9第20講銳角三角函數(shù)

第20講銳角三角函數(shù)解直角三角形及其實(shí)際應(yīng)用銳角三角函數(shù)直角三角形的邊角關(guān)系解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用命題點(diǎn)1銳角三角函數(shù)值(必考，10年1次單獨(dú)考查)1．(2012·寧夏)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，則tanA＝______.體驗(yàn)寧夏中考真題

BC延伸訓(xùn)練4．(2020·桂林)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，則cosA的值是______.

B延伸訓(xùn)練7．(2020·上海)如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝3，連接AD.如果將△ACD沿直線(xiàn)AD翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么點(diǎn)E到直線(xiàn)BD的距離為_(kāi)_____.

8．(2020·深圳)如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝

＝______.

A

1812．(2015·寧夏)如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離(即AB的長(zhǎng))為_(kāi)__________.

B延伸訓(xùn)練14．(2020·重慶B)如圖，垂直于水平面的5G信號(hào)塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點(diǎn)處，某測(cè)量員從山腳C點(diǎn)出發(fā)沿水平方向前行78米到D點(diǎn)(點(diǎn)A，B，C在同一直線(xiàn)上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E點(diǎn)(點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi))，在點(diǎn)E處測(cè)得5G信號(hào)塔頂端A的仰角為43°，懸崖BC的高為144.5米，斜坡DE的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，則信號(hào)塔AB的高度約為(參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)() A．23米 B．24米

C．24.5米 D．25米D15．(2020·益陽(yáng))沿江大堤經(jīng)過(guò)改造后的某處橫斷面為如圖所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1∶1.此處大堤的正上方有高壓電線(xiàn)穿過(guò)，PD表示高壓線(xiàn)上的點(diǎn)與堤面AD的最近距離(P、D、H在同一直線(xiàn)上)，在點(diǎn)C處測(cè)得∠DCP＝26°.(1)求斜坡CD的坡角α；(2)電力部門(mén)要求此處高壓線(xiàn)離堤面AD的安全距離不低于18米，請(qǐng)問(wèn)此次改造是否符合電力部門(mén)的安全要求？(參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)解：(1)∵斜坡CD的坡度i＝1∶1，∴tanα＝DH∶CH＝1∶1＝1，∴α＝45°.即斜坡CD的坡角α為45°.

(1)求屋頂?shù)綑M梁的距離AG；(2)求房屋的高AB(結(jié)果精確到1m)．

重點(diǎn)難點(diǎn)素養(yǎng)拓展C[解析]過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°.∵從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度為CE＝5m，∴電梯BC的長(zhǎng)是10m.故選C.1．(2020·阜新)如圖，為了了解山坡上兩棵樹(shù)間的水平距離，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)們測(cè)得該山坡的傾斜角α＝20°，兩樹(shù)間的坡面距離AB＝5m，則這兩棵樹(shù)的水平距離約為_(kāi)_____m(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)．變式訓(xùn)練4.72．(2020·自貢)如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥AB，BC長(zhǎng)6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD長(zhǎng)為_(kāi)_______米(結(jié)果保留根號(hào))．

類(lèi)型二方向角問(wèn)題樣題2如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測(cè)站B的正東方向，碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C，小島C在觀測(cè)站B的北偏西15°方向上，碼頭A到小島C的距離AC為10海里，則觀測(cè)站B到AC的距離BP為_(kāi)___________海里(結(jié)果保留根號(hào))．

4．(2020·濟(jì)寧)一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北航行，2小時(shí)后到達(dá)海島B處．燈塔C在海島A的北偏西42°方向上，在海島B的北偏西84°方向上，則海島B到燈塔C的距離是() A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里

變式訓(xùn)練C

(1)這艘漁船在航行過(guò)程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)漁船航行3小時(shí)后到達(dá)C處，求A，C之間的距離．

解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題的解題步驟(1)審題：畫(huà)出正確的平面圖或截面示意圖，并通過(guò)圖形弄清楚已知量和未知量．(2)構(gòu)造直角三角形：將已知條件轉(zhuǎn)化為示意圖中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，若不能在圖中體現(xiàn)，則需添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，作高線(xiàn)是常用的輔助線(xiàn)．方法指導(dǎo)(3)列關(guān)系式：根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)直角三角形．(4)檢驗(yàn)：解題完畢后，可能會(huì)存在一些較為特殊的數(shù)據(jù)，如含有復(fù)雜的小數(shù)等，因此要特別注意所求數(shù)據(jù)是否符合實(shí)際意義，同時(shí)還要注意題目中對(duì)結(jié)果的精確度有無(wú)要求．1．(2020·金華)如圖是小明畫(huà)的卡通圖形，每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點(diǎn)A，B，C均為正六邊形的頂點(diǎn)，AB與地面BC所成的銳角為β，則tanβ的值是_______.提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

2.(2020·嘉興)為了測(cè)量一條兩岸平行的河流寬度，三個(gè)數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計(jì)了不同的方案，他們?cè)诤幽习兜狞c(diǎn)A處測(cè)得河北岸的樹(shù)H恰好在A的正北方向．測(cè)量方案與數(shù)據(jù)如下表：課題測(cè)量河流寬度測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器，皮尺等測(cè)量小組第一小組第二小組第三小組測(cè)量方案示意圖

說(shuō)明點(diǎn)B，C在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B，D在點(diǎn)A的正東方向點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正西方向測(cè)量數(shù)據(jù)BC＝60m∠ABH＝70°∠ACH＝35°BD＝20m∠ABH＝70°∠BCD＝35°