7.2.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)第7章三角函數(shù)7.2三角函數(shù)的概念7.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第1課時(shí)誘導(dǎo)公式一、二、三、四課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.借助單位圓的對(duì)稱性,利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(α±π的正弦、余弦、正切),并熟練掌握.(數(shù)學(xué)抽象)2.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)情境導(dǎo)入南京眼和遼寧的生命之環(huán)均利用完美的對(duì)稱展現(xiàn)自己的和諧之美.而三角函數(shù)與(單位)圓是緊密聯(lián)系的,它的基本性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)表示,例如,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表明了圓中的某些線段之間的關(guān)系.圓有很好的對(duì)稱性:以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形;以任意直徑所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.你能利用這種對(duì)稱性并借助單位圓,討論任意角α的終邊與π±α,-α的對(duì)稱關(guān)系嗎?sin(π+α)、sin(π-α)、sin(-α)與sinα又有怎樣的關(guān)系呢?知識(shí)點(diǎn)撥誘導(dǎo)公式一、二、三、四1.誘導(dǎo)公式一終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.sin(α+2kπ)=sinα(k∈Z),cos(α+2kπ)=cosα(k∈Z),tan(α+2kπ)=tanα(k∈Z).2.誘導(dǎo)公式二

終邊關(guān)系圖示角-α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱公式sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα微思考

誘導(dǎo)公式一~四各自的作用是什么?提示

誘導(dǎo)公式作用公式一將角轉(zhuǎn)化為0~2π求值公式二將0~2π內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0~π之間的角求值公式三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值公式四將角轉(zhuǎn)化為0~求值微判斷(1)誘導(dǎo)公式中角α是任意角.(

)(3)sin(180°-200°)=-sin200°.(

)(4)若α,β滿足α+β=π,則sinα=sinβ.(

)答案

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√3.誘導(dǎo)公式三

終邊關(guān)系圖示角π-α與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱公式sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα4.誘導(dǎo)公式四

終邊關(guān)系圖示角π+α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱公式sin(π+α)=

-sinα

,cos(π+α)=

-cosα

,tan(π+α)=

tanα微練習(xí)

1微練習(xí)

2微技巧“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”.“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名;“符號(hào)看象限”是指把原角看成銳角時(shí)新角在原函數(shù)下的符號(hào),由新角所在象限確定符號(hào).如sin(π+α),若把α看成銳角,則π+α在第三象限,所以取負(fù)值,故sin(π+α)=-sinα.探究一利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值例1(1)sin750°=

,cos(-2040°)=

;

反思感悟利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”:用公式一或三來轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”:用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”:用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”:得到銳角的三角函數(shù)后求值.變式訓(xùn)練1求下列各三角函數(shù)式的值:(1)sin1320°;(3)tan(-945°).(3)tan(-945°)=-tan

945°=-tan(225°+2×360°)=-tan

225°=-tan(180°+45°)=-tan

45°=-1.探究二利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值問題例2化簡(jiǎn)下列各式:反思感悟三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法(1)合理轉(zhuǎn)化:①將角化成2kπ±α,π±α,k∈Z的形式.②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).(2)切化弦:一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).變式訓(xùn)練2化簡(jiǎn)下列各式:(2)sin(π+α)cos(-α)+sin(2π-α)cos(π-α)+sinαcos(π+α)tan(-π-α).探究三給值(或式)求值問題延伸探究將本例3題中的“-”改為“+”,“+”改為“-”,其他不變,應(yīng)如何解答?要點(diǎn)筆記解決給值求值問題的策略(1)解決給值求值問題,首先要仔細(xì)觀察條件式與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化,或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.素養(yǎng)形成思想方法——分類討論思想在誘導(dǎo)公式中的應(yīng)用

分析因?yàn)閚∈Z,所以n可能為偶數(shù),也可能為奇數(shù),兩種情況下誘導(dǎo)公式所得結(jié)果不同,所以需要分類討論.當(dāng)堂檢測(cè)1.計(jì)算cos(-600°)=(

)答案

D解析

cos(-600°)=cos

600°=cos(360°+240°)=cos

240°=cos(180°+60°)=-cos

60°=-.答案

A3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sinα=,則sinβ=

.

4.已知600°角的終邊上有一點(diǎn)P(a,-3),則a的值為

.

答案

②③⑤

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)第7章三角函數(shù)7.2三角函數(shù)的概念7.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式第2課時(shí)誘導(dǎo)公式五、六課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.借助單位圓的對(duì)稱性,利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(±α的正弦、余弦、正切),并熟練掌握.(數(shù)學(xué)抽象)2.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)情境導(dǎo)入同學(xué)們聽了老師的記憶口訣后,更是摸不著頭腦,老師隨后進(jìn)行了解釋,同學(xué)們茅塞頓開,都拍手叫好.你知道老師是如何解釋的這句口訣“奇變偶不變,符號(hào)看象限”嗎?六組誘導(dǎo)公式左邊的角還能統(tǒng)一寫成什么形式?知識(shí)點(diǎn)撥誘導(dǎo)公式五、六

名師點(diǎn)析

1.名稱:誘導(dǎo)公式五、六,±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別轉(zhuǎn)化為α的余弦(正弦)函數(shù)值.2.符號(hào):函數(shù)值前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).3.作用:利用誘導(dǎo)公式五或六,可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.4.簡(jiǎn)記:“函數(shù)名改變,符號(hào)看象限”.微判斷

(1)cos(α-)=cosα.(

)(2)若cos10°=a,則sin100°=a.(

)(3)若α為第二象限角,則sin(α-)=-cosα.(

)答案

(1)×

(2)√

(3)√微練習(xí)

微思考

你能推導(dǎo)出tan(+α)、tan(-α)與tanα之間的關(guān)系嗎?探究一利用誘導(dǎo)公式求值反思感悟利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的步驟利用誘導(dǎo)公式可把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),即口訣是“負(fù)化正,大化小,化到銳角再查表”.探究二利用誘導(dǎo)公式證明恒等式例2求證:反思感悟利用誘導(dǎo)公式證明等式問題,關(guān)鍵在于公式的靈活應(yīng)用,其證明的常用方法有:(1)從一邊開始,使得它等于另一邊,一般由繁到簡(jiǎn).(2)左右歸一法:即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子.(3)針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對(duì)性地進(jìn)行變形,以消除差異.探究三誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用反思感悟用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的方法(1)對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問題,一般遵循誘導(dǎo)公式先行的原則,即先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形,達(dá)到角的統(tǒng)一,再進(jìn)行切化弦,以保證三角函數(shù)名最少.(2)對(duì)于π±α和

±α這兩套誘導(dǎo)公式,切記運(yùn)用前一套公式不變名,而運(yùn)用后一套公式必須變名.素養(yǎng)形成誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用

分析首先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知的兩個(gè)等式,然后結(jié)合sin2A+cos2A=1,求出cos

A的值,再利用A+B+C=π進(jìn)行求解.反思感悟在△ABC中,常用到以下結(jié)論:sin(A+B)=sin(π-C)=sin

C,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos

C,tan(A+B)=tan(π-C)=-tan

C