四邊形綜合-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（測試）（解析版）

專題28四邊形綜合

(滿分：100分時間：90分鐘)

班級姓名學(xué)號分?jǐn)?shù)

一、單選題(共10小題，每小題3分，共計30分)

1.(2020?湖北荊門市?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，長為2的線段(點(diǎn)。在點(diǎn)C右側(cè))在x軸上

移動A(0,2),5(0,4),連接AC、BD,則AC+B。的最小值為()

C.6夜D.36

【答案】B

【分析】作A(0,2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A，(0,-2),再過A'作A，E〃x軸且A，E=CD=2,連接BE交x

軸與D點(diǎn)，過A，作A，C〃DE交x軸于點(diǎn)C,得到四邊形CDEA，為平行四邊形，故可知AC+BD最短等于

BE的長，再利用勾股定理即可求解.

【詳解】作A(0,2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A，(0,-2)

過A'作A'E〃x軸且A'E=CD=2,故E(2,-2)

連接BE交x軸與D點(diǎn)

過A，作A'CIIDE交x軸于點(diǎn)C,

，四邊形CDEA，為平行四邊形，

此時AC+BD最短等于BE的長，

即AC+BD=A，C+BD=DE+BD=BE=J(2-0)2+(-2-4)2=2而

故選B.

y

A\----

形叫做中點(diǎn)四邊形.已知四邊形N8C。的中點(diǎn)四邊形是正方形，對角線NC與8。的關(guān)系，下列說法正確

的是（）

A.AC,8。相等且互相平分B.AC,8。垂直且互相平分

C.AC,8。相等且互相垂直D.AC,8。垂直且平分對角

【答案】C

【分析】

利用中點(diǎn)四邊形的判定方法得到答案即可.

【詳解】

順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點(diǎn)得到的是菱形，

順次連接對角線垂直的四邊形的四邊中點(diǎn)得到的是矩形，

順次連接對角線相等且垂直的四邊形的四邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形，

故選：C.

3.（2019?湖南永州市?中考真題）如圖，四邊形/5CD的對角線相交于點(diǎn)O,且點(diǎn)。是8。的中點(diǎn)，若4B

=40=5,BD=8,NABD=NCDB,則四邊形N8CD的面積為（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ACJ_BD,ZBAO=ZDAO,得至AD=CD,推出四邊形ABCD是菱形，根據(jù)

勾股定理得到AO=3,于是得到結(jié)論.

【詳解】

■：AB=AD,點(diǎn)。是的中點(diǎn),

J.ACVBD.NBAO=NDAO,

V/ABD=/CDB,

:,AB〃CD,

：.ZBAC=ZACDt

：.ZDAC=ZACD,

:,AD=CD,

:,AB=CD,

???四邊形488是菱形，

1

9：AB=5BO=-BD=4,

f2

：.A0=3,

.\AC=2AO=6f

/.四邊形ABCD的面積=—x6X8=24,

2

故選：B.

4.（2018?山東省濰坊第八中學(xué)中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長是4厘米，NB=60。，動點(diǎn)P以1厘米

/秒的速度自A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向運(yùn)動至B點(diǎn)停止，動點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度自B點(diǎn)出發(fā)沿折線BCD運(yùn)

動至D點(diǎn)停止.若點(diǎn)PDQ同時出發(fā)運(yùn)動了t秒，記ABPQ的面積為S厘米2,下面圖象中能表示S與t之

間的函數(shù)關(guān)系的是（□

<>

C

個5厘米2）個5dl米）個5便是）仔是）

珂-7sJ5-17

B2

A，-i_Lc,2J3...D-2J3L.

。|；-）24^）

。|2的）。|24「做）2Of

【答案】D

【分析】

應(yīng)根據(jù)gt2和2Vt4兩種情況進(jìn)行討論.把t當(dāng)作已知數(shù)值，就可以求出S,從而得到函數(shù)的解析式,

進(jìn)一步即可求解.

【詳解】

當(dāng)兇」2時，S=—x2tx2^.xMdt口=□烏2+2技

222

當(dāng)2M4時，S」x4x@x「4t=石t+46

22

只有選項D的圖形符合，

故選D

5.（2020?山東東營市?九年級一模）如圖，矩形ABCD中，AB=10DBC=5,點(diǎn)EDFDGDH分別在矩形

ABCD各邊上，KAE=CGDBF=DH,則四邊形EFGH周長的最小值為（）

C.1073D.1573

【答案】B

【解析】

作點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)日，連接EG交BC于點(diǎn)F,此時四邊形EFGH周長取最小值，過點(diǎn)G作

GG，_LAB于點(diǎn)G，，如圖所示口

VAE=CGBE=BE'

；.E'G'=AB=10

,.?GG'=AD=5

E，G=^E'G'2+GG'2=5A/5

Cpqiiif；EFGH=2E,G=105/5

故選B

6.（2020?江蘇徐州市?九年級二模）如圖，正方形ABC。的邊長為4,延長CB至E使￡0=2,以EB為

邊在上方作正方形EFGB,延長PG交。C于M,連接AM、AF,〃為AO的中點(diǎn)，連接廠”分別與

AB,AM交于點(diǎn)N、K.則下列結(jié)論：①A4NHMAGNF；②ZAFN=NHFG；③FN=2NK；④

SMFN:SMDM=1：4.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】

由正方形的性質(zhì)可得匚BAD=IC=E=EEFB=BGF=90°,AD//BC,繼而可得四邊形CEFM是矩形，

ZAGF=90°,由此可得AH=FG,再根據(jù)E1NAH=E]NGF,ZANH=CGNF,可得ZlANHgZ\GNF（AAS）,由

此可判斷①正確；由AFWAH,判斷出LAFNWLAHN,即LAFNWNHFG,由此可判斷②錯誤；證明

AHKsMFK,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可對③進(jìn)行判斷；分別求出SAANF、SAAMD的值即可對④作出判

斷.

【詳解】

?.?四邊形ABCD、BEFG是正方形，

BAD=C=□E=EEFB=jBGF=90°,AD//BC,

二四邊形CEFM是矩形，ZAGF=180°-DBGF=90°

匚FM=EC,CM=EF=2,FM//EC,

AAD//FM,DM=2,

：H為AD中點(diǎn)，AD=4,

EAH=2,

VFG=2,

AAH=FG,

?.?□NAH7NGF,ZANH=DGNF,

□□ANH^AGNF(AAS),故①正確；

/.□NFG=UAHN,NH=FN,AN=NG,

VAF>FG,

???AF#AH,

?,.□AFNW?AHN,即二AFNWNHFG,故②錯誤;

EC=BC+BE=4+2=6,

，F(xiàn)M=6,

VAD//FM,

??.□AHKs匚MFK,

.FK_FM

KHAH2

；.FK=3HK,

：FH=FK+KH,FN=NH,FN+NH=FH,

FN=2NK,故③正確；

VAN=NG,AG=AB-BG=4-2=2,

LAN=1,

SAANF=，AN/G=—xlx2=1,SAAMD=~AD-DM=—x4x2=4,

2222

ASAANF：SAAMD=1：4,故④正確，

故選C.

7.（2020?廣東湛江市模擬）如圖，在正方形/BCD中，七口廠分別為8c口8的中點(diǎn)，AEDBF

交于點(diǎn)G,將A8C尸沿8斤對折，得到△8PR延長萬交以延長線于點(diǎn)。，下列結(jié)論正確的個數(shù)

是（

4

?AE=BFO@AE1.BF^@sinZBQP^-□④S四邊形ECFG=2SABGED

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

解：UE尸分別是正方形Z8CD邊8CC。的中點(diǎn)，hCF=BE,在ZU8E和△8C/中，

AB=BC=ABE=BCFUBE=CFQHRt^ABERt^BCFSASBAE=\CBF\\AE=BF,故n正確;

又口UBAE+UBEA^0^□□C5F+Q5￡J=90°nn口8GE=900□LAEBF,故「正確；

根據(jù)題意得，F(xiàn)P=FCQUPFB=DBFCQCFPB=90°a

CDABULICFB=\ABFU□D/15F=PFBQF=QB,令PF=kk0),則P8=2左

5kBP4

在中，設(shè)：2左

RtZk8P008=x.r=.v02+42x=i_SIN=BQP=-y,故正確;

BGE=BCFGBE=CBF6,BGE&BCFBE=BCBF=BCDDBEQBF=\75的

面積：”。下的面積=105匚口5四.氏〉-6=4$486￡,故口錯誤.

故選B

8.如圖，正方形/8C。邊長為4,E、F、G、H分別是48、BC、CD、D4上的點(diǎn)，且/E=8E=CG=

DH.設(shè)/、E兩點(diǎn)間的距離為x,四邊形E/G”的面積為y,則y與尤的函數(shù)圖象可能是（）

【答案】A

【分析】

本題考查了動點(diǎn)的函數(shù)圖象，先判定圖中的四個小直角三角形全等，再用大正方形的面積減去四個直角三

角形的面積，得函數(shù)y的表達(dá)式，結(jié)合選項的圖象可得答案.

【詳解】

解：??,正方形ABCD邊長為4,AE=BF=CG=DH

；.AH=BE=CF=DG,/A=NB=/C=ND

二AAEH^ABFE^ACGF^ADHG

，y=4X4-jx（4-x）X4

=16-8x+2x2

=2（x-2）2+8

.?.y是x的二次函數(shù)，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,8）,開口向上，

從4個選項來看，開口向上的只有A和B,C和D圖象開口向下，不符合題意：

但是B的頂點(diǎn)在x軸上，故B不符合題意，只有A符合題意.

故選：A.

9.（2020?河南模擬）如圖，在QABCD中，AEJ_BC于點(diǎn)EE1AFJ_CD于點(diǎn)F,若

AE=20□CE=15□CF=7□AF=24,貝UBE的長為（）

A.10B.—C.15D.—

42

【答案】C

【解析】

分析：根據(jù)平行四邊形的面積，可得8C:CO=24:20=6:5,設(shè)BC=6x,則

AB=CD^5x,BE=6x—15,在RtZsAEB中，用勾股定理即可解得.

詳解：???四邊形是平行四邊形，

/.AE1BC,AF±CD,AE=20,AF=24,

：.BC:CD=24:20=6:5,

設(shè)8c=6x,則A6=C0=5x,6E=6x—15,

在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2,

即（5x）2=202+（615）2,

125

解得X1=5，x2=]]（舍去），

BE=6x-15=30—15=15.

故選C匚

10.（2020?安徽宣城市模擬）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，BE1AC,垂足為點(diǎn)F,連

接DF,分析下列四個結(jié)論：①△AEFs^CAB；②DF=DC；@SADCF=4SADEF；④tan/CAD=Yl.其

2

中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【詳解】

解：如圖，過。作OM//8E交/。于"口

四邊形NBCZ）是矩形，

AD//BC48c=90°WAD=BCSwc產(chǎn)4SWEF

8EH/C于點(diǎn)尸口

EACTACBABC=QAFE=90°0

△AEFKAB,故L正確；

DEI!BMBE/1DM

四邊形是平行四邊形，

BM=DE=LBC

2

BM=CM

CN=NF

BEUAC于點(diǎn)FDMBE

DNCF

OAf垂直平分6口

UDF=DCf故」正確；

點(diǎn)￡是4)邊的中點(diǎn)，

SxDEL士-S^ADF

2

2AEFbCBF

AFCF=AEBC=—

2

SACD產(chǎn)2S^AD產(chǎn)4SADEF,故:正確;

設(shè)AE=aAB=h,則AD=2a,

b2a

由AB/E1△4Z)C,有一=—,BPb=yj^,a

ab

tanCAD=^^~=—=——.故□正確；

ADla2

故選A

二、填空題（共5小題,每小題4分，共計20分）

11.（2020?西藏中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，把△PFE

沿PE折疊，得到△P6E,連接CF.若AB=10,BC=12,則CF的最小值為.

【答案】8

【分析】

點(diǎn)F在以E為圓心、EA為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)E、F、C共線時時，此時FC的值最小，根據(jù)勾股定理求

出CE,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=EF=5即可.

【詳解】

解：如圖所示，點(diǎn)F在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)E、F、C共線時時，此時CF的值最小,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，EBPEFP,

EFJPF,EB=EF,

□E是AB邊的中點(diǎn)，AB=10,

口AE=EF=5,

AD=BC=12,

CE=^BE2+BC2=752+122=13,

匚CF=CE-EF=13-5=8.

故答案為8.

12.（2020?貴州畢節(jié)市?中考真題）如圖，已知正方形A8CO的邊長為4,點(diǎn)E是邊A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P是

對角線8。上的動點(diǎn)，則AP+PE的最小值是.

【答案】2石

【分析】

動點(diǎn)問題,找到對稱軸作對稱點(diǎn)，相連即可算出答案，連接CE即為AP+PE的最小值.

【詳解】

連接CE,

因?yàn)锳、C關(guān)于BD對稱.

CE即為AP+PE的最小值.

T正方形邊長為4,E是AB中點(diǎn)，

BC=4,BE=2.

CE=ylBE2+BC2=V22+42=2百

故答案為：2后

13.（2019?陜西中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于點(diǎn)O,N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)

M在BC邊上，且BM=6.P為對角線BD上一點(diǎn)，則PM—PN的最大值為_.

【分析】

如圖所示，以BD為對稱軸作N的對稱點(diǎn)N',連接PN',根據(jù)對稱性質(zhì)可知，PN=PN',由此可得

PM-PN'<MN',當(dāng)尸,M,N'三點(diǎn)共線時，取“="，此時即PM—PN的值最大，由正方形的性質(zhì)求出

AC的長，繼而可得ON'=ON=2后，AN'=672'再證明跳可得PMABCD,

BMAN3

CMN'=9。。,判斷出N'CM為等腰直角三角形，求得N'M長即可得答案.

【詳解】

如圖所示，以BD為對稱軸作N的對稱點(diǎn)N',連接PN',根據(jù)對稱性質(zhì)可知，PN=PN',

PM-PNYMN',當(dāng)三點(diǎn)共線時，取“=”，

正方形邊長為8,

AC=V2AB=8五，

。為AC中點(diǎn)，

AO=OC=4x/2,

匚N為OA中點(diǎn)，

ON=2上，

ON'=ON=2V2，

AN'=，

□BM=6,

CM=AB-BM=8-6=2,

CMCN'I

BM-AN「馬'

PMABCD,CMN'=90。,

N'CM=45°,

匚N'CM為等腰直角三角形，

CM=N'M=2,

故答案為：2.

14.（2019?遼寧盤錦市?中考真題）如圖，四邊形48。是矩形紙片，將沿BD折疊，得至以85。,

BE交4D于點(diǎn)、F,4B=3.AF-.FD=1：2,則/尸=.

【答案】6

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD〃BC,ZA=90°,求得NADB=NDBC,得至I」FB=FD,設(shè)AF=x(x>0),則

FD=2x,求得FB=FD=2x,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】

口四邊形ABCD是矩形，

□ADBC,nA=90°,

□□ADB=LDBC,

□iDBC=CDBF,

□□ADB=LDBF,

FB=FD,

AF：FD=1：2,

口設(shè)AF=x(x>0),則FD=2x,

FB=FD=2x,

AB2+AF2=FB2,

32+x2=(2x)2,

x>0,

x=G,

AF=5

故答案為：6

15.(2019?山東濱州市?中考真題)如圖，々4BCD的對角線交于點(diǎn)。，CE平分N8C。交A8于

點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,且NA5C=60°,AB=28C,連接OE.下列結(jié)論：?EO1AC；②

5.400=45“^；③AC:BD=O.7；?FB2=OF>DF.其中正確的結(jié)論有(填寫所有

【答案】①③④

【分析】

①根據(jù)已知的條件首先證明口是等邊三角形，因此可得E4=EB=EC,所以可得NACB=90°,再

根據(jù)0、E均為AC和AB的中點(diǎn)，故可得N40E=NAC5=90°,便可證明EOLAC；②首先證明

OEOF1

UOEF^BCF,因此可得故可得S9和S小尸的比.③根據(jù)勾股定理可計算的4C：

8c卜B2

BD；④根據(jù)③分別表示尸8'OF、DF,代入證明即可.

解：?.?四邊形A6CO是平行四邊形,

CD//AB,OD=OB,OA^OC,

...ZDCB+ZABC=180°■

ZABC=60°,

二ZDCB=120°,

EC平分NDCB,

：.NECB=-ZDCB=60°,

2

ZEBC=NBCE=4CEB=60°,

...□EC8是等邊三角形，

Z.EB=BC,

,:AB=2BC,

EA=EB=EC,

：.NACB=90°,

,/OA=OC,EA=EB,

：.OE//BC,

ZAOE=ZACB=90°.

：.EO±AC,故①正確，

,/OE//BC,

:mOEF氣BCF,

.OEOF_\

OF=-OB,

3

SAOD=SBOC=3SOCF，故②錯誤，

設(shè)BC—BE=EC=a,則AB—2a,AC=拒a

??BD=幣ci，

:?AC:BD=ga:行。=屈:7，故③正確,

?:OF^-OB=—a

36

.S

??RTB7F=—a，

3

BF2=-a2,OFDF=—a]—a+—a]=-a2,

96126J9

BF2=OF.DF，故④正確，

故答案為①③④.

三、解答題(共5小題，每小題10分，共計50分)

16.(2020?江西中考真題)某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角

形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積百，邑，S3之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究：

(1)如圖2,在R/DA3C中，8C為斜邊，分別以為斜邊向外側(cè)作RtZ\A3O,

RtAACE,RtUBCF,若N1=N2=N3,則面積，，5,,之間的關(guān)系式為

推廣驗(yàn)證

(2)如圖3,在H/0ABC中，為斜邊，分別以AB,AC,8c為邊向外側(cè)作任意△A3。，AACE,

△BCF,滿足N1=N2=N3,ND=NE=NF,則(1)中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證

明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在五邊形A8CDE中，ZA=NE=NC=105°，ABC=90°>48=2有，DE=2,點(diǎn)、

P在AE上，NA5P=30。，PE=>/2>求五邊形ABCDE的面積.

【答案】(1)S3=S]+S2；(2)結(jié)論成立，證明看解析；(3)673+7

【分析】

(1)由題目已知△Z8。、"CE、/\BCF、ZUBC均為直角三角形，又因?yàn)镹1=N2=N3,則有

RtAAfiD-Rt^ACE-RtUBCF,利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，找到從而找

到面積之間的關(guān)系；

(2)在AACE、△8b中，N1=N2=N3,ND=NE=NF,可以得到△ABOs△ACEs

△BCF,利用相似三角形的面積比為邊長平方的比，列出等式，從而找到面積之間的關(guān)系；

(3)將不規(guī)則四邊形借助輔助線轉(zhuǎn)換為熟悉的三角形，過點(diǎn)4作4HLBP丁點(diǎn)H,連接P。，BD,由此

可知AP=J^，BP=BH+PH=3+5即可計算出S2BP，根據(jù)從而有

SNED=SAABP.吟)"由(2)結(jié)論有，5讖8=%肝+5梃楨最后即可計算出四邊形48。的面積?

【詳解】

(1)是直角三角形，

AB2+AC2=BC2>

；AABD、△4CE、△83均為直角三角形，且Nl=N2=N3,

RtAABDsRtAACEsRtQBCF,

?5I-S2_AC2

22

S3BCS3BC

22222

S.S2S,+S,ACABAC+ABBC,

2222

**S3S3S3BCBCBCBC

:.53=5|+$2得證.

(2)成立，理由如下：

?.?△/8C是直角三角形,

/.AB2+AC2=BC2，

?.?在△ZB。、△NCE、ABC尸中，N1=N2=N3,ND=NE=NF,

：.AABDs/\ACEsABCF,

22

,S,ABS2AC

"S3一葭'

SS_S,+S_AC2AB2_AC2+AB2BC2

??}+2—2—7-+7~—7—7~—1

/.S3=E+S?得證.

(3)過點(diǎn)/作夕于點(diǎn)”，連接PO,BD,

,/ZABH=30°-AB=2?，

AAH=43.BH=3,ZBAH=60°

ZBAP=105°，

NHAP=45°，

：.PH=AH=y/3,

???AP=y/6.BP=BH+PH=3+5

._BPAH_(3+?G3G+3

-AABP--~-2一—~

vPE=y/2>ED=2,

?PE_y[2y/3ED2_V3

"AP~~4l~3'AB~273-T'

*_P_E__E_D_

"AP~AB'

?/NE=ZR4P=105°，

:.△ABPs/\EDP,

:.NEPD=ZAPB=45°，—=—=—.

BPAP3

，NB/Y)=90。，PD=l+5

?°c瓜-36+316+1

■?、5ED-)AA8P'I^-23-—2-，

c_BP/O_(3+G).(1+G)_。，,后

SABPD-2-2-3+2v3?

pr\八

VtanZPZ?D=—=—.

BP3

??.ZPBD=30°

：/ABC=90°，ZABP=30°

/.ZDBC=30°

<?,ZC=105°

AABPsXEDPs△CBD

3+36?1+G

,?S^BCD=S△奴+S&EPD=2+273

22

3+3百J+百

S四邊形ABC。=S&BCD+S/\ABP+^AEPD+^ABPD+(2+26)+(3+26)=66+7故最

22

后答案為6K+7.

17.（2020?貴州貴陽市?中考真題）如圖，四邊形A8CO是矩形，E是5c邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在BC的延長

線上，且CF=BE.

（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）連接E。，若NAE0=9O°,AB=4,BE=2,求四邊形AEFO的面積.

【答案】（1）見解析：（2）40

【分析】

（1）直接利用矩形的性質(zhì)結(jié)合BE=CF,可得族=A。，進(jìn)而得出答案；

BEEA

（2）在R/AABE中利用勾股定理可計算出=26，再由求出入48￡：6也反4得——=——，進(jìn)而求出

EAAD

AD長，由SAFFD=EFAB即可求解.

【詳解】

解：（1）四邊形43co是矩形，

AD//BC,AD=BC.

CF=BE,

CF+EC=BE+EC，即EF=6C.

EF-AD,

四邊形AEFD是平行四邊形.

（2）如圖，連接E。，

NB=90°

在mAABE中，AB=4,BE=2,

由勾股定理得，EA2=16+4=20，即E4=26.

AD//BC,

ZDAE=ZAEB.

ZB=ZAED=90°,

MBESADEA.

詈磊即4解得310.

由（1）得四邊形AEFO是平行四邊形,

又［EF=10,高A8=4，

5AEFD=￡'FA8=10X4=40.

18.（2020?湖南邵陽市?中考真題）已知：如圖口,將一塊45。角的直角三角板OE/與正方形ABC。的一

角重合，連接4RCE,點(diǎn)〃是CE的中點(diǎn)，連接。例.

（1）請你猜想AF與DM的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖口，把正方形ABC。繞著點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)a角（0°<a<90°）.

□AF與?！ǖ臄?shù)量關(guān)系是否仍成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（溫馨提示：延長。M

到點(diǎn)M使MN=DM,連接CN）

匚求證：AFLDM,

An

口若旋轉(zhuǎn)角a=45。，且N￡OM=2NMOC,求生的值.（可不寫過程，直接寫出結(jié)果）

ED

【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由見解析見解析③“土垃

2

【分析】

(1)根據(jù)題意合理猜想即可；

(2)①延長DM到點(diǎn)N,使.MN=DM,連接。V,先證明，MNC<MDE,再證明ADF絲DCN,

得到AF=DN,故可得到AF=2DM；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角的換算即可求解；

依題意可得AFD=EDM=30。，可設(shè)AG=k，得到DG,AD,FG,ED的長，故可求解.

【詳解】

(1)猜想AR與DM的數(shù)量關(guān)系是AF=2DM,

故答案為：AF=2DM；

(2)①AF=2DM仍然成立，

理由如下：延長DM到點(diǎn)N,使MN=DM,連接CN,

YM是CE中點(diǎn)，

.\CM=EM

又［CMNMEMD,

ALMNC^OMDE

CN=DE=DF,MNC=CMDE

LCN」DE,

又AD/7BC

NCB=EDA

匚匚ADF段「DCN

EAF=DN

CAF=2DM

②：.ADF絲DCN

口匚NDC=ZIFAD,

■:CDA=90°,

ZNDC+ZNDA=90°

EZFAD+ZNDA=90°

AFDM

AH

a=45°,

二ZEDC=90°-45°=45°

ZEDM=2ZMDC,

2

:.EDM=-ZEDC=30°,

3

二ZAFD=30°

過A點(diǎn)作AGJ_FD的延長線于G點(diǎn)，ADG=90°-45°=45°

□匚ADG是等腰直角三角形，

設(shè)AG=k，則DG=k,AD=AG+sin45°=&k,

FG=AG-tan300=V3k,

，F(xiàn)D=ED=6k-k

ADy/2k遙+y/2

故——=—r=----=--------.

ED01k-k2

19.(2020?湖南懷化市?中考真題)定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

(1)下面四邊形是垂等四邊形的是(填序號)

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)圖形判定：如圖1,在四邊形A8C。中，AD//BC,AC1BD,過點(diǎn)D作BD垂線交BC的延長

線于點(diǎn)E,且NDBC=45°,證明：四邊形ABC。是垂等四邊形.

(3)由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應(yīng)用：在圖2中，面積

為24的垂等四邊形A8CO內(nèi)接于中，=60°.求。O的半徑.

【答案】(1)④；(2)證明過程見解析；③4

【分析】

(1)根據(jù)垂等四邊形的性質(zhì)對每個圖形判斷即可；

(2)根據(jù)已知條件可證明四邊形ACED是平行四邊形，即可得到AC=DE,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

即可得到結(jié)果；

(3)過點(diǎn)O作OEJ.8D,根據(jù)面枳公式可求得BD的長，根據(jù)垂徑定理即可得到答案.

【詳解】

(1)①平行四邊形的對角線互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形對角線相等但不垂直：③菱形的

對角線互相垂直但不相等；④正方形的對角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；

(2)VACLBD,ED1BD.

AC//DE,

乂：AD//BC,

匚四邊形ADEC是平行四邊形，

AC=DE,

又NZMC=45。，

□△BDE是等腰直角三角形，

，BD=DE,

，BD=AC,

/.四邊形ABCD是垂等四邊形.

(3)如圖，過點(diǎn)O作。E_LB￡>,

5D

圖2

四邊形ABC。是垂等四邊形，

匚AC=BD,

又垂等四邊形的面積是24,,根據(jù)垂等四邊形的面枳計算方法得：

AC=BD=4舊’

又：ZBCD=60°,

NDOE=60°,

設(shè)半徑為r,根據(jù)垂徑定理可得：

在ODE中，OD=r,DE=2x/3-

DE2囪,

/"=_____=___=4

一sin60°一也一，

T

□0的半徑為4.

20.（2020?四川廣安市?中考真題）如圖，將等腰三角形紙片ABC沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形，

AB=5個單位長度，BC=6個單位長度.用這兩個三角形來拼成四邊形，請在下列網(wǎng)格中畫出你拼成的四邊

形（每個小正方形的邊長均為1個單位長度，所畫四邊形全等視為同一種情況），并直接在對應(yīng)的橫線上

寫出該四邊形兩條對角線長度的和.

一

±

f

±

i

±

i

±

i

析

和見解

長度的

對角線

形兩條

的四邊

和對應(yīng)

】作圖

【答案

】

【分析

分類討

四邊形

不同的

據(jù)拼成

然后根

長，

D的

求出A

即可

定理

勾股

利用

長，

D的

求出B

即可

合一

三線

根據(jù)

論.

求出結(jié)

長即可

角線的