09數(shù)值分析(研)答案,東北大學(xué)

PAGEPAGE1總分一（1－8）一（9-10）二三四五六班級學(xué)號姓名…………○…………密…………○…………班級學(xué)號姓名…………○…………密…………○…………封…………○………線……東北大學(xué)研究生院考試試卷2009—2010學(xué)年第1學(xué)期課程名稱：數(shù)值分析5．求5．求滿足條件的三次插值多項(xiàng)式的表達(dá)式。解設(shè)，則，。于是，。6.設(shè)求積公式是插值型求積公式，求.解?；?，由于公式對精確成立，所以。7．求區(qū)間[－1，1]上權(quán)函數(shù)為的二次正交多項(xiàng)式。解，，8．設(shè)，求差商。解，，。一、解答下列各題：（每題5分，共50分）1．設(shè)近似值近似具有5位有效數(shù)字，求的相對誤差限。解2．用LU分解法求方程組的解。解由于，所以解Ly=b得：，再解Ux=y得。3．解線性方程組的迭代格式是否收斂，為什么？其中。解不收斂。因?yàn)槭荕的特征值，所以.4．求簡單迭代法的收斂階。解設(shè)得，即。又由于，所以，，，所以，迭代法收斂階為2。9．給定離散數(shù)據(jù)x9．給定離散數(shù)據(jù)xi－1012yi3124試求形如的擬合曲線。解基函數(shù)為，，于是,,，正則方程組為：，解之得：所以，擬合曲線為：。10．求解初值問題的改進(jìn)Euler方法是否收斂？為什么？解因?yàn)殛P(guān)于變量y滿足Lipschitz條件，故收斂。二、（11分）用Jacobi法解線性方程組，取，若使，問應(yīng)迭代多少步？解由于Jacobi迭代矩陣為,.迭代一步得：，若使，則有：所以，取k＝52。即應(yīng)迭代52步。三、（11分）說明方程在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一根，并建立一個(gè)收斂的迭代格式，使對任意初值都收斂，說明收斂理由。解記，則，且，，。所以，方程在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一根。將方程改寫成：，建立迭代格式：由于迭代函數(shù)滿足：，所以，對任意初值迭代法都收斂。四、（11分）利用復(fù)化Simpson公式計(jì)算定積分若使，問應(yīng)取為多少？并求此近似值。解由于，所以，n應(yīng)滿足：，故，應(yīng)取n＝3。而且有：…………○…………密…………○…………封…………○………線……六、(6分)利用Lagrange基函數(shù)性質(zhì)，證明：六、(6分)利用Lagrange基函數(shù)性質(zhì)，證明：，。證明：取節(jié)點(diǎn)，，則有：，由插值多項(xiàng)式的唯一性有：取得：即：，。五、（11分）已知求解常微分方程初值問題：的差分公式：求此差分公式的階。解由于于是，，此