2024屆新疆吐魯番市高昌區(qū)二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆新疆吐魯番市高昌區(qū)二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a15，且A．S23 B．S24 C．S2．已知，為銳角，且，若，則的最大值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則()A． B． C． D．5．在如圖所示的“莖葉圖”表示的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別（）.A．23與26 B．31與26 C．24與30 D．26與306．設(shè),，，則（）A． B． C． D．7．若1a<1bA．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<8．設(shè)銳角的三個內(nèi)角的對邊分別為且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．9．橢圓的左右焦點分別是，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點，若直線恰好與圓相切于點，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．10．已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則的解析式為（）A． B．C． D．11．函數(shù)（）A． B．C． D．12．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．半徑為的圓形鐵片剪去一個扇形，用剩下的部分卷一個圓錐．圓錐的體積最大值為______14．已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量方向上的投影為________．15．一個碗中有10個籌碼，其中5個都標(biāo)有2元，5個都標(biāo)有5元，某人從此碗中隨機抽取3個籌碼，若他獲得的獎金數(shù)等于所抽3個籌碼的錢數(shù)之和，則他獲得獎金的期望為________．16．若復(fù)數(shù)z滿足方程，其中i為虛數(shù)單位，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．18．（12分）為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）請根據(jù)上面的數(shù)據(jù)分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)嗎19．（12分）已知四棱錐的底面是菱形，且，，，O為AB的中點.（1）求證：平面；（2）求點B到平面的距離.20．（12分）某市教育部門為了了解全市高一學(xué)生的身高發(fā)育情況，從本市全體高一學(xué)生中隨機抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析。經(jīng)數(shù)據(jù)處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這100名學(xué)生中,身不低于1.69米的學(xué)生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示，用樣本的身高頻率估計該市高一學(xué)生的身高概率.(I)求該市高一學(xué)生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.(II)若從該市高一學(xué)生中隨機選取3名學(xué)生,記為身高在的學(xué)生人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(Ⅲ)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果該市高一學(xué)生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是否正常,并說明理由.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與C交于A，B兩點．k為何值時？此時的值是多少？22．（10分）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系，已知曲線（為參數(shù)），在以原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，的距離之積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】因a8=a1+7d,a15=a1+14d，故由題設(shè)3a8=5a152、B【解題分析】

把代入等式中，進(jìn)行恒等變形，用表示，最后利用基本不等式，求出的最大值.【題目詳解】，.因為為銳角，且，所以，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，因此的最大值為，故本題選B.【題目點撥】本題考查了三角恒等變形，考查了兩角差的正切公式，考查了應(yīng)用基本不等式求代數(shù)式最值問題.3、A【解題分析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因為，所以,為偶函數(shù)，因為當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以等價于，即，或，選A.點睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).4、A【解題分析】分析：根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，求得其圖象的對稱軸，再根據(jù)曲線的對稱性，即可求解答案．詳解：由題意，隨機變量服從正態(tài)分布，所以，即圖象的對稱軸為，又由，則，則，故選A．點睛：本題主要考查了正態(tài)分布的應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布的圖象關(guān)于對稱，利用圖象的對稱性求解相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力．5、B【解題分析】

根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，結(jié)合眾數(shù)與中位數(shù)的概念，即可求解，得到答案.【題目詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，可得眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即眾數(shù)為，又由中位數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，其中解答中正確讀取莖葉圖的數(shù)據(jù)，以及熟記眾數(shù)、中位數(shù)的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

先研究函數(shù)單調(diào)性，再比較大小.【題目詳解】,令，則因此當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，因為，所以，選A.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.7、D【解題分析】

不妨令a=-1，b=-2【題目詳解】由題1a<1b<0，不妨令a=-1，b=-2，可得a2＜ba-b=-1【題目點撥】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題8、C【解題分析】因為△為銳角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因為，所以，又因為，所以；由，即，所以，令，則，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值域為，故選C點睛：本題解題關(guān)鍵是利用正弦定理實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化得到周長關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，易錯點是限制角的取值范圍.9、A【解題分析】

由題得，再利用橢圓定義得的長度，利用勾股定理求解即可【題目詳解】由題得，且又由勾股定理得，解得故選：A【題目點撥】本題考查橢圓的定義及幾何意義，準(zhǔn)確求得是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題10、D【解題分析】結(jié)合函數(shù)圖像可得：，，結(jié)合周期公式有：，且當(dāng)時，，令可得：，據(jù)此可得函數(shù)的解析式為：.本題選擇D選項.點睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.11、A【解題分析】

由于函數(shù)為偶函數(shù)又過（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接選A.【考點定位】對圖像的考查其實是對性質(zhì)的考查，注意函數(shù)的特征即可，屬于簡單題.12、A【解題分析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】解：由，得．∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選A．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，構(gòu)造關(guān)于圓錐體積的函數(shù)，可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為則，即圓錐的體積：則，令，解得：則時，；時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查圓錐體積最值的求解，關(guān)鍵是能夠利用圓錐體積公式將所求體積構(gòu)造為關(guān)于圓錐的高的函數(shù)，從而可利用導(dǎo)數(shù)求解得到函數(shù)的最值.14、【解題分析】

由題知，，再根據(jù)投影的概念代入計算即可.【題目詳解】，，所以向量在向量方向上的投影為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了向量模的坐標(biāo)計算，投影的概念與計算.15、【解題分析】分析：先確定隨機變量取法，再分別求對應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.詳解：獲得獎金數(shù)為隨機變量ξ，則ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列為：ξ691215PE(ξ)＝6×＋9×＋12×＋15×＝.點睛：本題考查數(shù)學(xué)期望公式，考查基本求解能力.16、2【解題分析】

設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘法運算計算得到即可.【題目詳解】由已知，設(shè)，則，所以，解得，故，.故答案為：2.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)模的運算，涉及到復(fù)數(shù)相等的概念，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）8（2）[－2,0].【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)f（x）最小值是f（﹣1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（2）+F（﹣2）的值；（2）由于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且a=1，c=0，所以f（x）=x2+bx，進(jìn)而在滿足|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]恒成立時，求出即可．【題目詳解】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，從而|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立等價于－1≤x2＋bx≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立.又－x的最小值為0，－－x的最大值為－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范圍是[－2，0].【題目點撥】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.18、（1）；（2）有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).【解題分析】試題分析：（1）由列聯(lián)表可知調(diào)查的500位老年人中有位需要志愿者提供幫助，兩個數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值；（2）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機變量的觀測值公式，得到觀測值的結(jié)果，把觀測值的結(jié)果與臨界值進(jìn)行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).試題解析：解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：。由于9.967>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)?？键c：獨立性檢驗.19、(1)證明見解析;(2)【解題分析】

(1)連結(jié),推導(dǎo)出,由此能證明平面.(2)利用等體積法求距離即可.【題目詳解】(1)證明:連結(jié),四棱錐的底面是菱形,且，,,O為AB的中點...平面.(2)在中,,則,,.故點B到平面的距離.【題目點撥】本題考查線面垂直的判斷定理,考查等體積法求點到面的距離,難度一般.20、(I)見解析;（Ⅱ）見解析；(Ⅲ)見解析.【解題分析】分析:(I)先求出身高高于1.70米的人數(shù),再利用概率公式求這批學(xué)生的身高高于1.70的概率.分別利用面積相等求出a、b、c的值.(II)先求出從這批學(xué)生中隨機選取1名，身高在的概率，再利用二項分布寫出的分布列和數(shù)學(xué)期望.(Ⅲ)先分別計算出和，再看是否滿足且,給出判斷.詳解：(I)由圖2可知，100名樣本學(xué)生中身高高于1.70米共有15名，以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批學(xué)生的身高高于1.70的概率為0.15.記為學(xué)生的身高，結(jié)合圖1可得:，,,又由于組距為0.1,所以，（Ⅱ）以樣本的頻率估計總體的概率，可得:從這批學(xué)生中隨機選取1名，身高在的概率.因為從這批學(xué)生中隨機選取3名，相當(dāng)于三次重復(fù)獨立試驗，所以隨機變量服從二項分布，故的分布列為:01230.0270.1890.4410.343（或(Ⅲ)由，取由（Ⅱ）可知，,又結(jié)合(I)，可得:，所以這批學(xué)生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，應(yīng)該認(rèn)為該市高一學(xué)生的身高發(fā)育總體是正常的.點睛：(1)本題不難，但是題目的設(shè)計比較新穎，有的同學(xué)可能不能適應(yīng).遇到這樣的問題,首先是認(rèn)真審題，理解題意，再解答就容易了.(2)在本題的解答過程中，要靈活利用頻率分布圖計算概率.21、（Ⅰ）曲線C的方程為．（Ⅱ）時，．【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P