2024年高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)20224普通高中學(xué)業(yè)水平考試模擬試卷數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘；分值：100分）第Ⅰ卷（選擇題，共48分）一、選擇題（本大題共16題，每小題3分，共計(jì)48分．每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的定義域（

）A． B． C． D．6．（

）A． B． C． D．7．科學(xué)家以里氏震級(jí)來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)I為地震時(shí)所散發(fā)出來的相對(duì)能量程度，則里氏震級(jí)可定義為．2021年6月22日下午寧夏A市發(fā)生里氏3.1級(jí)地震，2020年9月2日寧夏B市發(fā)生里氏4.3級(jí)地震，則B市地震所散發(fā)出來的能量是A市地震所散發(fā)出來的能量的（

）倍．A．2 B．10 C．100 D．10008．如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么|φ|的最小值為（

）A． B．C． D．9．若，則等于（

）.A． B． C． D．10．小明出國(guó)旅游，當(dāng)?shù)貢r(shí)間比中國(guó)時(shí)間晚一個(gè)小時(shí)，他需要將表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是()A． B． C．- D．-11．已知向量滿足，，則A．4 B．3 C．2 D．012．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，且平面，，，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．13．如圖是某公司2020年1月到10月的銷售額(單位：萬元)的折線圖，銷售額在萬元以下為虧損，超過萬元為盈利，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．這個(gè)月中銷售額最低的是1月份B．從1月到6月銷售額逐漸增加C．這個(gè)月中有個(gè)月是虧損的D．這個(gè)月銷售額的中位數(shù)是萬元14．將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子投擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為和，則的概率是（

）A． B． C． D．15．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．16．已知是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件第Ⅱ卷（非選擇題，共52分）二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共計(jì)16分）17．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則.18．已知，則．19．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是.20．復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為.三、解答題（本大題共6小題，每小題6分，共計(jì)36分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．已知集合，（1）當(dāng)時(shí)，求;（2）若，求的取值范圍.22．已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．23．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.24．如圖：在三棱錐中，，是直角三角形，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的大小；（3）求二面角的正切值.25．某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才，對(duì)20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測(cè)試，其測(cè)試結(jié)果如下表：例如表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生是4人，由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為．（1）求、的值；（2）從運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．26．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．D【分析】先求得集合M，再根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧希?，故選：D.2．D【解析】直接利用基本不等式求解即可，解答過程注意等號(hào)成立的條件.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴的取值范圍為，故選：D.【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.3．C【解析】用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以在上有解，易知在上是減函數(shù)，所以時(shí)，，所以．故選：C4．B【分析】分析可得，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，，即.故選：B.5．C【分析】解不等式組得出定義域.【詳解】，解得即函數(shù)的定義域故選：C6．C【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】.故選：C.7．C【分析】確定，，相除得到答案.【詳解】，故；，故；.故選：C.8．A【分析】利用余弦函數(shù)的對(duì)稱中心及給定條件列式，再經(jīng)推理計(jì)算即可得解.【詳解】因函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有，于是得，顯然對(duì)于是遞增的，而時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以|φ|的最小值為.故選：A9．A【解析】根據(jù)，利用誘導(dǎo)公式得到，再由，利用二倍角公式求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：A10．B【分析】由于是晚一個(gè)小時(shí)，所以是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)為．【詳解】由題意小明需要把表調(diào)慢一個(gè)小時(shí)，所以時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了弧度數(shù)的方向與計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．11．B【詳解】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因?yàn)樗赃xB.點(diǎn)睛：向量加減乘：12．A【分析】根據(jù)平面BCD，得到，，再由，，，得到，則三棱錐截取于一個(gè)長(zhǎng)方體，然后由長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐的外接球求解.【詳解】因?yàn)槠矫鍮CD，所以，，∴，在中，，∴，∴.如圖所示：三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體AGFH-BCED的外接球，設(shè)球O的半徑為R，則，解得，所以球O的表面積為，故選：A.13．B【解析】根據(jù)折線圖觀察銷售額最低的月份判斷；觀察從1月到6月銷售額的變化情況判斷；比較各月份銷售額是否低于萬元判斷C；求出這個(gè)月的中位數(shù)判斷.【詳解】根據(jù)折線圖知，這個(gè)月中銷售額最低的是1月份，為萬元，所以正確；從1月到6月銷售額是先增加后減少，再增加，所以錯(cuò)誤；1月，3月和4月的銷售額低于萬元，其它月份都高于萬元，所以正確；這個(gè)月的銷售額從小到大排列為萬元，其中位數(shù)是萬元，所以正確.故選：B14．C【分析】以作為一個(gè)基本事件，可知基本事件總數(shù)為，列舉出滿足的所有基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】以作為一個(gè)基本事件，可知基本事件總數(shù)為，由可得，即，滿足不等式所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，因此，所求事件的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用古典概型的概率公式計(jì)算事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．D【分析】利用分段的方法，得到，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所?故選:D16．A【分析】由得或，再利用充分不必要條件定義判斷得解.【詳解】解：由得得或，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，或成立，當(dāng)或時(shí)，不一定成立，所以“”是“”的的充分不必要條件，故選：A．17．【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義確定的值，再由函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，代入可得，進(jìn)而可得所求.【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，可知，故，由函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，故，故答案為：.18．【解析】首先利用誘導(dǎo)公式對(duì)已知條件化簡(jiǎn)可得再利用化弦為切可得的值，再利用兩角和的正切公式將展開即可求解.【詳解】即，可得，解得，所以，故答案為：19．【詳解】試題分析：正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積．20．【分析】根據(jù)及向量的復(fù)數(shù)表示運(yùn)算得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)與分別表示向量與，，所以表示向量的復(fù)數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量與復(fù)數(shù)的關(guān)系,向量的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.21．（1）（2）【解析】（1）代入，求出集合，可得；（2）分，討論求解的取值范圍.【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，則,∴;（2）,當(dāng)時(shí)，則，得;當(dāng)時(shí)，則時(shí)，得或，解得，不滿足要求，綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，注意不要遺漏時(shí)，的情況，是基礎(chǔ)題.22．（1）；（2）【解析】（1）先求出集合A，B和，再利用交集運(yùn)算即得結(jié)果；（2）先根據(jù)充分不必要條件得到集合A，B的包含關(guān)系，再列關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】解：（1）∵或，∴，當(dāng)時(shí)，，因此，；（2）∵是的充分條件，∴，又，或∴，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：是的充分條件即為.23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）將化簡(jiǎn)整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因?yàn)?，所?要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號(hào)的正負(fù).24．（1）證明見解析；（2）；（3）.【詳解】試題分析：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo).（1）計(jì)算，可得兩直線垂直；（2）計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量，可求得線面角的余弦值，用反三角函數(shù)表示出這個(gè)角的大小；（3）分別求出平面，平面的法向量，利用法向量求兩個(gè)平面所成角的余弦值，然后轉(zhuǎn)化為正切值.試題解析：解法一（1）連接．在中，.，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴.又，即為在平面內(nèi)的射影，∴.分別為的中點(diǎn)，∴，∴.（2），∴.連結(jié)交于點(diǎn)，，∴，∴為直線與平面所成的角，.，∴，又，∴.，∴，∴在中，，∴，即直線與平面所成角的大小為.（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，，∴，即為在平面內(nèi)的射影，，∴為二面角的平面角.∴中，，∴，即二面角的正切值為.解法二建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則.（1）∴，∴，∴.（2）由已知可得，為平面的法向量，，∴，∴直線與面所成角的正弦值為.∴直線與面所成角的為.（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∴，∴，令，∴.由已知可得，向量為平面的一個(gè)法向量，∴，∴.∴二面角的正切值為.考點(diǎn)：空間線面關(guān)系的證明，求面面角.25．（1），；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)抽到邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為，可得，從而可得，進(jìn)而可得；（2）運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生從中任意抽取位，共有種，其中至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的情況共有種，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.試題解析：（1）由題意可知，邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有人，設(shè)事件：從20位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生，則，解得，所以．（2）由題意可知，運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生共有6位，分別記為，，，，，．其中和為運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力都優(yōu)秀的學(xué)生．從中任意抽取2位，可表示為，，，，，，，，，，，，，，，共15種可能．設(shè)事件：從運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力為優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取2位，其中至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生，事件包括，，，，，，，，，共9種可能．所以．所以至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為．考點(diǎn)：古典概型概率公式的應(yīng)用.26．(1);(2).【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來計(jì)算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為結(jié)合正弦定理求角度】由三角形的內(nèi)角和定理得，此時(shí)就變?yōu)椋烧T導(dǎo)公式得，所以．在中，由正弦定理知，此時(shí)就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，兩邊平方得，即．又，即，所以，進(jìn)一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為求得的比例關(guān)系】根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)椋?，消去得．，，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)椋氲?，所?(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，則．因?yàn)椋?，則，從而，故面積的取值范圍是．[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】由題設(shè)及（1）知的面積．因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面積的取值范圍是．[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖，在中，過點(diǎn)A作，垂足為，作與交于點(diǎn)．