安徽省皖中名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1安徽省皖中名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第五次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解一元二次不等式，得，故，由于二次根式要求，則，所以.故選：A．2.在等差數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在等差數(shù)列中，，而，因此，所以故選：B.3.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則另一個(gè)復(fù)數(shù)根為，

由韋達(dá)定理可得得，解得，

則，所以，

故有.

故選：A．4.已知向量，，且與的夾角余弦值為，則（）A.或 B.或 C. D.或〖答案〗B〖解析〗，，，顯然，故有：，解得或．故選：B．5.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記等差數(shù)列的公差為，由可得，整理得；因?yàn)?，，即；整理可得，?lián)立可得，，故；故選：A．6.已知函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，函數(shù)，令，由正實(shí)數(shù)知，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增且，所以，解得：，故的取值范圍是故選：C.7.戰(zhàn)國(guó)時(shí)期成書經(jīng)說(shuō)記載：“景：日之光，反蝕人，則景在日與人之間”這是中國(guó)古代人民首次對(duì)平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相交所得弦長(zhǎng)為，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的坐標(biāo)為，則反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交．設(shè)反射光線所在直線的方程為，即，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑．因?yàn)橄议L(zhǎng)，所以根據(jù)勾股定理得，圓心到反射光線的距離，故，即，解得或．故選：A8.已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，兩邊平方得，即，可得，因?yàn)槭侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角，且，所以，所以，得，又因?yàn)椋?，?lián)立解得：，，故有：，從而有．故選：B．二、多選題9.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A中，取，，此時(shí)，所以A不正確；對(duì)于B中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確；對(duì)于C中，由，因?yàn)?，所以?dāng)，時(shí)，取得最小值，所以C正確；對(duì)于D中，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.故選：BCD.10.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且一個(gè)法向量為，若點(diǎn)，到的距離相等，則實(shí)數(shù)的可能值為（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且一個(gè)法向量為，可得，當(dāng)直線時(shí)，則，即；當(dāng)直線與直線相交時(shí)，則，在直線的兩側(cè)，則，解得或．故選：AC．11.若函數(shù)，則（）A. B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.曲線的切線的斜率可以為 D.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心〖答案〗BD〖解析〗選項(xiàng)A，由題意得，所以，解得，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由，則，，由得，或，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值.所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，B正確；選項(xiàng)C，，所以曲線的切線的斜率不可能為，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)?所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，D正確.故選：BD12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點(diǎn)E，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則（）A.，E，O三點(diǎn)共線B.三棱錐的外接球的表面積為C.直線與平面所成的角為D.過(guò)點(diǎn)，B，F(xiàn)的平面截該正方體所得截面的面積為〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)闉榈酌鍭BCD的中心，所以為BD和AC的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，所以點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)；顯然是平面與平面的公共點(diǎn)；因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)平面，所以也是平面與平面的公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)都在平面與平面的交線上，即三點(diǎn)共線，故A正確；三棱錐的外接球和正方體是同一個(gè)外接球，棱長(zhǎng)為1，所以，所以外接球的表面積，故B正確；因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以，又平面，所以平面，平面所以平面平面，平面平面，所以在平面的射影為，即直線與平面所成的角為，，，，,故C錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，所以等腰梯形就是過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面，如圖：因?yàn)?，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．故選：ABD．三、填空題13.寫出同時(shí)滿足下列條件的函數(shù)的一個(gè)〖解析〗式__________.．〖答案〗〖答案〗不唯一〖解析〗因?yàn)?，故函?shù)是上的偶函數(shù)，

又因?yàn)?，故，因此函?shù)是周期為的函數(shù)，故滿足以上條件的一個(gè)函數(shù)為．

故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.14.現(xiàn)有甲乙兩個(gè)形狀完全相同的正四棱臺(tái)容器如圖所示，已知，，現(xiàn)按一定的速度勻速往甲容器里注水，當(dāng)水的高度是正四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)分鐘，如果按照相同的速度勻速往乙容器里注水，當(dāng)水的高度是正四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)__________分鐘．〖答案〗〖解析〗設(shè)正四棱臺(tái)的高為，由，正四棱臺(tái)的中截面是邊長(zhǎng)為的正方形，當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，甲容器內(nèi)水的容積為，設(shè)水流速度為，則，，當(dāng)乙容器中水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)，水的容積為，所以當(dāng)水的高度是四棱臺(tái)高度的一半時(shí)用時(shí)為分鐘.故〖答案〗為：.15.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面分別為棱，上一點(diǎn)，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面，所以平面，平面，則.因?yàn)槠矫嫫矫妫?，則，所以，如圖，將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)到四點(diǎn)共面，此時(shí)過(guò)作于，則的最小值為故〖答案〗為：.16.已知，，，且，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，，若函數(shù)在區(qū)間上至少有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，，所以，令，即，故?dāng)，是的兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，為的一個(gè)周期，即，解得，故有，令，則，令，因?yàn)樵趨^(qū)間上至少有個(gè)零點(diǎn)，則在區(qū)間上至少有個(gè)不等根，即與在區(qū)間上至少有個(gè)交點(diǎn)，其中，，由圖可知，即，，的最小值為.故〖答案〗為：．四、解答題17.已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所?因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，得或.因?yàn)榇藬?shù)列各項(xiàng)均為正，所以得.（2），所以，所以，兩個(gè)等式相減得,，所以,所以.18.已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，B.（1）求角的大??；（2）若，的角平分線交于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．解：（1），由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，，，即，又，．（2）因?yàn)?，，所以由余弦定理得，即，所以，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋?，解得，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以長(zhǎng)度的最大值為．19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）解：依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，即，所以，所以，所以，即．所以，所以，又因?yàn)?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．（2）解：由（1）知，，可得，所以．20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，.令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）證明：由（1）可得，當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以.設(shè)，則，令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，即.因?yàn)椋?，所以，所以，所以命題得證.21.已知半徑為的圓的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程；（3）過(guò)點(diǎn)任作一條不與軸垂直的直線與圓相交于兩點(diǎn)，在非正半軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）法1：由條件可知四點(diǎn)共圓，且直徑，記為圓，則,半徑，所以圓的方程為，因?yàn)閳A的方程為，兩圓方程相減可得，所以直線的方程為；法2：設(shè)，設(shè)直線上任意不同于點(diǎn)的點(diǎn)為，根據(jù),可得切線的方程為，因?yàn)樵谥本€上，所以，同理，從而直線的方程為，即；（3）設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，由題可設(shè)直線，，由，得，∵點(diǎn)在圓內(nèi)部，∴恒成立，則，因?yàn)?，所以，即，即是，整理得，從而，化?jiǎn)有，因?yàn)閷?duì)任意的都要成立，所以，由此可得假設(shè)成立，存在滿足條件的，且坐標(biāo)為．22.如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，．（1）證明：平面；（2）在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：正方形中，，∵