高等數(shù)學(xué)作業(yè)（高升專）答案

高等數(shù)學(xué)作業(yè)答案

(高起專)

第一章函數(shù)作業(yè)(練習(xí)一)參考答案

一、填空題

1.函數(shù)/(X)=―1—+的定義域是___________o

ln(x-2)

解：對函數(shù)的第一項，要求x-2>0且ln(x—2)工0,即x>2且x#3；對函數(shù)的第

二項，要求5—xNO,即xW5。取公共部分，得函數(shù)定義域為(2,3)U(3,5]。

2.函數(shù)y=9的定義域為____________。

x—3

解：要使y=二2有意義,必須滿足丁―920且*一3>0,即(國？3成立，解

x-3[%>3

X>3或x<-3

不等式方程組，得出4一一一，故得出函數(shù)的定義域為(-8,-3]口(3,+8)。

x>3

3.已知/(1-1)=尤2+1,則/(X)的定義域為

解.令"一1=“，則x=ln(l+〃)，.?./(〃)=+“)+1,即.?J(x)=ln2(l+x)+l,.

故/(x)的定義域為(-1,+8)

4.函數(shù)y=7x2-4+J]的定義域是__________.

kT

解.(-00,-2]u[2,+00)O

5.若函數(shù)/(X+1)=X2+2X-5,則/(X)=.

解.%2-6

二、單項選擇題

1.若函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,1],則/(Inx)的定義域是().

A.(0,+oo)B.[1,+oo)C.fl,e]D.[0,1]

解：C

2.函數(shù)y=1雨11時的值域是().

A.[—1,1]B.[0,1]C.(—oo,0)D.(—co,0]

解：D_

3.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域是全體實數(shù)，則函數(shù)/(幻?/(-幻是().

A.單調(diào)減函數(shù)；B.有界函數(shù)；

C.偶函數(shù)；D.周期函數(shù)

解：A,B,D三個選項都不一定滿足。

設(shè)f(x)=/(%)?f(-x),則對任意x有

產(chǎn)(-X)=/(-X)?/(-(-%))=/(-X)-/(%)=f(x)-f(-x)=F(x)

即尸(x)是偶函數(shù)，故選項C正確。

ax-1

4.函數(shù)/(x)=x---(?！?,。工1)()

a'+1

A.是奇函數(shù)；B.是偶函數(shù)；

C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D.是非奇非偶函數(shù)。

解：利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。

-1a~x(l-ax)ax-1

/(r)=(-x)——-=-x-----=-=f(x)

a+1a(1+a)a+1

所以B正確。

1,1

5.若函數(shù)/。+—)=/+=,則/(x)=()

XX

A./；B.—2；C.(x—I)2；D.-1o

解：因為X?4——二廠+2d---2=(XH—廠—2,所以/(xH—)=(xH—)”—2

XXXXX

則/0)二一一2,故選項B正確。

6.設(shè)/(x)=x+l,則〃/(幻+1)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

解由于f(x)=x+l,得/(/(x)+1)=(/(x)+1)+1=/(X)+2

將/(x)=x+l代入，得/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

正確答案：D

7.下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).

Ay=d)‘B.2sinx

.y=InxC-y=------D.y=

ecosx

解因為y=In/是由＞=in”，“=，復(fù)合組成的，所以它不是基本初等函數(shù).

正確答案：B

?,,COSX,X<0,71

8.設(shè)函數(shù)/(x)=八則/(一丁)=().

0,x>04

TC71

A./(--)=/(-)B./(0)=/(2幻

44

c./(())=/(-2幻D./(￡)=勺

解因為一2)<0,故/(一2%)=cos(-2乃)=1

且/(0)=1,所以/(())=/(—2萬)

正確答案：C

9.若函數(shù)/(e*)=x+l,則/(x)=().

A.ex+1B.x+1C.lnx+1D.ln(x+1)

解：

10.下列函數(shù)中y=()是偶函數(shù).

A.|/(x)|B./(|x|)C./2(x)D.f(x)-f(-x)

解：B

三、解答題

x0<x<1

1.設(shè)/(%)=<|，求：⑴"X)的定義域；(2)/(0),/(I),/(2)o

Inx1<x<e

解(1)分段函數(shù)的定義域是各區(qū)間段之和，故/(1)的定義域為

[0,1]U(1,e)=[0,e)

(2)?.?04x41時，/(x)=xA/(0)=0,/(1)=1

?.T<x<e時,/(x)=Inx/./(2)=ln2

-x-1,x<0x,x<0一

2.設(shè)/(%)=八，g(x)=2八求復(fù)合函數(shù)/(g(x))，g(/(x))。

XX>()[-X,X>()

，—x—1,-14xK0

解：/(g(x))=[2g(/(x))=]—(l+x)2,x<-1

l[-/,%>0

3.(1)f(x)=ax+a~x(a>0)；

解：???/(—x)=Q”+a~x=/(x).\f(x)=ax+ai*為偶函數(shù).

1—Y

(2)f(x)=ln-—-；

1+x

解：?.?/(-x)=ln±H=-ln^~-=-/(x),z./(x)=ln-~~^為奇函數(shù).

1-x1+x1+x

(3)/(x)=ln(x+Jl+x?)

解：：/(-x)=ln(-x+71+x2)=In------」=-Inlx+71+x2)=-/(x),

X+Vl+X2

/(x)=In。+Jl+Y，為奇函數(shù).

4.已知f(x)=sinx,/3(x))=l-x"求夕(x)的定義域

解./(^(x))=sin(p{x)=1-x2,(p[x}=arcsin(l-x2),故(p{x}的定義域為

-72<x<V2

第二章極限與連續(xù)作業(yè)（練習(xí)二）參考答案

一、填空題

18X

答案：1

十塊后件1-x-sinx....sinx.....sinx,,

正確解法：hm----------=hm(l---------)=hm1-hm------=1-0n=1

XTQO%XT8XA->00XT8%

c一?V+b

2,已知hm—；---------=2,則Q=_____,b=____。

Tx'--x-2

由所給極限存在知，4+2。+。=0,得b=-2a-4,又由

「x2+ax+h「X+Q+2a+4八

hm—；-------=lim--------==2,知〃=2,b=—8

x^2x-x-212%+i3

ex-h

3.已知lim---------=oo,貝ijo=_____,b=_____。

xf。(x-a)(x-l)

x

..e-bHnl.(x-(2)(x-1)ann,

vlim------------=oo,即lim------------=----=0,?.Q=0,bw1

20(X-Q)(X-1)1。ex-b1-b

4.函數(shù)/(x)=1sin(*<°的間斷點是％=。

x+1x>0

解：由/(x)是分段函數(shù)，工=0是/0)的分段點，考慮函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。

因為limxsin—=0lim(x+1)=1/(0)=1

x->0~xxf0+

所以函數(shù)/(x)在x=0處是間斷的，

又于(x)在(-00,0)和(0,+8)都是連續(xù)的，故函數(shù)/(x)的間斷點是x=0。

5.極限limxsin』=.

x

解因為當(dāng)x->0時，x是無窮小量，sin1是有界變量.

x

故當(dāng)x->0時，xsin，仍然是無窮小量.所以limxsin—=0.

XXT°X

x+1x>0

6.當(dāng)k時，/(x)=\,在x=0處僅僅是左連續(xù).

x2+kx<0

解因為函數(shù)是左連續(xù)的，即

/(0-)=lim(x+1)=1=/(0)

若/(0+)=Iim(x2+Z)=A：=1

即當(dāng)k=1時，/(X)在x=0不僅是左連續(xù)，而且是連續(xù)的.

所以，只有當(dāng)上時，/(X)在X=0僅僅是左連續(xù)的.

7.要使/(x)=L0土在x=0處連續(xù)，應(yīng)該補充定義/(。)=

X

解：2.山1?一0°0》=1而理=0,補充定義/(0)=0

x->0xx->0]

二、單項選擇題

x

1.已知lim(二——ax-b)=O,其中。力是常數(shù)，貝U()

18X+1

(A)a=l,b=I,(B)a=-1,/?=1

(C)a=l,b=7(D)a=-1,/?=-1

22

].zx八].(l-a)x-(a+h)x-h八

解.vlim(------ax-b)=hm--------------------=0,

18x+1xt8x+1

1—。=0,。+6=0,。=1/=—1答案：C

2.下列函數(shù)在指定的變化過程中，()是無窮小量。

/、sinx、

A.e-V,(x—>8)；B.----,(xf8)；

X

VT+T-1

C.ln(14-x),(x—>1)；D.--------(x—0)

x

解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以

..sinx八

lim----=0

x

而A,C,D三個選項中的極限都不為0,故選項B正確。

3.下列函數(shù)中，在給定趨勢下是無界變量且為無窮大的函數(shù)是()

(A)y=xsin—(x—>oo)；(B)y=〃(”-8)；

x

(C)y=\nx(x—>+0)；(D)y=-cos—(x-?0)

xx

解.vlimxsin—=limsin-/^=1,故不選(A).取團=2攵+1,則

*T8XXTOOX/X

lim〃D=lim---=0,故不選(B).取x“=-------,則lim'cos-^-=0,故不選

〃T8女TOO2k+17i/T8

〃乃十一x〃xM

2

(D).答案：C

i

1x

4./(x)=--『arctanx,貝卜=0是/(x)的().

\+ex

(/)可去間斷點(B)跳躍間斷點

9無窮間斷點(〃)振蕩間斷點

1一2「1-0

解：/(0-0)=lim----—?arctanx-----0=0,

io--1+0

l+ex

—ex—Z()—7

/(O+O)=lim------—?arctanx=lim----------arctanx=--------0=0,

.9(r1o-0+1

l+exe*+1

i*tV(O-O)=/(0+0),x=0為可去間斷點，應(yīng)選(A).

e_a

5.若/(x)=—...........,x=0為無窮間斷點，x=l為可去間斷點，則。=().

x(x-1)

(力)1(皮0(Oe(。)e1

解：由于x=0為無窮間斷點，所以(優(yōu)一。)|。0,故若。=0,則x=l也是無窮

lx=0

間斷點.由x=1為可去間斷點得a=e.故選(。.

三、計算應(yīng)用題

1.計算下列極限:

,,../X-l、<+2/_、rsin(x-l)/_、V9+sin3x-3

(1)xlim(-----)；(2)lim—------；(3)lim------------------；

x->8x+3x+x-2…x

1(1-2X)5(3F+X+2)

⑷lim「3+4);

Ix2-x-12x-T⑹k(x-l)(2x-3)6

解：(1)lim(2」)n2

XT8x+3

x-1x+34

x+3i-x—1(x+3)~.

rlim—=lim------\_—=-4

x->001.r->00—1

7+2(x+2)2

lim(土］產(chǎn)=二

?isx+3

△「sin(x-l)..sin(x-1)

(2)lim—------=hm------------——

—x"-21(x-l)(x+2)

..sin(x-1)..1

=lim-----------lim------

Hx-l11X+2

(3)解對分子進行有理化，即分子、分母同乘j9+sin3x+3,然后利用第一重要

極限和四則運算法則進行計算.即

lim‘9+sin3.3=］加心+sin+sin3x+3)

,9。xI。x(j9+sin3x+3)

sin3x1_11

lim--------xhm,-=3x—=—

iox,9+sin3x+362

(4)解將分子、分母中的二次多項式分解因式，然后消去零因子，再四則運算法則

和連續(xù)函數(shù)定義進行計算.即

x~—5x+4

lim

.v-?4

-x—12-i4(x_4)(x_3)

4-1

=3

4^3

、T4(X-3)

(5)解先通分，然后消去零因子，再四則運算法則和連續(xù)函數(shù)定義進行計算.即

3-x‘Mm"-'-。+1)

lim(

XT1x2-lx-\1(x-l)(x+1)

=lim/

HX+1

(—2)5x33

(6)則KF)-1~~~2

XX

2.設(shè)函數(shù)

?17

xsin—+/?x<0

x

/(x)=ax=0

sinx

x>0

X

問(1)。力為何值時，f(x)在尤=0處有極限存在？

(2)出。為何值時，/(幻在x=0處連續(xù)?

解:(1)要f(x)在x=0處有極限存在,即要limf(x)=limf(x)成立。

XT。-XT。-

因為limf(x)-lim(xsin—4-Z?)=b

XT。-XT(rX

..“、i.sinx

limj(x)=lim-------=1

xfO'.t->0+x

所以，當(dāng)6=1時，有l(wèi)im/(x)=lim/(x)成立，即8=1忖，函數(shù)在x=0處有極限

x->0-xfO*

存在，又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關(guān)，所以此時?？梢匀∪我庵怠?/p>

(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是

lim/(x)=lim/(x)=f(x0)

A->.r0XT君

于是有。=1=/(0)=。，即。=匕=1時函數(shù)在x=0處連續(xù)。

/+nx~+h

3.已知lim一-=8,試確定。和〃的值

12

x-2

X+aX32

解.vlim=8,lim(x+ax+而=8+4。+匕=0,即6=—8—4。

xf2X—2*T2

32

「x+ax+bx3+ax--4。一82

/.hm-----------=lim---------------=lim[x+(a+2)x+2a+4]=4Q+

12X-2T%-2

a=一1,故b=—4

e+11

4.求lim—；--arctan—

XTO1x

ex-1

解.*.*limex=+00,limex=0,

10+xf(r

1_1

e'+l114-PX1jr

lim-...arctan—=lim------limarctan—,

-rf0+-X1。+--10+x2

ex-1-l-ex

_L_11

..e*+l1..eA+1..17t..+11TC

lim-...arctan—=lim—----limarctan—=—,/.lim-....arctan—=—

.rf(r1XXT0--10-x2-X2

ex—1ex-Iex-\

5.設(shè)/(x)=(e*T，x>°,求f(x)的間斷點，并說明間斷點的所屬類型

ln(l+x),-l<x<0

11

解./(x)在(—1,0),(0,1),(1,+8)內(nèi)連續(xù)，lime二1=00,lime771=0,/(0)=0,因此,

x->rx->r

X=1是/(x)的第二類無窮間斷點；lim/(x)=lim=e'1,

x->0+xfO*

limf(x)=limln(l+x)=0,因此x=0是f(x)的第一類跳躍間斷點.

XT。-XT。-

X4.x%'"

6.討論/(x)=lim-的連續(xù)性。

-8\+e"x

c[x2,x>0

X+r2z>/w

解./(x)=lim=\0,x=0,因此/(x)在(—8,0),(0,+8)內(nèi)連續(xù)，又

"78l+e*r

x,x<0

lim/(x)=/(0)=0,/(x)在(一8,+8)上連續(xù).

第三章微分學(xué)基本理論作業(yè)(練習(xí)三)參

考答案

一、填空題

1.設(shè)/(x)=(1+cosx)x+1sin(x2-3x),則/z(0)=.

解：因為/(0)=0,sin(x2-3x)-x2-3x(x0),貝ij

,⑼=lim"/⑼=lim'+cosx產(chǎn)sin(x-3x)=2Hm士2=-6.

XT°X-01°XXT°X

2.lim曳_____________。

f。x-x0

解.原式:lim/[/(X)―/Go)]—/廣(x°)_〃x°)

.if。X-XQ

3.已知二"(丁)]=,，則/(X)=。

axx

解???:b(/)]=/(/).3/=L../，)=S，即八x)=，

axx3x'3x

4.設(shè)y=x(x-l)(x-2).(x-n),則y(""=(〃+l)!

5.fW=x2,則/(r(x)+l)=o

答案：(2》+1)2或41+4*+1

_14x_y2

6.函數(shù)Z=——'3式的定義域為___________

In(l-x-y)

解：函數(shù)z的定義域為滿足下列不等式的點集。

4x-y2>0y2<4xy2<4x

<]—/—>2>0nx2+y2<In<0<x2+y2<1

1-x2-y2w1%2+/a0

nz的定義域為：卜,)，)10</+/<]且曠2J%}

7.已知/(x+y,x-y)=^2y+xy2,則f(x,y)=.

解令x+y=〃，x-y=v,則x=〃；[,y=,/(x+y)(x-y)=xy(x+y)

”、u+vu-vuuz22、x,,

f(u9v)=---------=-(w--v-),f(x,y)=-(x-y)

8?設(shè)/(%y)=盯+2'2，則丸?I)=-----------°fy(。，1)=----------------

廠+y

?//(0J)=0+0=0

Ax+_孕--o

mi)=lim37(0,1)=Iim-+1=2

&T°AxASOAX

，，小i、/(O,Ay+l)-/(O,l)..0-0八

/(0,])=hm------------------------=hm------=0o

Ay—OAy4v->0Ay

9.由方程孫z+Jx?+y2+z2=四確定的函數(shù)z=z(x,y)，在點(1,0,-1)處的全微分

dz=o

解F(x,y,z)=xyz+\]x2+y2+z2-y/2=0

,+x

222222

&=上=yjx+y+z=yzyjx+y+z+x=1

SxF；z孫G+V+-2+z

Jf+r+j

&_Fy_XZy/x2+/+Z2+J_r-

/F"而+)…+「一

dz=dx-yjldy

A7

10.設(shè)z=/+sin=cos/,y=/，則一=o

d/

解—=-2xsinr+3/cosy

dt

二、選擇題

1,下列命題正確的是（D）

,

（A）/（x0）=[/（x0）y；

（B）/：（x（））=lim/'（x）;

lx。

（C）lim"x2）―/（、）=/，（x）

心Ax

（D）廣（為）=0表示曲線y=/（x）在點（x0,/（x0））處的切線與x軸平行

解/（x）=x時，/（1）=1,網(wǎng)）]'=0,故不選（A）

/（x）=，sin%"0時，y^）=2xsin--cos-,x^0；??”。，但

O,x=00,x=0

lim/'（X）不存在，故不選（B）；而lim以七?二Zl2=-/，（x）,故不選《）。

x->0+A.r->oAY

2.設(shè)/3=卜血？則/（幻在x=0處（）

[x,x<0

A.連續(xù)且可導(dǎo)B.連續(xù)但不可導(dǎo)

C.不連續(xù)但可導(dǎo)D.既不連續(xù)又不可導(dǎo)

解：(B)

lim/(x)=limx=0,lim/(x)=limxsin—=0,/(O)=0

x-?o-XT(Tx->o*A->O+x

因此/(x)在x=0處連續(xù)

1八

f(xsin——0.

/J(0)=limd/凹=lim----—=limsin此極限不存在

x->o+x-0io*x-0io*x

從而力(0)不存在，故/'(0)不存在

3.曲線y=Y一無在點（1,0）處的切線是（）.

A.y=2x-2B.y=-lx+2

C.y=2x+2D.y=-2x-2

解由導(dǎo)數(shù)的定義和它的幾何意義可知，

y'⑴=(/-x)[=(3x2-1)|=2

x=\x=\

是曲線y=/—x在點”，o）處的切線斜率，故切線方程是

y-0=2（x-l）,即y=2x—2

正確答案：A

4.已知y=,則>"=（）.

4

A.x3B.3x2C.6xD.6

解直接利用導(dǎo)數(shù)的公式計算：

<了=（》3），=3/

4

正確答案：B

5.若/d)=x，則/'(*)=()。

x

1111

A.-B.—C.——D.——-

xX'xx

答案：D先求出/(x),再求其導(dǎo)數(shù)。

6.Z=ln&-y2的定義域為（）.

22222D./-/〉0

%->1Bx-y>0cx-y>1

解Z的定義域為卜,〉)卜2-)，2>0｝個，選D。

7.下列極限存在的是()

(A)lim―-—(B)|im_!_(C)J.—(D)Hmxsin—!—

》+了

解A.當(dāng)P沿x=O時，lim/(O,y)=O,當(dāng)P沿直線y=O時，lim/(x,0)=1,故lim

y->0xf0x->0

y->0

^^不存在；B.lim—!一=8,不存在；C.如判斷題中1題可知lim—二不存在；D.

x+yXTOx+yiox+y

y->0j->0

因為limxsin----<Iimx=0,所以limxsin—--=0,選D

iox+yx-^O11x->ox+y

)TOv->0y->0

8./（羽）0在儀0,丫0）處笠，笠均存在是/（x,y）在（Xo，y（））處連續(xù)的（）條件。

Oxdy

（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）既不充分也不必要

解因為理，學(xué)存在，/(x,y)在(%,%)處不一定連續(xù)，所以非充分條件。

dxoy

一孫一x'+y』

例如：〃x,y)=/+/',由偏導(dǎo)數(shù)的定義知道。

0,r+y2=0

A(0,0)=lim^(AX(O)-^(O,O)=lim^=0,同理可得力(0,0)=0,但lim善:不存在,

ATTOAr心―。Axiox"+y~

)T0J

所以在(0,0)不連續(xù)，若/1(x,y)在(%,%)處連續(xù)，gg在(X。,九)也不一定

x+yoxoy

存在，所以非必要。

例如f(x,y)=lxl+lyL它在點(0,0)點處連續(xù)，但理,更不存在。選D。

dxdy

9.設(shè)”砧〃正2),“)可微,且滿足y2—)，2"=uG(xy)則G(x,y)=().

xydxdy

(A)x+y(B)x-y(C)x2-y2(D)(x+y)2

2

寤?,duydu

解G(x,y)=---------—

udxuoy

x\r,,xxy—(x+y)yy,,,■xy-(x+y)x

—(xf+xyf)----------)----(xff+xyf---------

uxyuxy'

任當(dāng)=x—y

u

選B

10.肯定不是某個二元函數(shù)的全微分的為()

(A)ydx4-xdy(B)ydx-xdy(C)xdx+ydx(D)xdx-ydx

2222

解A(個)，C(±-L2L),D(二二匕)都是某個二元函數(shù)的全微方，只有B不是，選

22

B。

三、求解下列各題

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(1)/(x)=lgx

解：

(2)y=ln(x+71+x2)

解：y=-------"J(X+yll+x2)'

(x++尤~)

(i+x2n

(X+71+X2)2V1+X2

[(]+2x)

(x+Jl+廠)2J1+

1X+Vl+X21

(x+7i+x2)7i+x2\+x2

(3)u=xy

解：一二y-x'

dx

—=xyInx?zyzxy'yz~xInx

du

一=xInx-yz=xy'yzIny

dz

(4)F(x,y)=ff(s)ds+kdx

解要=f(xy)y

dx

^=xf(xy)-f(y)

Sy

2.求曲線y=Inx在(1,0)點處的切線方程。

解：/'(x)=L,女=/()=工=1,于是，曲線y=Inx在(1,0)點處的切線方程為:

xXy

y-0=攵?(x-1),即y=x—1。

3.下列各方程中y是工的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)xy-ex+ev=1,求y'

解：方程兩邊對自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，即

(孫)，—(e、y+(e、y=r

y+xyr-ex+e'y'=0

(x+e))y，=ex-y

整理得y=——e"-士v

x+e'

(2)設(shè)丁=$由0+丫)，求立，；

dxdx"

解：y'=cos(x+y)?(1+y')y，=cos(:+y)

1-cos(x+y)

y"=-sin(x+y)?(1+yr)2+cos(x+y)?y"，

”sin(x+y)-y

y=-----------------=----------------

[l-cos(x+y)]3fl-cos(x+y)]3

a2

(3)設(shè)z=z(x,y)由方程z+x=e~f所確定，求?；：；——z.

dyox

解：設(shè)/(x'y,zQezr-z-x,

yzy

工=-1,Fy=-e-,F;=e--l,

dz_]dz_e",__1

以一e"T，瓦―e〉-1-1-ei

2

dz"1、-eidze"

,______()-----------a_____________

"dydx1-ei(1-ey-z)2dx(1-ey-z)3

4.求下列極限

⑴lim±R

+y

..1—xy1—0

解lim—~q=----=1

>'->1x~+Jy1+0

l-cosJx?+y

(2)

lim72

,V->0x~+y

y^O

2(sinF2Jx2+y22

+y)22(sinV2)

1-cos+y2

解limlim2lim

2.2-x2+y2

x->0x+yx->0XTO■Jx2+y222

y->0v->0yfO4。2)

..x

(3)lim----

rx+y

y->0J

解lim不存在。

*->ox+y

y->0

?.?當(dāng)P沿著直線x=0時，lim一一=O

.v->ox+y

當(dāng)P沿著直線y=H(左為任意數(shù)),lim—^―=lim---=—!—工0

刀-ox+y-v->ox+kx1+左

y->0y->0

所以lim—匚不存在

XTOx+y

y->0

xy22c

5?設(shè)“、/2；2，x-+y-HO討論f(x,y)在(0,0)

f{x,y)=Uxi+yz，，

0,/+y2=o

(1).偏導(dǎo)數(shù)是否存在。(2).是否可微。

(1)解：爾0,0)=lim/4，。)二/(。，。)=1加=0

-AxAt->oAx

同理可得力，(0,0)=0,偏導(dǎo)數(shù)存在。

(2)若函數(shù)f在原點可微，則

Az-Jz=/(O+Ax,0+Ay)-/(0,0)-_/V(O,O)Ax-萬(0,(W=/丁的

JA?+A/

應(yīng)是較p高階的無窮小量，為此，考察極限lim絲這=lim-與2，由前面

0fop(-?)T(o.o)+Ay

所知，此極限不存在，因而函數(shù)了在原點不可微。

6.設(shè)z=e"，。求證：/包+y2生=2z

dxdy

1I11ca11

、Tdz1dz——12azi2&°o

證：一=ex>o—,一=exyo—,所以x—+y—=2e)=2z

&X2②y2dxdy

第四章微分學(xué)應(yīng)用作業(yè)(練習(xí)四)參考答案

一、填空題

1.函數(shù)y=3(x-l)2的駐點是,單調(diào)增加區(qū)間是，單調(diào)減少區(qū)間

是,極值點是,它是極—值點.

解:X=1,(1,+8),(-8,1),X=1,小

2.函數(shù)>=卜|在彳=處達到最小值，y的駐點?

解：0,不存在

3.若/(X)在(a,b)內(nèi)滿足〃(x)<0,則/(x)在(a,加內(nèi)是.

解：單調(diào)減少的

4.函數(shù)f(x,y)=xy-xy2-x2y的可能極值點為和。

2x=—

fx=y-y-2xy=y(l-2x-y)=0Jx=0Jx=0(x=13

解/=x-2xy-x2=x(l-x-2y)=0[y=01,v=l[y=0

v1

'-2y]-2y-2P

九.=—2y,/x)f=l-2y-2x,f=-2x

>yJ-2y_2x-2x)

(0,0)不是，(0,1)不是

]J不是

11?/-2/3-1/3、1

(5寸=1-1/3-2/3)負定，極大值()

r3

22

5.設(shè)f(x,y)=xsiny+(x-1)JlxyI則f'y(1,0)=

解：因為/(I,y)=siny,故f；(1,0)=cosy|v=0=1

二、選擇題

1.設(shè)/(無)