2023-2024學(xué)年人教A版選擇性必修第三冊(cè) 數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用 作業(yè)

數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用1.觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律,則a所表示的數(shù)是()A.8B.6C.4D.2解析:由題圖,知每相鄰兩行中下一行的數(shù)除了兩個(gè)1以外,其他的數(shù)都是其肩上兩數(shù)的和,所以4+a=10,得a=6.答案:B2.如圖,與楊輝三角有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘中,a,b是某行的前兩個(gè)數(shù),當(dāng)a=7時(shí),b等于()A.20B.21C.22D.23解析:根據(jù)觀察可知,每一行除開(kāi)始和末尾的數(shù)外,中間的數(shù)分別是其肩上兩個(gè)數(shù)的和,當(dāng)a=7時(shí),上面一行的第一個(gè)數(shù)為6,第二個(gè)數(shù)為16,所以b=6+16=22.答案:C3.如圖,在楊輝三角中,斜線AB左方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,…,記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則S16等于()A.144B.146C.164D.461解析:由題圖,知數(shù)列中的首項(xiàng)是C22,第2項(xiàng)是C21,第3項(xiàng)是C32,第4項(xiàng)是所以S16=C21+C22+C31=(C21+C31+…+C91)+(=(C22+C21+C31+…+C91-=C102+C答案:C4.多選題以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有()A.由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想:CnCB.由“在相鄰的兩行中,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想:Cn+1r=C.由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想:Cn0+Cn1+Cn2+D.由“111=11,112=121,113=1331”猜想115=15101051解析:由楊輝三角的性質(zhì)以及二項(xiàng)式定理可知ABC正確.115=(10+1)5=C50×105+C51×104+C52×103+C53=161051,故D錯(cuò)誤.故選ABC.答案:ABC5.多選題一組數(shù)據(jù)如圖所示,滿足如下條件:①第n行首尾兩數(shù)均為n;②圖中的遞推關(guān)系類似楊輝三角.則第10行的第2個(gè)數(shù)是46,第n行的第2個(gè)數(shù)是n2解析:由題圖可知第10行的第2個(gè)數(shù)為(1+2+3+…+9)+1=46,第n行的第2個(gè)數(shù)為[1+2+3+…+(n-1)]+1=n(n-6.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣,如圖所示.按照以上排列的規(guī)律,第n(n≥3)行從左向右的第3個(gè)數(shù)為n2解析:前n-1行共有正整數(shù)[1+2+…+(n-1)]個(gè),即n2-n2個(gè),因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第7.多選題將楊輝三角中從第1行開(kāi)始的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖所示的三角數(shù)表.從上往下數(shù),第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,第2次全行的數(shù)都為1的是第3行……第n次全行的數(shù)都為1的是第2n-1行;第61行中1的個(gè)數(shù)是32.解析:觀察可得第1行,第3行,第7行,第15行……全行都為1,故第n次全行的數(shù)都為1的是第2n-1行.由n=6,得26-1=63,故第63行共有64個(gè)1,逆推可知第62行共有32個(gè)1,第61行共有32個(gè)1.8.將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)Cnr都換成分?jǐn)?shù)1(1)若1(n+1)Cnr(2)令an=13+112+130+160+…+1nC解:(1)從萊布尼茨三角形可以看出,下一行相鄰兩分?jǐn)?shù)之和等于上一行它們肩上的同一個(gè)