高考真題數(shù)列與不等式

2019年高考真題數(shù)列與不等式

1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛QJ的前4項(xiàng)和為15,且。5=3。3+4勾，則。3=()

A.16

B.8

C.4

D.2

2.不等式\x+l\<5的解集為.

3.已知數(shù)歹(J｛廝｝,從中選取第，1項(xiàng)、第。2項(xiàng)、???、第*”項(xiàng)伯<〃2<???<，m)，若

a)：1<a,-2<---<aim,則稱新數(shù)列為,外，…，氣,為｛廝｝的長(zhǎng)度為m的遞增子列.規(guī)定：數(shù)

列｛QJ的任意一項(xiàng)都是｛??｝的長(zhǎng)度為1的遞增子列.

(1)寫(xiě)出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列.

(2)已知數(shù)列｛外,｝的長(zhǎng)度為P的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為am。，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)

的最小值為a”。.若P<q,求證：amo<dnti.

(3)設(shè)無(wú)窮數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若｛a?｝的長(zhǎng)度為s的遞增子

列末項(xiàng)的最小值為2s—1,且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s—1的遞增子列恰有2ST個(gè)(s=l,2,-??),

求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

4.設(shè)等差數(shù)列｛廝｝的前幾項(xiàng)和為S”，若a.2=-3,S5=-10,則。5=,4的最小值

為.

5.設(shè)等差數(shù)列｛Q0｝的前九項(xiàng)和為S”，。3=4,a尸S3.數(shù)列效”｝滿足：對(duì)每個(gè)neN*,

Sn+b”，Sn+i+bj,,S*+2+b”成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a?｝，砂”｝的通項(xiàng)公式;

(2)n€N*,證明：C1+C2+???+c?<2\/n,ncN*.

6.設(shè)a,6cR,數(shù)列｛斯｝滿足ai=Q,廝+尸4+匕，ncN*,則()

A.當(dāng)時(shí)，aio>lO

B.當(dāng)b=；時(shí)，aio>lO

4

C.當(dāng)b=—2時(shí)，aio>lO

D.當(dāng)b=—4時(shí)，aio>lO

{n—3y+420

3rr-y-4^0,則z=3x+2y的最大值是（）

x+y^O

A.—1

B.1

C.10

D.12

8.已知Q=log52,b=log。50.2,C=0.5°2,則Q,b，。的大小關(guān)系為（）

A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b

9.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是恒。

2

（^1?0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭

頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是正1.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿

2

長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是（）

A.165cm

B.175cm

C.185cm

D.190cm

10.已知數(shù)列｛%｝(neN*)是等差數(shù)列，S”是其前n項(xiàng)和.若a2a5+a8=0，Sg=27,則的值

是.

11.若a〉b,貝)

A.In(a-b)>0

B.3"<3"

C.a3-ft3>0

D.|a|>\b\

八c1(x+1)(2y+l)

12.設(shè)立>0,y>0,x+2y=5,則^---=---^的最小值為.

13.若立，"滿足|劍Wl-y，且沙2-1,則3工+y的最大值為()

A.-7

B.1

C.5

D.7

14.記S”為等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和.已知S4=0,。5=5,則()

A.an=2n-5

B.a?=3n—10

C.Sn=2n~-8n

1,

D.Sn——n"—2n

15.已知數(shù)列｛斯｝和｛“J滿足ai=l,6i=0,4a?+i=3a,1-6?+4,4b,l+i=36?-an-4.

(1)證明：｛a“+，,｝是等比數(shù)列，｛冊(cè)-，,｝是等差數(shù)列.

(2)求｛%｝和｛%｝的通項(xiàng)公式.

3

16.已知。=儂20.2,1)=2°,C=0.2°->則()

A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.b<c<a

17.設(shè)｛a”｝是等差數(shù)列，｛”,｝是等比數(shù)列.己知的=4,加=6,b2=2a2-2,63=2a3+4.

(1)求｛〃｝和｛"｝的通項(xiàng)公式.

Jl,2A<n<2A'+1

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足ci=1,

k其中kcN*.

Ibk,n=2

（i）求數(shù)列｛。2“（C2--1））的通項(xiàng)公式；

2n

（ii）求X/cGeN*）.

1=1

18.已知Q=log,2,b=logo50.2,C=0.5°2,貝|Q,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b

（x+y-2^0

19.設(shè)變量c,V滿足約束條件《則目標(biāo)函數(shù)z=-4，+v的最大值為（）

Iy>-i

A.2

B.3

C.5

D.6

20.定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.

(1)已知等比數(shù)列｛aj(neN*)滿足：0204=05,a3-4a2+4ai=0,求證：數(shù)列｛斯｝為

“V-數(shù)列”.

122

(2)已知數(shù)列｛b〃｝SeN*)滿足：&i=l,h=二一L，其中為數(shù)列｛0｝的前幾項(xiàng)和.

?冊(cè)冊(cè)+1

①求數(shù)列｛“,｝的通項(xiàng)公式；

②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“數(shù)列”｛cn｝(zieN*),對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)kWm時(shí)，都有

CAWWWC*+I成立，求m的最大值.

21.已知等差數(shù)列｛斯｝的公差de(0,可，數(shù)列｛，7)滿足bn=sin(%),集合S=等|c=bn,尤N*｝.

7T

(1)若ai=],求d使得集合S恰有兩個(gè)元素.

(2)若集合S恰有三個(gè)元素，bn+T=bn,T是不超過(guò)7的正整數(shù)，求T的所有可能的值.

22.已知數(shù)列｛a,,｝中，ai=3,前幾項(xiàng)和為Sn.

(1)若｛Qn｝為等差數(shù)列，且四=15,求S”.

(2)若｛廝｝為等比數(shù)列，且&<12,求公比q的取值范圍.

23.如圖，已知正方形OABC，其中OA=a(a〉l),函數(shù)沙=3/交8c于點(diǎn)P，函數(shù)g二1一』交

AB于點(diǎn)Q，當(dāng)MQ|+|CP|最小時(shí)，則a的值為-

24.記S”為等差數(shù)列｛與｝的前n項(xiàng)和.若何r0,a2=3ai,則望=

25.記S”為等比數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和.若創(chuàng)=5，al=a6,則$5=.

O

參考答案

1.【答案】C

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛a,J的公比為q（q>0）,

則由前4項(xiàng)和為15,且fl5=3a3+4ai,

,旦ai+aiq+aiq-+aiq=15.（?i=l

aiq4=3aiq2+4ait9=2'

<13=22=4，

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】等比數(shù)列的基本量問(wèn)題

【來(lái)源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)III）；2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷

（文科）（新課標(biāo)III）

2.【答案】（-6,4）

【解析】解：由也+1]<5得一5<2+1<5,即一6<工<4,

故答案為：（—6,4）.

【知識(shí)點(diǎn)】解絕對(duì)值不等式

【來(lái)源】2019上海春季高考

3.（1）【答案】1,3,5,6（答案不唯一）

【解析】解：由遞增子列的定義可以寫(xiě)出滿足題意的遞增子列有：1,3,5,6或1,3,5,

9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9.（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】數(shù)列的綜合問(wèn)題

【來(lái)源】2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

3.（2）【答案】見(jiàn)解析

【解析】證明：長(zhǎng)度為q的遞增子列的前p項(xiàng)可以組成長(zhǎng)度為。的一個(gè)遞增子列，

...%0>該數(shù)列的第P項(xiàng)》%?（）,

..am0<an@.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題

【來(lái)源】2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

3.（3）【答案】a2n-2n-l,a2n-i=2n,neN*

【解析】解：考慮2s-l與2s這一組數(shù)在數(shù)列中的位置.

若｛廝｝中有2s,且2s在2s-l之后，則必然是長(zhǎng)度為6+1,且末項(xiàng)為2s的遞增子列，

這與長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2$—1矛盾，」.2s必在2s—1之前.

繼續(xù)考慮末項(xiàng)為2s+l的長(zhǎng)度為s+1的遞增子列.

?.?對(duì)于數(shù)列2/1—1,2n,由于2n在2n—l之前，.?.研究遞增子列時(shí)，不可同時(shí)取2九與2/1—1,

?.?對(duì)于1至2s的所有整數(shù)，研究長(zhǎng)度為s+1的遞增子列時(shí)，第1項(xiàng)是1與2二選1,第2項(xiàng)是3

與4二選1,???,第s項(xiàng)是2s—1與2s二選1,

故遞增子列最多有2'個(gè).由題意，這s組數(shù)列對(duì)全部存在于原數(shù)列中，并且全在2s+l之前.

「.2,1,4,3,6,5,???,是唯一構(gòu)造.

即。2九=2八—1,。2幾-.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】數(shù)列的綜合問(wèn)題

【來(lái)源】2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

4.【答案】0-10

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為s”，Q2=-3,S5=-10,

fQi+d=—3

_5x4r八，

!5QI+-^—d=-l0

解得Ql=-4,d=l,

/.Q5=ai+4d=-4+4xl=0,

n(n—l)ri(n—I)1(9\281

S=n(ziH----d=------=~(n——)——-,

n222\2/8

二.n=4或n=5時(shí)，S”取得最小值為S4=S5=-10.

故答案為：0,-10.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】等差數(shù)列的綜合問(wèn)題、【題型】等差數(shù)列的基本量問(wèn)題

【來(lái)源】2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

5.(1)【答案】a?=2n-2,ncN*；

bTl-n~+n,TICN*

【解析】解：設(shè)數(shù)列｛QJ的公差為d,

由題意得出叱=；3

解得Q1=O,d=2,

an=2n-2,neN*,

2

...Sn=n—n,ncN*.

?.?數(shù)列｛，?｝滿足：對(duì)每個(gè)"GN=Sn+bnfSn+i+b〃，&+2+b〃成等比數(shù)列，

(Sn^i+bny=(S〃+b〃)(S〃+2+b〃),

解得bn=：(Sj+i-SnSm+z),

即bn=TT-\-n，ncN*.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】等差與等比數(shù)列綜合

【來(lái)源】2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷

5.(2)【答案】見(jiàn)解析

【解析】證明：cn=4/~\Q—(4_i\=[/―(?n,ncN",

V2ony2n(n+1)yn(n+1)

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)九=1時(shí)，q=0<2,不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k€N*)時(shí)不等式成立，即Q+C2+.??+”<24，

則當(dāng)冗=k+1時(shí),

。1+。2+?一+必+以+1

<2\/fc+<24+

(fc+1)(fc+2)fc+1

<2\/fc+——T=

=24+2(v^TT-4)

=2，k+l，

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立，即C1+C2+-一+Q+Q.+I<2Vk+1.

由①②得-----匕7<26對(duì)任意幾eN*成立.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用、【題型】數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題

【來(lái)源】2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷

6.【答案】A

【解析】解：對(duì)于B,令C+；=0,得力=3，

42

而111

取。1=2，.?.Q2=]，?一，n

,?.當(dāng)6=?時(shí)，oio<10,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令/_/_2=0,得7=2或7=-1,

取ai=2,???,a?=2<10,

.?.當(dāng)b=-2時(shí)，aw<10,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令，—工—4=0,得工=1^1,

LJ

前1+A/171+7171+717

取回=>a-2=---'?一，a?=<1i0n>

.,.當(dāng)b=-4時(shí),aio<lO,故D錯(cuò)誤;

213

對(duì)于A,仞=。~+2^2,°3=(Q2+2+2

2-4-

L

/49319117i

Q4=(Q+Q--+—2--+-=-->1,

216216

%+1一0>0,｛斯｝為遞增數(shù)列，

11

當(dāng)時(shí)，皿=而+2〉1+[=:,

Q,?.Q?z22

'053

--〉一

a42

的、3

?常>儉）…“1?！掉敗?。故A正確.

。52，

Q103

荔〉5

故選：A.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】數(shù)列的綜合問(wèn)題、數(shù)列的單調(diào)性

【來(lái)源】2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷；2018-2019學(xué)年江西省宜春市高安中學(xué)高一（下）期末數(shù)

學(xué)試卷（理科）（a卷）；2019浙江省

7.【答案】C

'ar—3什4》0

【解析】解：由實(shí)數(shù)立，沙滿足約束條件｛3z-y-4（0作出可行域如圖，

聯(lián)立｛3；-"-4：0>解得4（2,2），

31

化目標(biāo)函數(shù)z=3r+2V為片一'-x+-z,

QI

由圖可知，當(dāng)直線沙=—?刀+52過(guò)4（2,2）時(shí)，直線在沙軸上的截距最大,

2有最大值：10.

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

【來(lái)源】2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷

8.【答案】A

【解析】解：由題意，可知：

a=log52<l,

-J

b=log050.2=logi|=log2-i5=log25>log24=2.

c=0.502<b

」.b最大，a、c都小于L

?"=1砥2=彘，c=°-5°-2

而log25>log24=2>\/2,

11

log25<溝

：.a<c,

：.a<c<b.

故選：A.

【知識(shí)點(diǎn)】比較大小之中間數(shù)法

【來(lái)源】2019天津市高考真題天津卷6

9.【答案】B

【解析】解：頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,

說(shuō)明頭頂?shù)窖屎淼拈L(zhǎng)度小于26cm,

得1

由頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比是?0.618,

2

可得咽喉至肚臍的長(zhǎng)度小于兩42cm,

由頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是燙二1,

2

42126

可得肚臍至足底的長(zhǎng)度小于?110cm,

0.618

即有該人的身高小于110+68=178cm,

由肚臍至足底的長(zhǎng)度大于105cm,

可得頭頂至肚臍的長(zhǎng)度大于105x0.618x65cm,

即該人的身高大于65+105=170cm,

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)

【來(lái)源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）；2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷

（理科）（新課標(biāo)I）；2018-2019學(xué)年浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)、杭州二中、嘉興一中、諸暨中學(xué)、效

實(shí)中學(xué)五校高二下6月月考數(shù)學(xué)卷；2019高考真題新課標(biāo)I4

10.【答案】16

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為ai,公差為心

（ai+d）（a1+4d）+ai+7d=0

fai=-5

則Ic9x8Jg

9ai-!——-d=27\d=2

8x7

Ss=8aiH—d=8x（—5）+28x2=16.

故答案為：16.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】等差數(shù)列的基本量問(wèn)題、等差數(shù)列的求和公式

【來(lái)源】2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷；2019江蘇省

11.【答案】C

【解析】解：取a=0,b=-l,則

In（a-b）=In1=0,排除A；

3"=3°=l>3b=3T=1,排除B；

o

333

a=0>（-l）=-l=b\故C對(duì)；

|a|=0<|-1|=1=&,排除D.

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)

【來(lái)源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)II）

12.【答案】4\/3

【解析】x>0,y>0,x+2y=5,

(x+1)(2y+l)_2xy-\-x-\-2y+l

則

x/xy一回

2g/+6=2?+*

由均值不等式得:

6rT=pI7=2

當(dāng)且僅當(dāng)20=-^,即即=3,工+2—5,即《:二；或〈3時(shí)，等號(hào)成立,

\jxvIy-1Iy—2

（化+1）（2什1）「

故一）r）的最小值為4四.

故答案為4\/3-

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】均值不等式應(yīng)用技巧之構(gòu)造不等式

【來(lái)源】2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

13.【答案】C

【解析】解：由\"?<1一"作出可行域如圖陰影部分所示，

y^-1

聯(lián)立｛X-l=0）解得42,T），

令z=3z+y,ft;為g=_3/+z,

由圖可知，當(dāng)直線v=-3z+z過(guò)點(diǎn)4時(shí)，z有最大值為3x2—1=5.

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

【來(lái)源】2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

14.【答案】A

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d，

由Sj=0,Q5=5,得

（4QI+6d=0（Q]=—3

[QI+4d=5，..[d=2，

-5,SJI=TI~—472，

故選：A.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】等差數(shù)列的基本量問(wèn)題

【來(lái)源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)I）；2019高考真題新課標(biāo)I9

15.（1）【答案】見(jiàn)解析

【解析】證明：,.,4g+1=3斯—b〃+4,4&H4-i=3bn—an—4,

4（Q?z+i+b八+i）=2（%,+⑥）f4（Qn+i-b〃+i）=4（Q.〃—6n）+8,

即Q〃+]+b〃+]=—（。八+0），Q??+l—^n+l=^n—〃?+2.

又。1+打=1,ai—6i=l,

｛廝+b,,｝是首項(xiàng)為1,公比為；的等比數(shù)列,

｛廝-“,｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】等差數(shù)列的判定、【題型】等比數(shù)列的判定

【來(lái)源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)II）

15.(2)【答案】即=0+九一］'"尸0—"+2

【解析】解：4a??+1=30n—，?+4①，4，計(jì)1=36九—a九—4②,

由①+②可得：Q〃+i+b〃+i=-(Q〃+“J,

由①一②可得：。八+1-'.+1=?！?—b〃+2,

。九―勾=1+2(71-1)=2n—1；

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】等差數(shù)列的基本量問(wèn)題

【來(lái)源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)H）

16.【答案】B

【解析】解：a=log20.2<log2l=0,

6=2°-2>2°=1>

?.-0<0.2°-3<0.2°=1.

c=0.2°-3e（0.1）,

：.a<c<b,

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)】比較大小之中間數(shù)法

【來(lái)源】2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）；2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷

（理科）（新課標(biāo)I）；2019高考真題新課標(biāo)I3

17.（1）【答案】見(jiàn)解析

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,等比數(shù)列｛，,｝的公比為q,

依題意有：

'6q=6+2d（d=3

［6/=12+4d'解倚3=2,

an=4+（n—1）x3=3n+l,

bn=6x2"-i=3x2”.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】等差與等比數(shù)列綜合

【來(lái)源】2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

17.（2）【答案】見(jiàn)解析

12A<n<2fc+1

',其中kcN*.

b,n=2k

｛k

nnn

：.a2n（c2?-l）=a2n（bn—1）=（3x2+l）（3x2-l）=9x4-l,

二.數(shù)列｛fl2"（C2"-1）｝的通項(xiàng)公式為?2"（C2?-1）=9x4n-l.

2"2n2"n

（ii）￡。衿=￡［出+/（c；：-l）］=￡心+￡a2,（c2（-l）

i=li=li=lt=l

￡(9x4J)

x3+

2=1

4(1—4。)

=(3x22n-1+5x2n-1)+9x

1-4

=27x22^1+5x2n-1-n-12(neN*).

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】分組求和、數(shù)列通項(xiàng)公式的概念

【來(lái)源】2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

18.【答案】A

【解析】解：由題意，可知：

a—logg2<1,

]

6=log0.2=log1-=log-i5-log5>log4=2.

0525222

c=O.5o2<b

」.b最大，Q、c都小于1.

而log.25>log24=2>>/2>

11

：.a<c,

.'.a<c<b.

故選：A.

【知識(shí)點(diǎn)】比較大小之中間數(shù)法

【來(lái)源】2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

19.【答案】C

x+y-2^0

二,2叫作出可行域如圖:

{8-1

聯(lián)立{二/2=0,解得4（T」），

化目標(biāo)函數(shù)？=-4工為v=4c+z,由圖可知，當(dāng)直線?/=4?+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)力時(shí)，z有最大值為5.

故選：C.

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

【來(lái)源】2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)；2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

20.(1)【答案】見(jiàn)解析

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,則

由a2a4=。5,。3-4。2+4。1=0,得

(a；q4=aiq」(aj=l

4aiq+4ai=019=2

數(shù)列｛a”｝首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)，

即數(shù)列｛%｝為““一數(shù)列”.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】等比數(shù)列的基本量問(wèn)題、【題型】等比數(shù)列的綜合問(wèn)題、【題型】數(shù)列的新

定義問(wèn)題

【來(lái)源】2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷：2019江蘇省

20.(2)【答案】見(jiàn)解析

122

【解析】解：①,.,歷=1,~7--7---，

?On?n+l

,1122、

.?.當(dāng)n=l時(shí)，不=廣=二一二，.'.與=2，

3]。1。1。2

1122

當(dāng)n=2時(shí)，不="~~=--T-,勾=3,

02。1+。2⑴

1122

當(dāng)九=3時(shí)，三=KTZTTF=二一不，「?b=4，

猜想以=71,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明；

(i)當(dāng)九=1時(shí)，61=1,滿足⑥=九，

(ii)假設(shè)"=k時(shí)，結(jié)論成立，即瓦二E,則zi=k+l時(shí)，

122

由h=I—I—，得

2bkSk2人中

bk+1-=a+L

2Sk-bk~2.咤_fc

故n=k+1時(shí)結(jié)論成立，

根據(jù)(i)(ii)可知，bn=72對(duì)任意的zicN*都成立.

故數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為bn=n；

②設(shè)｛金｝的公比為q,

存在“A1—數(shù)列”｛cn｝(neN*),對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)拈時(shí)，都有〃WWWck+i成立,

即qkT&Hqk對(duì)kWm恒成立，

當(dāng)k=l時(shí)，qZl,當(dāng)k=2時(shí)，\/2^g^2>

h】卜IDA,

當(dāng)k23,兩邊取對(duì)數(shù)可得，丁W丁丁對(duì)卜★小有解，

kk—1

ink'Ink'

即

kmaxmin

lure1-lux

令/(工)=---(JC23),則f(x)=

x

當(dāng)工23時(shí),尸(切<0,此時(shí)/3)單調(diào)遞減,

\nk'1113

.?.當(dāng)423時(shí),

~k~一3

max

令93)=磐323),則g'(x)=1一

］1—X

令0⑺=1-----111X,則d(X)=—y，

XX-

當(dāng)時(shí)，/(/)<0,即，(①)<0,

「.g⑺在［3,+oo)上單調(diào)遞減,

hi/Inm

即a23時(shí),k^l—7,則

minm—1

1113him

3、m-1，

下面求解不等式學(xué)(粵,

6m—1

化簡(jiǎn)，得3hin2-(m-1)hi3(0,

3

令h(m)=3him-(m-1)In3,則h'(m)---In3,

m

由得m>3,.?.八(m)在［3,+oo)上單調(diào)遞減,

又由于九(5)=3hi5-4hi3=In125-In81>0,h(6)=3In6-5In3=hi216-In243<0,

存在m0E(5,6)使得h(mo)=0,

.?.?m的最大值為5.

【知識(shí)點(diǎn)】【題型】數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用、【題型】數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題、【題型】數(shù)列的新

定義問(wèn)題

【來(lái)源】2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷；2019江蘇省

21.(1)【答案】見(jiàn)解析

【解析】bi=sinai=sin]=1,則&2=sin+d)=cosd,63=cos2d,…，

bn—sina?=sin(：+(n—1)d)—cos(n—l)d,

又因?yàn)榧蟂恰有兩個(gè)元素，所以cos(k—l)d=l或keN*,t/=1,又因?yàn)閐e(()m，

1、當(dāng)COS2d=10d=7r(0舍去)，當(dāng)d=7T今COS(k-l)7F=±1,符合題意，于是d=7T；

27r

2、當(dāng)cosd=cos2d=>2d+d=27r0d=方(d=2d=>d=0,0舍去)，

o

127r

代入檢驗(yàn)cos(k—1)d=_5或1,故d=.也滿足題意；

No

,,.27T_?

綜上：d=—或d=7r.

o

【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式、【題型】數(shù)列的綜合問(wèn)題

【來(lái)源】2019上海春季高考；2019上海市高考真題上海卷21

21.(2)【答案】見(jiàn)解析

【解析】解法一：因?yàn)閎n+r=b”,為周期數(shù)列,

1、當(dāng)T=1時(shí)，bn+i=bn,則｛b｝為常數(shù)數(shù)列，不符合集合S恰有三個(gè)元素，舍去；

2、當(dāng)T=2時(shí)，bn+2=b?,也不符合，舍去；

3、當(dāng)T=3時(shí),3+3=7,集合S=｛5但也｝,符合題意.

27r7r

4、當(dāng)T=4時(shí)，82+4=，,，則與=sin(。]+(n―1)d)=T=彳=4=>d=],

根據(jù)三角函數(shù)線一正弦線，可知，?、?0時(shí)，S={O,1-1},符合；

27r27r

5、當(dāng)T=5時(shí)，，葉5=",，b=sin(QI+(n-1)d)=T=—=5=>d=—,

na5

7Tf.7T7T'I

根據(jù)三角函數(shù)線一正弦線，可知，取。尸正時(shí)，S=|sin—,1-sin—符合;

27r7r

6、當(dāng)T=6時(shí)，吼+6=匕〃，b=sin(<2]+(n—1)d)=>T=—=60d=—，

Tl(to

根據(jù)三角函數(shù)線一正弦線，可知，取回=0時(shí)，S=|乎符合；

、

._..../\_2TF2TF

7、當(dāng)T=7時(shí)，bn+7=bn,6?=sin(ai+(n—1)d)=>T=—=7=>d=—,

根據(jù)三角函數(shù)線一正弦線，可知，因?yàn)镼i+Q2+???+Qk=27T,

則蚓+"T).亭=2TT=>A：—+卜(：1)=2，設(shè)ai=t7r,

277r7

則kt+W=2=>Jfe住+7JI)=14，根據(jù)整除性：

1、k=l=t=2