第3章 圓的基本性質 浙教版九年級上冊單元提升必刷卷B及答案

【單元測試】第3章圓的基本性質（提升能力）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題（本大題共10有個小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC．若∠ACB=20°，則∠ACD的度數(shù)是（

）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】D【分析】由旋轉的性質得∠BCD＝90°，再利用∠ACB=20°求解即可．【詳解】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB=20°,∴∠ACD＝∠BCD-∠ACB＝90°-20°＝70°，故選：D【點睛】此題考查了旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．2．⊙O的直徑為10cm，點A到圓心O的距離OA=6cm，則點A與⊙O的位置關系為（）A．點A在圓上 B．點A在圓外 C．點A在圓內 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)題意得⊙O的半徑為5cm，則點A到圓心O的距離大于圓的半徑，則根據(jù)點與圓的位置關系可判斷點A在⊙O外．【詳解】解：∵⊙O的直徑為10cm，∴⊙O的半徑為5cm，而點A到圓心O的距離OA=6cm＞5cm，∴點A在⊙O外．故選B．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有點P在圓外，則d＞r；點P在圓上，則d=r；點P在圓內，則d＜r．3．如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【答案】C【分析】利用圓的周長先求出圓的半徑，正六邊形的邊長等于圓的半徑，正六邊形一條邊與圓心構成等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出OG．【詳解】∵圓O的周長為，設圓的半徑為R，∴∴R=3連接OC和OD，則OC=OD=3∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=，∴△OCD是等邊三角形，OG垂直平分CD，∴OC=OD=CD，∴故選C【點睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握圓內接正多邊形的相關概念是解題的關鍵．4．下列說法正確的是（

）A．過圓心的線段是直徑 B．面積相等的圓是等圓C．兩個半圓是等弧 D．相等的圓心角所對的弧相等【答案】B【分析】根據(jù)圓的相關知識進行逐一判斷即可．【詳解】解：A.過圓心且兩個端點在圓上的線段是直徑，故該選項說法錯誤；B.面積相等的圓，則半徑相等，是等圓，故該選項說法正確；C.同圓或等圓中兩個半圓是等弧，故該選項說法錯誤；D.同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故說法說法錯誤；故選：B．【點睛】本題主要考查圓的基本知識，熟知圓的相關知識是解題的關鍵．5．如圖，是直徑，點，在半圓上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接BC，由直徑所對的圓周角是直角可求得∠B的度數(shù)，再由圓內接四邊形的性質即可求得∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：連接，是直徑，，，，四邊形是圓的內接四邊形，，，故選：．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角及圓內接四邊形的性質，連接BC并運用這兩個性質是解題的關鍵．6．如圖，在⊙O中，點C是的中點，若，則∠D的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等弧對相等的圓周角可求得，然后在中利用三角形的內角和即可求得，最后利用同弧所對的圓周角相等即可求解．【詳解】解：∵點C是的中點，∴，∴AC＝BC，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理及三角形的內角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．7．如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N=52°，則∠MON的度數(shù)為（

）A．38° B．52° C．76° D．104°【答案】C【分析】根據(jù)半徑相等得到OM=ON，則∠M=∠N=52°，然后根據(jù)三角形內角和定理計算∠MON的度數(shù)．【詳解】∵OM=ON，∴∠M=∠N=52°，∴∠MON=180°-2×52°=76°．故選C．【點睛】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．8．如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖中1、2、3、4圖形的面積和為正方形的面積，求出它們的面積，再用兩個扇形的面積的和-正方形的面積=無陰影兩部分的面積之差來求解．【詳解】解：如圖：正方形的面積；①兩個扇形的面積；②②①，得：．故選：A．【點睛】本題主要考查了扇形的面積計算公式及不規(guī)則圖形的面積計算方法．找出正方形內四個圖形面積之間的聯(lián)系是解題的關鍵．9．如圖，是的直徑，點、在上，，，則（

）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【分析】根據(jù)鄰補角的定義可求得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質及三角形內角和定理即可求得∠AOD的度數(shù)．【詳解】∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=70°，∵AD∥OC，OD=OA，∴∠D=∠A=70°，∴∠AOD=180°-2∠A=40°，故選：D．【點睛】本題考查了圓的有關性質，平行線性質及三角形內角和定理的運用．正確的識別圖形是解題的關鍵．10．我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以鬧息“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1)，它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖（

）有如下四個結論：①勒洛三角形是中心對稱圖形；②使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發(fā)生上下抖動；③圖2中，等邊三角形的邊長為，則勒洛三角形的周長為；④圖3中，在中隨機以一點，則該點取自勒洛三角形部分的概率為，上述結論中，所有正確結論的序號是(

)A．①② B．②④ C．②③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱的性質，圓的性質，等邊三角形的性質，概率的概念分別判斷即可．【詳解】解：①勒洛三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故①錯誤；②夾在平行線之間的萊洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變，使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發(fā)生上下抖動，故②正確；③設等邊三角形DEF的邊長為2，∴勒洛三角形的周長=，圓的周長=，故③正確；④設等邊三角形DEF的邊長為，∴陰影部分的面積為：；△ABC的面積為：，∴概率為：，故④錯誤；∴正確的選項有②③；故選：C．【點睛】本題考查了平行線的距離，等邊三角形的性質，軸對稱的性質，概率的定義，正確的理解題意是解題的關鍵．二、填空題（本大題共8有小題，每題3分，共24分）11．如圖，一塊直角三角板的30°角的頂點落在上，其兩條邊分別交于，兩點，連接，，．若弦，則的半徑為__________．【答案】3【分析】根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半得到∠BOC=60°，推出△BOC是等邊三角形，即可求出OB=BC=3．【詳解】解：∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等邊三角形，∴OB=BC=3，即的半徑為3，故答案為：3．【點睛】此題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定及性質，正確理解同弧所對的圓心角等于圓周角的二倍是解題的關鍵．12．如圖，BC是圓O的直徑，D，E是上兩點，連接BD，CE并延長交于點A，連接OD，OE，如果∠A＝65°，那么∠DOE的度數(shù)為_____．【答案】50°．【分析】利用三角形內角和定理求出∠B+∠C＝115°，再利用等腰三角形的性質求出∠BOD+∠EOC即可解決問題．【詳解】解：∵∠A＝65°，∴∠B+∠C＝115°，∵OB＝OD，OC＝OE，∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC，∴∠BOD+∠EOC＝180°﹣2∠B+180°﹣2∠C＝130°，∴∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠EOC）＝180°﹣130°＝50°，故答案為：50°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，圓的性質和三角形內角和，掌握知識點是解題關鍵．13．如圖，⊙O的半徑為1cm，正六邊形內接于⊙O，則圖中陰影部分面積為_____．【答案】【分析】根據(jù)圖形分析可得求陰影部分面積實為求扇形面積，將原圖陰影部分面積轉化為扇形面積求解即可．【詳解】解：如圖，連接BO，CO，OA．由題意得，△OBC，△AOB都是等邊三角形，∴∠AOB＝∠OBC＝60°，∴OA∥BC，∴△OBC的面積＝△ABC的面積，∴圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積＝．故答案為【點睛】本題考查正多邊形與圓、扇形的面積公式、平行線的性質等知識，解題的關鍵是得出陰影部分面積=S扇形OBC，屬于中考?？碱}型．14．如圖，已知、是⊙O的直徑，，，則的度數(shù)為______度．【答案】【分析】根據(jù)對頂角的性質，再結合等弧所對的圓心角相等，即可求解．【詳解】故答案為：64【點睛】本題考查了對頂角的性質，以及圓心角，弧，弦的關系，解題關鍵是熟練掌握等弧所對的圓心角相等．15．如圖，是半圓的直徑，四邊形和都是正方形，其中，，在上，、在半圓上．若則正方形的面積與正方形的面積之和是16，則的長為________．【答案】8【分析】連接ON、OF，設正方形的邊長為，正方形邊長為，，根據(jù)正方形的性質和勾股定理可得、，進而得到，化簡得，再代入，最后根據(jù)兩正方形的和為16列方程求解即可．【詳解】解：連接，，設正方形的邊長為，正方形邊長為，，則，，四邊形和都是正方形，，，設，由勾股定理得：，，①，②，①②，得，，，，，，，，即，把代入①，得，正方形的面積與正方形的面積之和是16，，，解得（負值舍去），．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了勾股定理在直角三角形中的運用、正方形的性質、圓的性質等知識點，靈活運用勾股定理解決實際問題成為解答本題的關鍵．16．如圖，四邊形ABCD內接于以BD為直徑的⊙O，CA平分∠BCD，若四邊形ABCD的面積是30cm2，則AC=______cm．【答案】【分析】過A點作AE⊥AC，交CD的延長線與點E，證明△ABC≌△ADE，從而得到四邊形ABCD的面積等于△ACE的面積，然后證明出△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式即可求出AC的長度．【詳解】如圖，過A點作AE⊥AC，交CD的延長線與點E．∵BD為⊙O的直徑∴∠BAD＝∠BCD＝90°∵CA平分∠BCD∴∠BCA＝∠ACD＝45°∴∠E＝∠ACD＝45°∴AC＝AE∵AE⊥AC∴∠CAE＝90°∴∠CAD+∠DAE＝90°又∵∠BAC+∠CAD＝90°∴∠BAC＝∠DAE又∵∠BCA＝∠E＝45°在△ABC≌△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA）∴∴∴∴故答案為：【點睛】本題主要考查了圓周角定理和圓內接四邊形的性質，關鍵在于運用轉化思想，將四邊形ABCD的面積轉化為△ACE的面積．17．如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點P為邊AD上的一個動點，線段BP繞點B順時針旋轉60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當點P'落在邊BC上時，∠PP'C的度數(shù)為________；當線段CP'的長度最小時，∠PP'C的度數(shù)為________【答案】

120°##120度

75°##75度【分析】由旋轉性質及旋轉角知△BPP′為等邊三角形，得到∠PP′B=60°；當點P'落在邊BC上時，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；將線段BA繞點B逆時針旋轉60°后點A落在點E，連接BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再證明△ABP為等腰直角三角形，進而得到∠EP′B=∠APB=45°，最后當CP′⊥EF于H時，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°．【詳解】解：由線段BP繞點B順時針旋轉60°得到線段BP'可知，△BPP′為等邊三角形，∴∠PP′B=60°，當點P'落在邊BC上時，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；將線段BA繞點B逆時針旋轉60°，點A落在點E，連接BE，設EP′交BC于G點，如下圖所示：則∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，∴∠ABP=∠EBP′，且BA=BE，BP=BP′，∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，由點P'落在邊BC上時，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，∴△EBG與△P′CG均為30°、60°、90°直角三角形，設EG=x，BC=2y，則BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，又已知AB=BC，∴EP′=AB，又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，∴AB=AP，∴△ABP為等腰直角三角形，∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，當CP′⊥EF于H時，CP′有最小值，此時∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，故答案為：120°，75°．【點睛】本題考察了三角形全等的判定方法、矩形的性質、旋轉的性質及等腰三角形的性質，屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質是解題的關鍵．18．如圖，是正方形邊上一個動點，線段與關于直線對稱，連接并延長交直線于點，連接．（1）如圖1，，直接寫出=_____；（2）如圖2，連接，是的中點，，若點從點運動到點，直接寫出點的運動路徑長為_____．【答案】

45°

【分析】（1）由軸對稱的性質可得，，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求解；（2）先確定點在以為圓心，為半徑的圓上運動，再用弧長公式可求解．【詳解】解：（1），，線段與關于直線對稱，，，，，，；（2）如圖，連接，交于點，連接，四邊形是正方形，，又是中點，，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，點從點運動到點，點的運動路徑長，故答案為：，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，軸對稱的性質，三角形中位線定理，求弧長等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．三、解答題（本大題共6有小題，共66分；第19小題8分，第20-21每小題10分，第22-23每小題12分，第24小題14分）19．如圖所示，已知∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，如果△ABC經(jīng)過旋轉后與△ADE重合．(1)旋轉中心是哪個點？(2)旋轉了多少度？(3)∠BAC的度數(shù)是多少？【答案】(1)點A(2)65°(3)85°【分析】（1）由旋轉的定義可得；（2）由旋轉的定義即可得；（3）根據(jù)旋轉的性質知，旋轉角∠CAE=∠BAD=65°，對應角∠C=∠E=70°，則在直角△ABF中易求∠B=25°，所以利用△ABC的內角和是180°來求∠BAC的度數(shù)即可．【詳解】（1）由旋轉的性質可得：旋轉中心是點A；（2）由旋轉的性質可得：旋轉的角度即為∠CAE=65°；（3）根據(jù)旋轉的性質知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如圖，設AD⊥BC于點F，則∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度數(shù)為85°．【點睛】本題考查了旋轉的性質．解題的過程中，利用了三角形內角和定理和直角三角形的兩個銳角互余的性質來求相關角的度數(shù)．20．如圖，在⊙O上依次有A、B、C三點，BO的延長線交⊙O于E，，過點C作CD∥AB交BE的延長線于D，AD交⊙O于點F．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）連接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先根據(jù)圓的性質得：∠CBD=∠ABD，由平行線的性質得：∠ABD=∠CDB，根據(jù)直徑和等式的性質得：，，由一組對邊平行且相等可得四邊形ABCD是平行四邊形，由AB=BC可得結論；（2）先設∠FOE=x，則∠AOF=3x，根據(jù)∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+（180-3x）=180，求出x的值，接著求所對的圓心角和半徑的長，根據(jù)弧長公式可得結論．【詳解】（1）證明：∵，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直徑，∴，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵∠AOF＝3∠FOE，設∠FOE＝x，則∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等邊三角形，∴OF＝AF＝3，∴的長＝＝．【點睛】本題考查平行四邊形和菱形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、弧長公式，平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會設未知數(shù)，列方程求角的度數(shù)，證明三角形是等邊三角形是解題的突破點，屬于中考?？碱}型．21．如圖,☉O是正五邊形ABCDE的外接圓,F是的中點,連接CF,EF.(1)請直接寫出∠CFE=°;

(2)求證:EF=CF;(3)若☉O的半徑為5,求的長.【答案】（1）72°；（2）詳見解析；（3）3π.【分析】（1）根據(jù)圓內接四邊形的性質和正五邊形的內角解答即可；（2）利用正五邊形的性質和弧長關系證明即可；（3）利用弧長公式解答即可．【詳解】解:（1）∵正五邊形ABCDE，∴∠EDC＝108°，∴∠CFE＝180°?108°＝72°，故答案為72°.(2)∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴AE=BC,∴,又∵F是的中點,∴,∴,∴,∴EF=CF.(3)∵☉O是正五邊形ABCDE的外接圓,∴,∵R=5,∴×2πR=2π,又∵=π,∴=3π.【點睛】本題考查了正多邊形與圓，解題關鍵是根據(jù)圓內接四邊形的性質和正五邊形的性質解答．22．已知⊙O1的半徑為r1，⊙O2的半徑為r2．以O1為圓心，以r1+r2的長為半徑畫弧，再以線段O1O2的中點P為圓心，以O1O2的長為半徑畫弧，兩弧交于點A，連接O1A，O2A，O1A交⊙O1于點B，過點B作O2A的平行線BC交O1O2于點C．（1）求證：BC是⊙O2的切線；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由題意得出O1P＝AP＝O2P＝O1O2，則可得出∠O1AO2＝90°，由平行線的性質可得出∠O1BC＝90°，過點O2作O2D⊥BC交BC的延長線于點D，證得O2D＝r2，則可得出結論；（2）由直角三角形的性質求出∠BO1C＝60°，由勾股定理求出BC長，則可根據(jù)S陰影＝求出答案．【詳解】（1）證明：連接AP，∵以線段O1O2的中點P為圓心，以O1O2的長為半徑畫弧，∴O1P＝AP＝O2P＝O1O2，∴∠O1AO2＝90°，∵BC//O2A，∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，過點O2作O2D⊥BC交BC的延長線于點D，∴四邊形ABDO2是矩形，∴AB＝O2D，∵O1A＝r1+r2，∴O2D＝r2，∴BC是⊙O2的切線；（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，∴O1A＝O1O2，∴∠BO1C＝60°，∴O1C＝2O1B＝4，∴BC＝＝，∴S陰影＝＝O1B×BC-＝＝．【點睛】本題考查了切線的判定，平行線的性質，直角三角形的判定與性質，勾股定理，扇形的面積等知識，熟練掌握切線的判定是解題的關鍵．23．如圖，⊙O的半徑為2，O到頂點A的距離為5，點B在⊙O上，點P是線段AB的中點，若B在⊙O上運動一周．（1）點P的運動路徑是一個圓；（2）△ABC始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）≤PC≤【分析】（1）連接OA、OB，取OA的中點H，連接OB，HP，則HP是△ABO的中位線，得出HP＝OB＝1，即P點到H點的距離固定為1，即可得出結論；（2）由等邊三角形的性質和直角三角形的性質分別求出PC的最小值和最大值即可．【詳解】（1）解：連接OA、OB，取OA的中點H，連接HP，如圖1所示：則HP是△ABO的中位線，∴HP＝OB＝1，∴P點到H點的距離固定為1，∴B在⊙O上運動一周，點P運動