東北大學(xué)數(shù)值分析-總復(fù)習(xí)+習(xí)題課件

總復(fù)習(xí)一、緒論

1.掌握絕對誤差、絕對誤差限、相對誤差、相對誤差限及有效數(shù)字的概念。掌握誤差限和有效數(shù)字之間的關(guān)系。會計算誤差限和有效數(shù)字。2.了解數(shù)值計算中應(yīng)注意的一些問題.

一般地,凡是由精確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值,其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位。

定義1

設(shè)數(shù)x是數(shù)x*的近似值，如果x的絕對誤差限是它的某一數(shù)位的半個單位，并且從x左起第一個非零數(shù)字到該數(shù)位共有n位，則稱這n個數(shù)字為x的有效數(shù)字，也稱用x近似x*時具有n位有效數(shù)字。1最新版整理ppt二、解線性方程組的直接法1.了解Gauss消元法的基本思想,知道適用范圍2.掌握矩陣的直接三角分解法。順序Gauss消元法:矩陣A的各階順序主子式都不為零.

主元Gauss消元法:矩陣A的行列式不為零.

定理設(shè)n階方陣A的各階順序主子式不為零,則存在唯一單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使A=LU.

會對矩陣進(jìn)行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。

了解它們之間的關(guān)系。熟練掌握用三角分解法求方程組的解。

了解平方根法和追趕法的思想。2最新版整理ppt3.了解向量和矩陣的范數(shù)的定義,會判定范數(shù)(三要素非負(fù)性、齊次性、三角不等式);會計算幾個常用的向量和矩陣的范數(shù)；

了解范數(shù)的等價性和向量矩陣極限的概念。4.了解方程組的性態(tài)，會計算簡單矩陣的條件數(shù)。三、解線性方程組的迭代法1.會建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；會判定迭代方法的收斂性。

（1）迭代法收斂迭代矩陣譜半徑小于1.

（2）迭代法收斂的充分條件是迭代矩陣的范數(shù)小于1.

（3）A嚴(yán)格對角占優(yōu),則J法,GS法,SOR法(0<1)收斂.

（4）A對稱正定,則GS法,SOR法(0<<2)收斂.3最新版整理ppt2.掌握并會應(yīng)用迭代法的誤差估計式。四、解非線性方程的迭代法1.了解二分法的思想,誤差估計式|xk-|2-(k+1)(b-a).2.會建立簡單迭代法迭代格式；會判定迭代方法的收斂性。

定理若

(x)為I上的壓縮映射,則對任何x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收斂于(x)在I上的唯一不動點(diǎn).

推論若1.a(x)b;2.|(x)|L<1,x[a,b].則xk+1=(xk),x0[a,b]都收斂于方程的唯一根.4最新版整理ppt3.了解迭代法收斂階的概念,會求迭代法收斂的階.了解Aitken加速技巧.4.會建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的優(yōu)缺點(diǎn).了解Newton迭代法的變形.(1)xkp階收斂于是指:

推論若

(x)在附近具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且|()|<1,則對充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收斂.(2)若()0,則迭代法線性收斂.

局部平方收斂.5最新版整理ppt五、矩陣特征值問題

1.了解Gerschgorin圓盤定理,會估計特征值.1.了解差商的概念和性質(zhì).

2.了解乘冪法、反冪法的思想及加速技巧.

3.了解Jacobi方法的思想以及平面旋轉(zhuǎn)矩陣的構(gòu)造.六、插值與逼近Lagrange、Newton、Hermite插值多項式；基函數(shù)法及待定系數(shù)法。2.會建立插值多項式并導(dǎo)出插值余項.3.了解分段插值及三次樣條插值的概念及構(gòu)造思想。6最新版整理ppt

4.了解正交多項式的概念，會求簡單的正交多項式。1.了解求積公式的一般形式及插值型求積公式的構(gòu)造.掌握梯形公式和Simpson公式及其誤差。

5.掌握最小二乘法的思想，會求擬合曲線及最佳均方誤差.2.掌握求積公式的代數(shù)精度的概念，會用待定系數(shù)法確定求積公式。七、數(shù)值積分

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3.了解復(fù)化求積公式的思想和Romberg公式的構(gòu)造。5.了解微分公式建立形式，會求簡單的微分公式。

4.了解Gauss公式的概念，會建立簡單的Gauss公式。1.了解構(gòu)造數(shù)值解法的基本思想及概念。八、常微分方程數(shù)值解法

2.掌握差分公式局部截斷誤差和階的概念，會求差分公式的局部截斷誤差。3.會判斷單步方法的收斂性和穩(wěn)定性，求穩(wěn)定區(qū)間。8最新版整理ppt一、填空題（每空3分,共30分)考試題解析

解由于得特征值:

又A-1=2.設(shè)矩陣A=,當(dāng)a取______值時,A可以唯一分解為GGT,其中G為下三角矩陣.1.設(shè)矩陣A=,則

(A)=_______,Cond(A)1=_______.,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7.9最新版整理ppt

解令

解只要取

(x)=x3-a,或(x)=1-x3/a.5.設(shè)

(x)=x3+x2-3,則差商[3,32,33,34]=_______.

3.向量x=(x1,x2,x3)T,試問|x1|+|2x2|+|x3|是不是一種向量范數(shù)______,而|x1|+|2x2+x3|是不是一種向量范數(shù)_____.

是不是4.求的Newton迭代格式為_______________________.16.設(shè)l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3為互異節(jié)點(diǎn)的三次插值基函數(shù),則=____________.

(x-2)3

7.設(shè)S(x)=是以0,1,2為節(jié)

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解

(1)因為0<x

1時,(x)<0,x2時,(x)>0,所以(x)僅在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn),而當(dāng)1<x<2時,(x)>0,故(x)單調(diào).因此方程(x)=0有唯一正根,且在區(qū)間(1,2)內(nèi).點(diǎn)的三次樣條函數(shù),則b=________c=_________.

解由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得二、(13分)設(shè)函數(shù)

(x)=x2-sinx-1(1)試證方程(x)=0有唯一正根;(2)構(gòu)造一種收斂的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…計算精度為=10-2的近似根;(3)此迭代法的收斂階是多少?說明之.-23(2)構(gòu)造迭代格式:由于|(x)|=||<1,故此迭代法收斂.11最新版整理ppt(3)因為0<</2,所以

()

取初值x0=1.5,計算得x1=1.41333,x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.0035<10-2,故可取根的近似值x2=1.40983.

0故,此迭代法線性收斂(收斂階為1).三、(14分)設(shè)線性方程組(1)寫出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);(2)討論這兩種迭代法的收斂性.(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法計算時,預(yù)估誤差x*-x(10)

(取三位有效數(shù)字).12最新版整理ppt(2)因為A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,但不是正定矩陣,故Jacobi法收斂,SOR法當(dāng)0<1時收斂.

解(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分別為

(3)由(1)可見B

=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,經(jīng)計算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)

=1/2,所以有13最新版整理ppt四、(13分)已知

(0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)=0.5,

解

(1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x)

令0(x)=c(x-1)2(x-2),可得0(x)=-0.5(x-1)2(x-2),于是H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2–0.5x(x-1)(x-2)(1)試建立一個三次插值多項式H3(x),使?jié)M足插值條件:H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5;(2)設(shè)y=

(x)在[0,2]上四次連續(xù)可微,試確定插值余項R(x)=(x)-H3(x).

令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2;

令1(x)=x(x-2)(ax+b),可得1(x)=-x(x-2),

令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),=x3-2.5x2+2.5x+214最新版整理ppt

由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0,故可設(shè)五、(12分)試確定參數(shù)A,B,C及,使數(shù)值積分公式4=A+B+C,0=A-C,16/3=A2+C2,0=A3-C3有盡可能高的代數(shù)精度,并問代數(shù)精度是多少?它是否是Gauss公式?

解令公式對(x)=1,x,x2,x3,x4都精確成立,則有R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)構(gòu)造函數(shù)(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2)于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=064/5=A4+C4,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/215最新版整理ppt容易驗證公式對(x)=x5仍精確成立，故其代數(shù)精度為5，是Gauss公式。六、(12分)設(shè)初值問題(1)試證單步法

解

(1)由于是二階方法.(2)以此法求解y=-10y,y(0)=1時,