正三棱柱ABC-ABG的性質(zhì)可得0為BC的中點(diǎn).

再根據(jù)D為AC的中點(diǎn)，可得0D為aACBi的中位線，故有ABi〃0D.

而ODc平面C>BDABQ平面C,BD,故有ABi〃平面C,BD.

aa3

22

（2）V=S^ABC^A]A=—a=—tz,

S=2x—ci~+3axyfu=-u~+3ci\fu.

42

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，柱體的體積與表面積的計(jì)算，

屬于基礎(chǔ)題.

例24..（2019?佛山市榮山中學(xué)高二期中）如圖所示，圓柱?。中，母線A5與

底面垂直，8c是。。的直徑，點(diǎn)。是。。的圓周上異于3,C的點(diǎn).

⑵若BD=2,CD=4,AC=6,求圓柱。。的表面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）（875+10）^

【分析】（1）推導(dǎo)出4B_LCD，BD工CD，從而C￡）_L平面4犯，由此能證明平面

AB￡>_L平面ADC.

（2）由勾股定理求出BC,A8，由此能求出圓柱。。的表面積.

【詳解】證明：（1）由已知可知A5_L平面BCD，CDu平面BCD，

：.AB±CD

???點(diǎn)。是。。的圓周上異于異乎B,C的點(diǎn)，5c是。。的直徑，

..NBOC是直角，即

又?jABu平面A8￡>，BDu平面A5D,ABp\BD=B.

\CDz平面

???C￡）u平面ADC，

二平面AB。，平面ADC.

（2）在RtABCD中，BD=2,CO=4,ZBDC=90°,

BC=-JBD2+CD2=V22+42=2>/5，

由（1）知AB_L平面BCD，BCu平面BCD，

ABIBC,即NABC=90°

22

???AB=yjAC-BC=?2-（2府=4

???I園柱。。的表面積為:

S表=S1M+2S底=2乃?竿-A8+2萬?（今）2=（86+10）萬.

【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查圓柱的表面枳的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意

空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.

【反思總結(jié)】

一、棱柱

1）棱柱的定義

由一個(gè)平面多邊形沿某一確定方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱.平移起止位置的兩

個(gè)面叫做棱柱的底面，多邊形的邊平移所形成的面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做

棱柱的側(cè)棱；過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對(duì)角面；與底面垂直的直線與兩個(gè)

底面的交點(diǎn)部分的線段或距離稱為棱柱的高.

下圖中的棱柱，兩個(gè)底面分別是面ABC。，A'ffCiy,側(cè)面有DCC。等四個(gè)，側(cè)

棱為A4',Bff,CC,DD',對(duì)角面為面ACC'A',BDD'B',A'H為棱柱的高.

D'

C

2）棱柱的性質(zhì)：棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形，對(duì)應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形，

側(cè)棱平行且相等.

3）棱柱的分類

按底面分類：底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱

柱……；

按側(cè)棱是否與底面垂直分類：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫

直棱柱；

底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱；

4）棱柱的記法

①用表示兩底面的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母表示棱柱；

②用棱柱的對(duì)角線端點(diǎn)的兩個(gè)字母表示棱柱.

例如：上面的棱柱是斜四棱柱，記成棱柱A3C。-A'/TC。或棱柱AC'等.

5）特殊的四棱柱：

底面是平行四邊形

四棱柱平行六面體

側(cè)棱與I側(cè)棱與

底而垂直1底而垂直

底面是平行四邊形

直四棱柱直平行六面體

底面為底面為

正方形長方形

正四棱柱長方體

側(cè)面也為