專題05 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（重難點(diǎn)突破）教師用-課后輔導(dǎo)專用2021年秋季高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版）

專題05對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、考情分析二、考點(diǎn)梳理重難點(diǎn)一對數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).重難點(diǎn)二對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).重難點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)三、題型突破重難點(diǎn)1對數(shù)與對數(shù)式的化簡求值如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例1．（1）（2021·長豐縣鳳麟中學(xué)高二期中（文））等于（）A． B． C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算與指數(shù)冪運(yùn)算即可得出結(jié)果．【詳解】故選：C（2）．（2021·全國高一專題練習(xí)）下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】對于A：，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C：∵,∴，故C正確，對于D：，故D不正確，故選：C.（3）．（2021·北京一七一中高三月考）___________.【答案】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】，故答案為：.【變式訓(xùn)練1-1】．（2017·全國高一單元測試）已知10m＝2，10n＝4，則的值為()A.2 B. C. D.2【答案】B【解析】＝＝＝＝.答案：B【變式訓(xùn)練1-2】．（2013·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為（）A． B．4 C．1 D．4或1【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?解得=1（舍去），=4，故選B.【變式訓(xùn)練1-3】．（2021·新疆五家渠市兵團(tuán)二中金科實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一開學(xué)考試）計(jì)算：___________.【答案】【分析】結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則以及換底公式計(jì)算即可求出結(jié)果.【詳解】，故答案為：.例2．（2021·海南省白沙黎族自治縣白沙中學(xué)高一期中）計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）lg500＋lg－lg64＋50(lg2＋lg5)2．【答案】（1）；（2）52.【分析】（1）直接利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）.（2）=52.【變式訓(xùn)練2-1】．（2019·羅平縣第二中學(xué)高一期中）計(jì)算：（1）.（2）【答案】（1）20

（2）-2【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算公式以及對數(shù)運(yùn)算公式即可求解?！驹斀狻浚?）=（2）=【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算，以及計(jì)算能力，（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可。（2）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)求解即可，屬于基礎(chǔ)題。重難點(diǎn)2對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)例3．（1）．（2021·陜西商洛市·鎮(zhèn)安中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的圖象如下圖所示，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圖象求得的解析式，再根據(jù)關(guān)于直線對稱的函數(shù)互為反函數(shù)求解即可【詳解】由圖象可得，，故，又函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，故與互為反函數(shù)，故故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)圖象求對數(shù)函數(shù)的解析式、對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)等，屬于基礎(chǔ)題（2）．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由對稱性知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，故選B．（3）．函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0【答案】D【解析】由于f(x)的圖象單調(diào)遞減，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故選D.（4）．當(dāng)a>1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象為()ABCD【答案】C【解析】∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，∴y＝a－x是減函數(shù)，y＝logax是增函數(shù)，故選C.【變式訓(xùn)練3-1】．（2021·浙江省諸暨市第二高級中學(xué)高二期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)具體函數(shù)的定義域的求法，得到，解不等式組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：B.【變式訓(xùn)練3-2】．（2020·云南昭通市·）若函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(其中且)的圖象過定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)是冪函數(shù)求得，由此求得所過定點(diǎn).【詳解】∵是冪函數(shù)，∴，，∴過定點(diǎn).故選：A【變式訓(xùn)練3-3】．（2022·全國）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=xa(x>0)，g(x)=logax的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，分成0<a<1和a>1時(shí)兩種情況，討論函數(shù)y=xa(x>0)與y=logax的圖像，對照后可得答案.【詳解】由于本題中函數(shù)為y=xa(x>0)與y=logax.對于選項(xiàng)A，沒有經(jīng)過（1,1）的圖像，故沒有冪函數(shù)的圖像.故A錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)B，由過（1,0）的圖像為對數(shù)函數(shù)的圖像得：0<a<1，由y=xa(x>0)的圖象知a>1，矛盾.故B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C，由y=xa(x>0)的圖象知0<a<1，而由y=logax的圖象知a>1，矛盾.故C錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)D，由y=xa(x>0)的圖象知0<a<1，而由y=logax的圖象知0<a<1，故選D.故選：D【變式訓(xùn)練3-4】．（2021·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則的大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用排除法分析，先計(jì)算的值，排除，再比較與的值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義排除，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，所以，在區(qū)間上，在軸下方有圖象，排除，又，而，有，不會(huì)是增函數(shù)，排除，故選：．重難點(diǎn)3對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值（比較大?。├?．（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得或，設(shè)，則，關(guān)于單調(diào)遞減，，關(guān)于單調(diào)遞增，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知單調(diào)遞增，所以根據(jù)同增異減，可知單調(diào)遞增區(qū)間為．選D．（2）．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中高三開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由得．設(shè)（），則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．故答案為：（3）．（2021·全國高一課前預(yù)習(xí)）已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合中間量法可得答案；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，，所以，故選：A.【變式訓(xùn)練4-1】．設(shè)，則()A．B．C．D．【答案】D【解析】，由下圖可知D正確．【變式訓(xùn)練4-2】、設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以，所以，得．又，，所以，所以．故選B．【變式訓(xùn)練4-3】、已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，可知，，，所以最大，，都小于1，因?yàn)?，，而，所以，即，所以，故選A．【變式訓(xùn)練4-4】、（2021·上海高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是_____．【答案】【分析】根據(jù)同增異減原理，由外函數(shù)為減函數(shù)，只要求得內(nèi)函數(shù)的遞增區(qū)間且滿足定義域即可得解.【詳解】函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即，在的條件下，函數(shù)的增區(qū)間．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，在的條件下，函數(shù)的增區(qū)間為，故答案為：．【變式訓(xùn)練4-5】、（2021·廣西柳州市·高三開學(xué)考試（文））若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，再由與大小關(guān)系，即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉镽上的減函數(shù)，所以，即，又，.故選：D重難點(diǎn)4對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用例5．（2017·山東滕州市第一中學(xué)新校高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以在上是減函數(shù)，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以是增函數(shù)，所以；又因?yàn)閷?shù)的真數(shù)大于零，則，所以；則.故選：C.【變式訓(xùn)練5-1】．（1）判斷f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x的單調(diào)性，并求其值域．（2）已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的減函數(shù)，則a的取值范圍為()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)(3)函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．【解析】（1）令u＝x2－2x，則原函數(shù)變?yōu)閥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，又∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上遞減，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x在(－∞，1]上遞增，在[1，＋∞)上遞減．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，∴0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，∴原函數(shù)的值域?yàn)?0,3]．（2）∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)，且y＝2－ax在[0,1]上是減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＞f1，,a>1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＞loga2－a，,a>1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.(3)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)＝logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]，因?yàn)?x＋1)2＋2≥2。所以logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]≤logeq\f(1,2)2＝－1，所以函數(shù)f(x)的值域是(－∞，－1]例6．（2020·雞東縣第二中學(xué)）設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù)．Ⅰ當(dāng)，求a的值；Ⅱ當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）a=﹣（2）[﹣2，+∞）【分析】（1）直接計(jì)算出f（1）和f（2），根據(jù)條件解方程即可求得a；（2）采用分離參數(shù)法，分離變量a，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值，得出a的取值范圍．【詳解】（1）∵f（x）=log2（1+a?2x+4x），∴f（-1）=log2（1++），f（2）=log2（1+4a+16），由于，即log2（4a+17）=log2（+）+4，解得，a=﹣；（2）因?yàn)閒（x）≥x﹣1恒成立，所以，log2（1+a?2x+4x）≥x﹣1，即，1+a?2x+4x≥2x﹣1，分離參數(shù)a得，a≥﹣（2x+2﹣x），∵x≥1，∴（2x+2﹣x）min=，此時(shí)x=1，所以，a≥﹣=﹣2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣2，+∞）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．【變式訓(xùn)練6-1】．（2021·貴州省思南中學(xué)高三一模（理））已知(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明；(3)求使的的取值范圍．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.【分析】(1)求對數(shù)函數(shù)的定義域，只要真數(shù)大于0即可；(2)利用奇偶性的定義，看和的關(guān)系，得到結(jié)論；(3)由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，要使,需分和兩種情況討論，即可得到結(jié)果.【詳解】(1)由>0，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)．(3)若a>1，f(x)>0，則>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，則0<<1，解得－1<x<0.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義域、奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題.判斷函數(shù)的奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果不對稱，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，如果對稱常見方法有：（1）直接法，(正為偶函數(shù)，負(fù)為減函數(shù))；（2）和差法，（和為零奇函數(shù)，差為零偶函數(shù)）；（3）作商法，（為偶函數(shù)，為奇函數(shù)）.四、定時(shí)訓(xùn)練（30分鐘）1．=()A．B．C．2D．4【答案】D【解析】．2．（2021·全國高一單元測試）的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：.故選：B.3．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·高一期末（文））若，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)與指數(shù)的互化，指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，故.故選：A.4．（2021·滄源佤族自治縣民族中學(xué)高一期末）已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性并借助中間量0,1即可得到答