期中復(fù)習(xí)構(gòu)造全等三角形、常見輔助線作法培優(yōu)教案（橫版）

構(gòu)造全等三角形、常見輔助線作法

適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級

適用區(qū)域全國新課標(biāo)課時時長（分鐘）60分鐘

1.三角形全等證明思路

知識點2.構(gòu)造全等三角形

3.常見輔助線的作法

一、知識與技能

教學(xué)目標(biāo)1、掌握三角形全等的證明思路，學(xué)會遷移運用，舉一反三；

2、掌握構(gòu)造全等三角形的基本方法，對每種方法進(jìn)行歸納總結(jié)，內(nèi)化為自己的解題方法；

3、掌握常見輔助線的做法，遇到相應(yīng)的題型是要能快速的想到如何做輔助線

4、經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。

二、過程與方法

1、以學(xué)生為主，把握上課重難點，以經(jīng)典例題為主，灌輸解題的思想給學(xué)生；

2、把握重難點、考點結(jié)合學(xué)生的實際以及期中考試的熱點問題、經(jīng)典例題進(jìn)行針

對性的鞏固訓(xùn)練；

3、引導(dǎo)學(xué)生由簡單到復(fù)雜，通過實例操作、總結(jié)、歸納出證明三角形全等的一般

證明思路、如何構(gòu)造全等三角形、常見輔助線的作法與證明過程。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1、培養(yǎng)學(xué)生歸納、推理的能力；

2、培養(yǎng)學(xué)生遷移類推的能力；

3、培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)有強烈的好奇心和求知欲；

4、在學(xué)習(xí)過程中，體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；

5、體會數(shù)學(xué)的特點，了解數(shù)學(xué)的價值。

1.三角形全等證明思路

教學(xué)重點

2.構(gòu)造全等三角形

教學(xué)難點常見輔助線的作法

教學(xué)過程

一、課堂導(dǎo)入

已知：如圖，B、E、F、C四點共線，AB=DC,BE=CF,zB=zC.

求證:OA=OD.

問題：大家對上面這道題目如何解答呢？大家覺得全等三角形這一章哪部分內(nèi)容最那學(xué)，可能你會說

全等三角形的證明，對，的確是；如果再具體一點的話，應(yīng)該是如何作輔助線、構(gòu)造全等三角形吧，

0K,那么對于這類問題我該如何入手呢？這就是今天我們這堂課所要重點解決的問題。

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

(-)全等三角形的概念性質(zhì)

1.全等三角形的基本概念:

Q)全等形的定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

(2)全等三角形的定義:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。重合的頂點叫做對應(yīng)頂點。

重合的邊叫做對應(yīng)邊。重合的角叫做對應(yīng)角。

⑶全等三角形的表示方法：SBC^B'C

2.全等三角形的性質(zhì)：

Q)全等三角形的對應(yīng)邊相等；

(2)全等三角形的對應(yīng)角相等。

（二）在運用全等三角形的基本性質(zhì)時，其關(guān)鍵是找對應(yīng)邊，對應(yīng)角，找對應(yīng)邊和對應(yīng)角通常有以下幾

種方法：

①全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；

②全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角；

③有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊；

④有公共角的，公共角是對應(yīng)角；

⑤有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角；

⑥兩個全等三角形中一對最長邊（或最大角）是對應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對最短邊（或最小角）是對應(yīng)

邊（或?qū)?yīng)角）o

(三)全等三角形的判定

I.全等三角形判定1:三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS);

2.全等三角形判定2:兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS);

3.全等三角形判定3:兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA);

4.全等三角形判定4:兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS);

5.全等三角形判定5:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL)。

（四）證明三角形全等的思路

通過對問題的分析）等解決的問題歸結(jié)到證明某兩個三角形的全等后，采用哪個全等判定定理加以證明，

可以按下圖思路進(jìn)行分析：

'找夾角fSAS

己知兩邊，找第三邊f(xié)SSS

找直角f"L

邊為角的對邊T找任一角fAAS

,找夾角的另邊f(xié)SAS

已知一邊一角<

邊為角的鄰邊《找夾邊的另一角74sA

找邊的對角->A4S

找夾邊->ASA

已知兩角4

找任一對邊->AAS

切記："有三個角對應(yīng)相等"和"有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等"的兩個三角形不一定全等。

（五）利用三角形全等判斷線段（或角）相等的一般方法

（1）把要判斷相等的線段（或角）作為三角形的邊（或角）的兩個三角形找出來;

（2）證明這兩個三角形全等；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出要判斷的線段（或角）相等。

注意：在求證兩條線段或者兩個角相等時，利用三角形全等的性質(zhì)來證明

是比較常用的方法，其中確定出邊或角所在的三角形是關(guān)鍵。

（六）角平分線的性質(zhì)、判定

Q）角平分線的性質(zhì)

角平分線上的點到角的兩邊的距離相等

角平分線性質(zhì)的符號語言：

?1在4。8的平分線上

人于。，PELOB于E

PD=PE

（2）角平分線的判定

到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上

角平分線判定的符號語言：

-."PDIOA^D,PE_L08于E

且PD=PE

???戶在405的平分線上

（或?qū)懗?是4。8的平分線）

/A

D/

0EB

（七）提分技巧

角平分線的性質(zhì)和判定，它們都可以通過三角形全等得出證明；這樣，我們又得到了證明線段相等或角

相等的一種方法。在解題中若能用它們直接得出線段或角相等時，就不需要再通過證明三角形全等來間

接證明，這樣可以減少這一條件麻煩。

在利用角平分線的性質(zhì)時，可由"角平分線"和"距離"這兩個條件得出線段相等，這兩個條件缺一不

可；同理，在利用角平分線的判定這一條件時，可由"距離"和"線段相等"這兩個條件得出角平分線，

這兩個條件也是缺一不可的。

三、知識講解

考點/易錯點1

全等三角形的證明思路

通過對問題的分析）等解決的問題歸結(jié)到證明某兩個三角形的全等后，采用哪個全等判定定理加以證明,

可以按下圖思路進(jìn)行分析：'找夾角fSAS

已知兩邊，找第三邊—SSS

找直角—>HL

'邊為角的對邊->找任一角—AAS

..［找夾角的另一邊

-已知一■功一餌U

邊為角的鄰邊找夾邊的另一角fASA

找邊的對角->AAS

口5由々［找夾邊f(xié)ASA

已知兩角［ax

［找任一對邊—>AAS

切記：”有三個角對應(yīng)相等"和"有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等"的兩個三角形不一定全等。

考點/易錯點2

構(gòu)造全等三角形

1、由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形；

2、利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應(yīng)邊和對應(yīng)角；

3、利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就

可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。

考點/易錯點3

常見輔助線的作法

1.連接四邊形的對角線；

2、作垂線，利用角平分線的知識；

3、倍長中線;

4、"截長補短"構(gòu)造全等三角形；

提分技巧：當(dāng)給定的題設(shè)條件及圖形并不具有明顯的全等條件時，需要我們認(rèn)真觀察、分析，根據(jù)圖形

的結(jié)構(gòu)特點，挖掘潛在因素，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧妙構(gòu)造全等三角形，借助全等三角形的有關(guān)性

質(zhì)，就可迅速找到證題的途徑。

四、例題精析

[例題1]

【題干】如圖，A，￡E，B四點共線I4°'CEIA;BD。求證:MCF三bBDE

C

【答案】見解析.

【解析】證明：.；AC1CE,BDVDF

N4CE=N8￡＞尸=90"

在Rt\ACE與Rt\BDF中

.rAE=BF

'LAC=BD

Rt\ACEsRt\BDFL)

ZA=ZB

■：AE=BF

AE-EF=BF-EF,gQAF=BE

在A4C尸與AB￡)￡中

AF=BE

ZA=zB

,AC=BD

/.MCF=\BDE(SAS)

[例題2]

【題干】（昆明）已知：如圖，AB=AC,DB=DC,F是AD的延長線上一點.求證：BF=CF.

【答案】見解析.

【解析】證明：,.在SBD和3CD中

"AB=AC

<BD=CD,

/D=AD

」.△ABD*ACD,

/.zBAD=zCAD,

在ZSBAF和"AF中

(

s

<

s

、)

工

WVLL§.

9工

7@

HnVU

H8S

VV.

OKQ8.

..

7.

V/.

[例題3]

【題干】如圖，在\ABC中，BE是NABC的平分線fADA.BEt垂足為。。求證:Z2=Z1+ZC.

【答案】見解析.

【解析】證明：延長交BC于尸

在/SABD與\FBD中

ZABD=ZFBD

二、BD=BD

NADB=NFDB=90’

\ABD=\FBD(ASA)

N2=/DFB

BFC

又???ZDFB=Z1+ZC

z.Z2=Z1+ZC.

[例題4]

【題干】如圖，AB//CD,AD//BC,求證:AB=CD

【答案】見解析.

【解析】證明：連接AC

AB//CD,AD//BC

Z1=Z2,Z3=N4

在AABC與ACZM中

Z1=Z2

'：\AC=CA

Z4=Z3

z.\ABC=\CDA(ASA)

AB=CDo

[例題5]

【題干】如圖，”。分別是AA8C外角/MAC和NNCA的平分線，它們交于點P。求證：BP為4MBN的平分

線.

【答案】見解析.

【解析】證明：過尸作尸。JL8M于。,PELAC于E,PF上BN于F

?.?AP平分/MAC,PD上BM于D,PE-LACj^E

PD=PE

?.?CP平分/NGA,PEIAC,PF工BN于F

PE=PF

?;PD=PE,PE=PF

PD=PF

?：PD=PF，且PO_L8M于。,PF1BN于F

■-BP為NMBN的平分線.

【題干】如圖,。是MBC的邊8c上的點，且。=48,ZADB=NBADAE是A/1BD的中線。求證：4c=24E.

【答案】見解析.A

【解析】證明：延長丑至點尸，使EFME,連接CF

在AA8E與此加中

'AE=FEBEDC

<NAEB=ZFED

,BE=DEA

AABE=\FDE(SAS)

NB=4EDF

?：ZADF=ZADB+ZEDF,NADC=NBAD+NB

BE；，'DC

又?.=：/

1//

NAD尸=ZADC:/

-.-AB=DF,AB=CDF

DF=DC

在AAOF與A4￡>C中

,AD=AD

ZADF=ZADC,

DF=DC

M￡)F=MDC(SAS)

AF=AC

又?「AF=2AE

AC=2AE

[例題7]

【題干】如圖,在A4BC中，AB>AC,Zl=Z2,尸為4。上任意一點。求證:AB-AC>PB-PC9

【答案】見解析.

【解析】證明：法一：

在A8上截取AN=AC；連接PN

在MPN與MPC中

,AN=AC

zl=z2,

.AP=AP

\APN=\APC(SAS)

PN=PC

?.?在\BPN中，PB-PN<BN

D

PB-PC<AB-AC，即AB-AC>PB-PC

OB

法二：

延長AC至M，使AM=48,連接P"

在AA8P與AAMP中

AB=AM

zl=z2

.AP=AP

\ABP=\AMP(SAS)

PB=PM

,.在"CM中,CM>PM-PC

AB-AC>PB-PC

五、課堂運用

【基礎(chǔ)】

1.如圖，AB=AC,zBAC=90°,BD±AE于D,CE±AE于E,且BD>CE.

求證:BD=EC+ED.

【答案】見解析.

【解析】證明：>.zBAC=90°,CE±AE,BD±AE,

/.zABD+zBAD=90°,zBAD+zDAC=90°,zADB=zAEC=90°.

/.zABD=zDAC.

?.?在3BD和ACAE中

AABD=^EAC

<Z.BDA=乙E,

、AB=AC

??.△ABD”CAE(AAS)

/.BD=AE,EC=AD.

?.AE=AD+DE,

.-.BD=EC+ED.

2.如圖，在MBC中，D是BC的中點，DE±AB于E,DF±AC于點F,且BE=CF.

求證：AD平分NBAC.

【答案】見解析.

【解析】證明：:D是BC的中點

.,.BD=CD,

又??BE二CF,DE±AB,DF±AC,

「?RbBDE2RbCDF,

.-.DE=DF,

.??點D在NBAC的平分線上，

二.AD平分NBAC.

3、如圖所示，已知CD_LAB于D,BE±AC于E,CD交BE于點0,OD=OE.求證：AB=AC.

【答案】見解析.

【解析】證明：在MOD和ACOE中，

'ZBOD=ZCOE

<OD=OE

、/NCEO=90。

」.△BOD%COE(ASA),

/.OB=OC,

..OB+OE=OC+ODt

BPBE=CD.

在MBE和MCD中,

N4=//

<ZADC=ZAEB=90°

、BE=CD

」.△ABE乎ACD(AAS),

「.AB=AC.

4.如圖，已知CD±AB于點D,BE±AC于點E,CD、BE交于點N,且DB=EC.

求證:AB=AC.

【答案】見解析.

【解析】解:在MEN和MDN中

,/CD±AB于點D,BE±AC于點E,

.*.ZCEN=ZBDN,

,/ZCNE=ZBND,

DB=CE,

」.△CEN2MDN,

「.CN=BN,EN=DN,

"N+DN=BN+EN,

.,.CD=BE,

,/ZA=ZA,

「?△ABE2ACD,

/.AB=AC.

5.已知：如圖，AB=AD,BC=CD,ZABC=ZADC.求證：OB=OD.

【答案】見解析.

【解析】證明：在MBC和MDC中，

?/AB=AD,BC=CD,AC是公共邊,

??.△ABC2ADC(SSS),

/.ZDCO=ZBCO,

在”8和ADCO中，

?.BC=CD,CO是公共邊，ZDCO=ZBCO,

??.△BCC隹皿0(SAS)

「.OB=OD（全等三角形對應(yīng)邊相等）

【鞏固】

1.如圖，已知在等腰直角三角形^DBC中,zBDC=90°,BF平分NDBC,與CD相交于點F,延長BD

到A,使DA=DF.

(1)求證:AFBD^ACD;

(2)延長BF交AC于E,求證：BF=2CE.

【答案】見解析.

【解析】證明：（1）?「△DBC是等腰直角三角形,

.*.DB=DC,zBDF=zCDA=90°,

在AFBD和SCD中,

BD=DC

<Z.BDF=Z.CDA/

、DF=AD

??.△FBD%ACD(SAS),

(2)?「△FBD%ACD,

.*.zACD=zFBD,AE=BF,

?.zBDF=90°,

.-.zFBD+zDFB=90°,

\zCFE=zBFD,

/.zEFC+zACD=90°,

/.zCEF=180o-90o=90°=zBEA,

??BE平分/ABC,

.-.zABE=zCBE,

在AABE和4BE中,

f^ABE=乙CBE

<BE=BE,

^BEA=乙BEC

??.△ABE"CBE(ASA

??.AE=EC,

?.BF=AC,

??.BF=2CE.

2.如圖，△ABC中，AD平分NBAC,zB=2zC,求證:AB+BD=AC.

【答案】見解析.

【解析】證明：在AC上截取AE二AB,連接DE,

-.AD平分NBAC,

.*.zBAD=zDAC,

在3BD和3ED中，

'AE=AB

<乙BAD=Z.DAC,

、AD=AD

??.△ABD斗AED(SAS),

.'.zB=zAED,BD=DE,又NB=2NC,

.'.zAED=2zC,

W

X

1

弋

+

U

7、

A山

山Y(jié)

<山

7

Q

思.

.

3.已知：BC=DE,ZB=ZE,ZC=ZD,F是CD中點,求證：Z1=Z2.

【答案】見解析.

【解析】證明：如圖，延長AB交DC延長線于點M,

延長AE交CD延長線于點N,

\zB=zE,zC=zD,

/.180°-zB=180°-zE,180°-zC=180°-zD,

即NCBM二NDEN,zBCM=zEDN,

在ABCM和-DN中,

‘乙CBM=乙DEN

BC=DE,

/BCM=乙EDN

??.△BCM乎EDN（ASA）,

.-.zM=zN,CM=DN,

」.AM二AN（等角對等邊），

?「F是CD中點，

.，F(xiàn)是MN中點,

.?.zl=z2（等腰三角形三線合一）.

4.如圖,四邊形ABCD中,ABIIDC,BE、CE分別平分NABC、ZBCD,且點E在AD上.求證：BC=AB+DC.

【答案】見解析.

【解析】證明：延長BE交CD的延長線于點F,

?/BE平分NABC,

/.ZABE=ZCBE,

-.,ABIICD,

.*.ZF=ZABE,ZA=ZFDA,

/.ZF=ZCBE,

/.CF=BC,

?/CE平分NBCD,

??.BE=EF(三線合一),

在MBE和ADFE中,

Z.F=乙ABE

<EB=EF,

^AEB=乙DEF

「.△ABE2FDE(ASA),

/.FD=AB,

?「CF=DF+CD,

/.CF=AB+CD,

.,.BC=AB+CD.

【拔高】

1.如圖,已知ACIIBD,EA、EB分別平分NCAB和NDBA,CD過點E,則AB與AC+BD相等嗎?請說明理

由.

【答案】見解析.

【解析】解：AB二AC+BD,

理由是：在AB上截取AC=AF,連接EF,

?/AE平分NCAB,

.t.zCAE=zBAE,

在"AE和^FAE中

AC=AF

<Z.CAE=Z.FAE,

、AE=AE

??.△CAE%FAE(SAS),

.*.zC=zAFE,

,/ACllBD,

/.zC+zD=180°,

\zEFB+zAFE=180°,

/.zD=zEFB,

?.BE平分NABD,

/.zDBE=zFBE,

在^BEF和ABED中

Z.D=Z.EFB

<Z.FBE=乙DBE,

、BE=BE

/.△BEF^BED(AAS),

/.BF=BD,

?.AB=AF+BF,AC=AF,BF=BD

.*.AB=AC+BD.

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