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無理數(shù)無線不循環(huán)也稱為無限不循環(huán)小數(shù),不能寫作兩整數(shù)之比。若將它寫成小數(shù)形式,小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個,并且不會循環(huán)。常見的無理數(shù)有非完全平方數(shù)的平方根、π和e(其中后兩者均為超越數(shù))等。無理數(shù)的另一特征是無限的連分數(shù)表達式。無理數(shù)最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)。定義常見的無理數(shù)有:圓周長與其直徑的比值,歐拉數(shù)e,黃金比例φ等等。75%定義一、無理數(shù)也可以通過非終止的連續(xù)分數(shù)來處理。無理數(shù)是指實數(shù)范圍內不能表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)。簡單的說,無理數(shù)就是10進制下的無限不循環(huán)小數(shù),如圓周率、等25%定義二、歷史由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀下半葉。1872年,德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù),并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上,從而結束了無理數(shù)被認為“無理”的時代,也結束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機。75%追溯證明方法歐幾里得《幾何原本》中提出了一種證明無理數(shù)的經(jīng)典方法:證明:√2是無理數(shù)假設不是無理數(shù)∴是有理數(shù)令(、互質且,)兩邊平方得即通過移項,得到:∴必為偶數(shù)∴必為偶數(shù)令則∴化簡得∴必為偶數(shù)∴必為偶數(shù)綜上,和都是偶數(shù)∴、互質,且、為偶數(shù)矛盾原假設不成立∴為無理數(shù)後會·有期證明是無理數(shù)(整數(shù)),互素。假設則存在則a為偶數(shù),設,為正整數(shù)代人上式有則b同樣是偶數(shù),與條件(,)為互質的最
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