湖南省株洲市重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第三次階段性檢測數(shù)學(xué)試題(A卷)（含解析）

株洲市重點(diǎn)學(xué)校2023年下學(xué)期高一年級第三次階段性檢測數(shù)學(xué)試題(A卷)時量：120分鐘滿分：150分試卷共4頁注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自已的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3.考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題意的．1．設(shè)集合，則（

）A．B．C．D．2．“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖所示，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）(第3題圖)A．B．C． D．4．已知，，則（

）A． B． C．或 D．5．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.下面的圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是（

）(第6題圖)A． B．C． D．6．質(zhì)點(diǎn)和在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時針做勻速圓周運(yùn)動，同時出發(fā)的角速度大小為，起點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，的角速度大小為，起點(diǎn)為角的終邊與圓的交點(diǎn)，則當(dāng)與重合時，的坐標(biāo)不可以為（

）A．B．C．D．7．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．8．設(shè)，，且，則（

）A． B．1 C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的、不選得0分．9．已知，若，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為1C．的最小值為8 D．的最小值為10．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．函數(shù)的最小值為C．函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是D．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增.11．主動降噪耳機(jī)讓我們在嘈雜的環(huán)境中享受一絲寧靜，它的工作原理是：先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與振幅相同的反相位聲波來抵消噪聲，已知某噪聲的聲波曲線，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．，使得D．，存在常數(shù)使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．下列命題中：①若集合中只有一個元素，則；②已知命題p：，，如果命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；③已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?；④函?shù)在上單調(diào)遞增；⑤方程的實(shí)根的個數(shù)是2.所有正確命題的序號是.13．已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值無最大值，則.14．已知函數(shù)，若對任意的，，當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(本小題共13分)已知函數(shù)．（1）化簡；（2）若，且，求的值．16．(本小題共15分)已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2），求的值．17．(本小題共15分)已知函數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù).（1）若函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：函數(shù)僅有1個零點(diǎn)，且.18．(本小題共17分)如圖，某圓形小區(qū)有兩塊空余綠化扇形草地（圓心角為）和（圓心角為），為圓的直徑.現(xiàn)分別要設(shè)計出兩塊社區(qū)活動區(qū)域，其中一塊為矩形區(qū)域，一塊為平行四邊形區(qū)域，已知圓的直徑百米，且點(diǎn)在劣弧上（不含端點(diǎn)），點(diǎn)在上?點(diǎn)在上?點(diǎn)和在上?點(diǎn)在上，記.(第18題圖)（1）經(jīng)設(shè)計，當(dāng)達(dá)到最大值時，取得最佳觀賞效果，求取何值時，最大，最大值是多少？（2）設(shè)矩形和平行四邊形面積和為，求的最大值及此時的值.19．(本小題共17分)已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的都存在個不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”．（1）試判斷是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請說明理由；（2）求證：是的“4重覆蓋函數(shù)”；（3）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題意的．1．D【分析】先求出集合，，再結(jié)合交集的定義，即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，所以，，故．故選：D．2．C【分析】根據(jù)“”和“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的互相推出關(guān)系判斷出屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時，若，此時的定義域?yàn)?，則不是定義域的子集，所以無法推出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且定義域?yàn)?，因?yàn)槎魏瘮?shù)只可能在上單調(diào)遞增，不可能在上單調(diào)遞減，故只需滿足，解得，此時可以推出，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的必要不充分條件，故選：C.3．D【分析】由平面向量的線性運(yùn)算逐步轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】=.故選：D．4．B【分析】根據(jù)已知條件化簡求出，利用，并結(jié)合，求出結(jié)果即可.【詳解】解：，解得.因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，，所?故選：B.5．B【分析】首先由函數(shù)的定義域排除CD，再由時，排除A，即可得答案.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋耘懦鼵，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋耘懦鼶，因?yàn)楫?dāng)時，，所以排除A，故選：B6．B【分析】根據(jù)角速度列方程，求得兩點(diǎn)重合的時刻的表達(dá)式，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的周期性求得正確答案.【詳解】點(diǎn)的初始位置，銳角，設(shè)時刻兩點(diǎn)重合，則，即，此時點(diǎn)，即，，當(dāng)時，，故A正確；當(dāng)時，，即，故C正確；當(dāng)時，，即，故D正確；由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合，故B錯誤.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：追及問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于時間，運(yùn)動的時間相同，由此可建立等量關(guān)系式，從而可對問題進(jìn)行求解.三角函數(shù)具有周期性，誘導(dǎo)公式可以將較大角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為較小的角的三角函數(shù)值.7．C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小可得答案.【詳解】，，，∴．故選：C.8．A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的有界性及條件求得，然后利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，由于，所以?dāng)且僅當(dāng)時，滿足條件等式，所以，，即，所以.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題所給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的、不選得0分．9．ACD【分析】AD選項，由基本不等式求出最值；B選項，化為，求出最小值；C選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】對于，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，取等號，所以A正確；對于，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值，所以B錯誤；對于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取等號，所以C正確；對于，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，取等號，所以正確.故選：ACD.10．ACD【分析】A選項利用差比較法判斷；B選項利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；C選項利用判別式進(jìn)行判斷；D選項根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【詳解】A選項，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故A選項正確.B選項，令，則，函數(shù)在區(qū)間上遞增，沒有最小值.所以B選項錯誤.C選項，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時，，值域?yàn)?，符合題意.當(dāng)時，，所以的值域?yàn)?，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，C選項正確.D選項，函數(shù)，定義域是，，是偶函數(shù)，在上遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，D選項正確.故選：ACD11．ABD【分析】由經(jīng)過可求出的解析式，利用奇偶性定義可判斷A；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；求的值可判斷D，利用，分、、，三種情況求的化簡式可判斷C．【詳解】因?yàn)榻?jīng)過，所以，即，，解得，，又，所以，則，對于A，，時，令，可得，故為奇函數(shù)，所以A正確；對于B，時，，對于在上單調(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞減，所以B正確；對于D，，所以恒為，即存在常數(shù)m=0，所以D正確；對于C，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，所以C錯誤．故答案為：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．②③⑤【分析】利用判別式可判斷①；利用特稱命題的否定為全稱命題可判斷②；求出的定義域可判斷③；分離常量后根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性可判斷④；在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象可判斷⑤.【詳解】對于①：時，；時，，則，故或1，故錯誤；對于②：p：，為假命題，則，為真命題，故即，故正確；對于③：，則，即的定義域?yàn)?，故正確；對于④：，其在上單調(diào)遞減，故錯誤；對于⑤：在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，觀察兩圖象有2個交點(diǎn)，則方程的實(shí)根的個數(shù)是2，故正確.故答案為：②③⑤.13．或【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、最值求得正確答案.【詳解】因?yàn)椋以趨^(qū)間上有最小值無最大值，則，則，可得，解得，且，解得，可知：或1，或.故答案為：或.14．【分析】將問題轉(zhuǎn)化為對任意的，當(dāng)時，恒成立，不妨設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞減，再結(jié)合利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍．【詳解】，由，得，所以，所以，因?yàn)閷θ我獾模?dāng)時，恒成立，所以對任意的，當(dāng)時，恒成立，，不妨設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化成在單調(diào)遞減，所以，其中，解得，所以的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論；三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(1)(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡表達(dá)式即可求解.（2）由誘導(dǎo)公式、平方關(guān)系結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】（1）.（2）由，可得，所以，又，所以，因?yàn)?，，，所以，所以的值為?6．(1)，增區(qū)間為(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦和余弦公式和輔助角公式化簡，由最小正周期公式求出的最小正周期；令，即可求出單調(diào)增區(qū)間；（2）由題意可得，由，求出的范圍，再由三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，則，由兩角和的正弦公式化簡即可得出答案.【詳解】（1）故周期為，令，，所以的增區(qū)間為.（2），故.17．(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由反函數(shù)定義可得，從而結(jié)合的值域?yàn)椋懻搈的取值，結(jié)合解不等式，求得答案；（2）利用零點(diǎn)存在定理，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證明函數(shù)僅有1個零點(diǎn)，從而得到，進(jìn)而將要證明的不等式等價轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以.因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以能取遍?nèi)的所有值，當(dāng)時，能取遍內(nèi)的所有值，符合題意；當(dāng)時，則只需，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）由（1）可得，定義域?yàn)?，因?yàn)?，，（）由零點(diǎn)存在定理有，存在零點(diǎn)，使得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以僅有1個零點(diǎn)，且.等價于，令，顯然函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則.所以，故，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于函數(shù)不等式的證明，解答時要結(jié)合函數(shù)存在零點(diǎn)，得到關(guān)于零點(diǎn)的等式，進(jìn)而結(jié)合該等式化簡，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證明結(jié)論.18．(1)時，最大值為百米(2)百米，【分析】對于小問1，分別用變量來表達(dá)，，代入，得關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)行三角恒等變換整理成型函數(shù)求最大值；對于小問2，分別用變量來表達(dá)矩形和平行四邊形面積相加，得關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)行三角恒等變換整理成型函數(shù)求最大值.【詳解】（1）在矩形OEFG中，，，所以.因?yàn)镸N∥PQ，，所以，在△OQP中，，，由正弦定理可知：，即，得.所以因?yàn)?，所以，?dāng)，時，最大值為百米.（2）設(shè)平行四邊形MNPQ邊MN上的高為h，所以有，所以平行四邊形MNPQ的面積為，在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面積為，所以.其中，，，因?yàn)椋?，?dāng)，時，百米2，此時.19．(1)不是的“2重覆蓋函數(shù)”理由見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）：根據(jù)兩個函數(shù)的值域，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即；（2）：可根據(jù)兩個函數(shù)的值域，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性進(jìn)行判斷即可；（3）：將題轉(zhuǎn)化為對任意，有2個實(shí)根，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由可知：，函數(shù)的圖像如圖所示：當(dāng)時，