《5.2導數(shù)運算 》同步練習與答案解析

選擇性必修二《5.2導數(shù)運算》同步練習一、單選題1．設函數(shù)的導函數(shù)是，若，則（）A． B． C． D．2．原子有穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種．不穩(wěn)定的原子除天然元素外，主要由核裂變或核聚變過程中產(chǎn)生碎片形成，這些不穩(wěn)定的元素在放出α、β、γ等射線后，會轉變成穩(wěn)定的原子，這種過程稱之為“衰變”．這種不穩(wěn)定的元素就稱為放射性同位素．隨著科學技術的發(fā)展，放射性同位素技術已經(jīng)廣泛應用于醫(yī)學、航天等眾多領域，并取得了顯著經(jīng)濟效益．假設在放射性同位素釷234的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時間t（單位：天）滿足函數(shù)關系，其中N0為時釷234的含量．已知時，釷234含量的瞬時變化率為，則（）A．12貝克 B．12ln2貝克 C．6貝克 D．6ln2貝克3．函數(shù)的導函數(shù)為，若對于定義域為任意，有恒成立，則稱為恒均變函數(shù).給出下列函數(shù)：①；②；③；④其中為恒均變函數(shù)的序號是（）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④4．設，，，…，，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則的值為（）A． B．C． D．6．函數(shù)的導函數(shù)為，集合，中有且僅有１個元素，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題7．給出定義：若函數(shù)在上可導，即存在，且導函數(shù)在上也可導，則稱在上存在二階導函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．8．經(jīng)濟學中經(jīng)常用彈性函數(shù)研究函數(shù)的相對變化率和相對改變量.一般的，如果函數(shù)存在導函數(shù)，稱為函數(shù)的彈性函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)（為常數(shù)）的彈性函數(shù)是B．函數(shù)的彈性函數(shù)是C．D．9．已知，下列結論正確的是（）A． B． C． D．三、填空題10．已知，則的值為___________.11．若函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，且滿足，則不等式的解集為____________.12．對于三次函數(shù)（）給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”，某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)，請你根據(jù)上面探究結果，計算______.四、解答題13．求下列函數(shù)的導數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）.14．已知，函數(shù)的導函數(shù)為．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求的值．15．記分別為函數(shù)的導函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點”；（2）若函數(shù)與存在“點”，求實數(shù)的值16．已知函數(shù)，記為的導數(shù)，.（1）求；（2）猜想的表達式，并證明你的猜想.答案解析一、單選題1．設函數(shù)的導函數(shù)是，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導后，令，可求得，再令可求得結果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】本題考查了導數(shù)的計算，考查了求導函數(shù)值，屬于基礎題.2．原子有穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種．不穩(wěn)定的原子除天然元素外，主要由核裂變或核聚變過程中產(chǎn)生碎片形成，這些不穩(wěn)定的元素在放出α、β、γ等射線后，會轉變成穩(wěn)定的原子，這種過程稱之為“衰變”．這種不穩(wěn)定的元素就稱為放射性同位素．隨著科學技術的發(fā)展，放射性同位素技術已經(jīng)廣泛應用于醫(yī)學、航天等眾多領域，并取得了顯著經(jīng)濟效益．假設在放射性同位素釷234的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時間t（單位：天）滿足函數(shù)關系，其中N0為時釷234的含量．已知時，釷234含量的瞬時變化率為，則（）A．12貝克 B．12ln2貝克 C．6貝克 D．6ln2貝克【答案】A【分析】由時，釷234含量的瞬時變化率為，可求，從而可求.【詳解】解：，所以，，(貝克)，故選：A.【點睛】考查導數(shù)的幾何意義以及求函數(shù)的值，基礎題.3．函數(shù)的導函數(shù)為，若對于定義域為任意，有恒成立，則稱為恒均變函數(shù).給出下列函數(shù)：①；②；③；④其中為恒均變函數(shù)的序號是（）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②④【答案】B【分析】針對每一個函數(shù)，分別計算出與，檢驗兩者是否恒相等，即可得解.【詳解】對于①，，，滿足，故①為恒均變函數(shù)；對于②，，，滿足，故②為恒均變函數(shù)；對于③，當，時，，即此時，故③不為恒均變函數(shù)；對于④，當，時，，，即此時，故④不為恒均變函數(shù).故選：B.【點睛】本題考查了導數(shù)的計算，考查了運算能力和對于新概念的理解，屬于中檔題.4．設，，，…，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的導函數(shù)和已知定義，依次對其求導，觀察得出，可得解.【詳解】，，，，，，由此可知：，.

故選：D.【點晴】本題考查三角函數(shù)的導數(shù)，依次求三角函數(shù)的導數(shù)找到所具有的周期性是解決此問題的關鍵，屬于中檔題.5．已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則的值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】計算得到，，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】函數(shù)，，，，故答案選.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，計算出是解題的關鍵.6．函數(shù)的導函數(shù)為，集合，中有且僅有１個元素，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】計算得，又由題知，在上僅有一個零點，所以可得，則有，求解不等式組即可得的取值范圍.【詳解】計算得，又由題知，在上僅有一個零點，又，所以，由得，所以，解得：，所以當時得；當時得；當時得；故得：.故選：C【點睛】本題主要考查了導數(shù)的運算，三角函數(shù)的圖象性質，考查了轉化與化歸的思想，考查了學生的運算求解與邏輯推理能力.二、多選題7．給出定義：若函數(shù)在上可導，即存在，且導函數(shù)在上也可導，則稱在上存在二階導函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù).以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出每一個函數(shù)的二階導數(shù)，判斷是否在上恒成立,從而得到答案.【詳解】對于A選項，，則，當時，恒有，是凸函數(shù)；對于B選項，，則，當上，恒有，是凸函數(shù)；對于C選項，若，則在上恒成立，是凸函數(shù)；對于D選項，若，則，則在上恒成立，故不是凸函數(shù).故選：ABC.【點睛】本題考查導數(shù)的計算，考查獲得新知識、應用新知識的能力，比較簡單.解答時只要準確求出原函數(shù)的二階導數(shù)進行分析即可.8．經(jīng)濟學中經(jīng)常用彈性函數(shù)研究函數(shù)的相對變化率和相對改變量.一般的，如果函數(shù)存在導函數(shù)，稱為函數(shù)的彈性函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)（為常數(shù)）的彈性函數(shù)是B．函數(shù)的彈性函數(shù)是C．D．【答案】ABD【分析】利用題目中的定義和導數(shù)的運算逐一判斷即可.【詳解】對于A，，即A正確；對于B，，即B正確；對于C，而，二者不相等，即C錯誤；對于D，即D正確故選：ABD【點睛】本題是一道新定義的題，考查了學生的分析能力和轉化能力，較難.9．已知，下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】對函數(shù)進行求導，逐個選項驗證即可.【詳解】∵，∴，∴，即A正確；，即B錯誤，C正確；，故D錯誤，故選：AC.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的運算，熟練掌握導數(shù)的乘法運算法則是解題的關鍵，屬于基礎題.三、填空題10．已知，則的值為___________.【答案】.【分析】求出導函數(shù)，分別代入1和-1得到方程組，解得，，再相加可得答案.【詳解】由，得，所以，①②由①②得，,則.故答案為：.【點睛】本題考查了導數(shù)的計算，屬于基礎題.11．若函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，且滿足，則不等式的解集為____________.【答案】【分析】由題意可設，由，可得，由此求出的解析式，不等式可解.【詳解】，可設由，得又，即，解得又即解得故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)中構造函數(shù)解決問題的題型，由題眼可知，原函數(shù)和導函數(shù)形式相同，由此可聯(lián)想構造型函數(shù)，屬于難題.12．對于三次函數(shù)（）給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”，某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)，請你根據(jù)上面探究結果，計算______.【答案】2020【分析】由題意“拐點”就是對稱中心,求出給定函數(shù)的對稱中心坐標,探究出對稱性,計算出結果.【詳解】函數(shù),則,,結合題意令,解得,而,由題意可知函數(shù)關于點對稱,則有,令則兩式相加得,所以,即.故答案為:【點睛】本題考查了導數(shù)得計算和函數(shù)得對稱性,需要理解題目條件的意思,并能運用已知條件來解題,本題的難點在函數(shù)的對稱性,能探究出函數(shù)對稱性可得計算結果,需要掌握解題方法.四、解答題13．求下列函數(shù)的導數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和簡單復合函數(shù)的導數(shù)運算法則進行求解即可.【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以，化簡可得，；（3）因為，由基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則可得，；（4）因為，所以化簡可得，.【點睛】本題考查基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和簡單復合函數(shù)的導數(shù)運算法則；考查運算求解能力；熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題.14．已知，函數(shù)的導函數(shù)為．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，得到，對其求導，得出切線斜率，進而可求出切線方程；（2）先對函數(shù)求導，分別計算，，，將所求式子化簡整理，即可得出結果.【詳解】（1）若，則，所以，則，即曲線在點處的切線斜率為，又，所以所求切線方程為：；（2）由得，所以，，，因此.【點睛】本題主要考查求曲線在某點的切線方程，考查導數(shù)的計算，屬于常考題型.15．記分別為函數(shù)的導函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點”；（2）若函數(shù)與存在“點”，求實數(shù)的值【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）對函數(shù)分別求導，通過且，列方程求解即可；（2）對函數(shù)分別求導，通過且，列方程，求出即可.【詳解】解：（1）函數(shù)，則．由且，得，此方程組無解，因此，與不存在“”點．（2）函數(shù)，，則．設為與的“”點，由且，得，即，（*）得，即，則．當時，滿足方程組（*），即為與的“”點．因此，的值為．【點睛】本題考查對新概念的理解與應用，考查分析能力與計算能力，難度不大.16．