備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第八章平面解析幾何第6講雙曲線

第6講雙曲線課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單幾何性質(zhì).2.體會數(shù)形結(jié)合的思想.雙曲線的定義及應(yīng)用2020全國卷ⅢT11該講每年必考，命題熱點為雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線、離心率，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度中等偏上.在2025年高考備考中，訓(xùn)練常規(guī)題型的同時，應(yīng)強(qiáng)化有關(guān)解答題的訓(xùn)練.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2023新高考卷ⅡT21；2023天津T9；2022新高考卷ⅡT21雙曲線的幾何性質(zhì)2023新高考卷ⅠT16；2022全國卷乙T11；2022全國卷甲T14；2022北京T12；2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT13；2021全國卷甲T5；2021全國卷乙T13；2020新高考卷ⅠT9；2020全國卷ⅠT15；2020全國卷ⅡT8；2020全國卷ⅢT11；2019全國卷ⅠT16；2019全國卷ⅡT11；2019全國卷ⅢT101.雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程（1）定義在平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的①絕對值等于常數(shù)（小于｜F1F2｜且大于零）的點的軌跡叫做雙曲線.定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的②焦點，兩焦點間的距離叫做③焦距.集合語言：P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，2a＜｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0.a.當(dāng)2a＝2c時，P點的軌跡是④兩條射線；b.當(dāng)2a＞2c時，P點軌跡不存在.（2）標(biāo)準(zhǔn)方程a.中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑤x2a2－y2b2＝1（a＞b.中心在坐標(biāo)原點，焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑥y2a2－x2b2＝1（a＞0規(guī)律總結(jié)焦點位置的判斷在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，看x2項與y2項的系數(shù)的正負(fù)，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，則焦點在y軸上，即“焦點位置看正負(fù)，焦點隨著正的跑”.思維拓展雙曲線的第二定義、第三定義雙曲線的第二定義：{P｜｜PF｜d＝e，e＞1，F(xiàn)?l，其中F為定點，l為定直線，e為離心率，d為點P到直線l雙曲線的第三定義：{P｜kPA·kPB＝e2－1，e＞1，其中kPA，kPB分別表示點P與兩定點A，B連線的斜率，e為離心率}（注意，此時確定的雙曲線不包含兩個頂點，且焦點在x軸上）.2.雙曲線的幾何性質(zhì)（1）雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2b2＝1（a＞y2a2－x2b2＝1（a＞圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2－y2b2＝1（a＞y2a2－x2b2＝1（a＞幾何性質(zhì)范圍｜x｜≥a，y∈R｜y｜≥a，x∈R對稱性對稱軸：⑦x軸，y軸；對稱中心：⑧原點焦點F1⑨（－c，0），F(xiàn)2⑩（c，0）F1?（0，－c），F(xiàn)2?（0，c）頂點A1（－a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸；實軸長為?2a，虛軸長為?2b；實半軸長為a，虛半軸長為b焦距｜F1F2｜＝?2c離心率e＝?ca＝1+b2a2，e∈?漸近線直線?y＝±bax直線?y＝±abxa，b，c的關(guān)系a2＝?c2－b2（2）特殊雙曲線等軸雙曲線共軛雙曲線定義實軸長與虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.如果一雙曲線的實軸和虛軸分別是另一雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩個雙曲線互為共軛雙曲線.性質(zhì)（1）a＝b；（2）e＝2；（3）漸近線互相垂直；（4）等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項.（1）它們有共同的漸近線；（2）它們的四個焦點共圓；（3）它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.常用結(jié)論1.雙曲線的焦點三角形與焦半徑F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，（1）S△PF1F2＝b2ta（2）△PF1F2內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)的絕對值為定值a.（3）當(dāng)點P（x0，y0）在雙曲線右支上時，｜PF1｜＝ex0＋a，｜PF2｜＝ex0－a；當(dāng)點Px0,y0在雙曲線左支上時，｜PF1｜＝－ex0－a，｜PF2｜＝－（4）當(dāng)點P在雙曲線右支上時，｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.2.雙曲線中兩個常見的直角三角形如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，A為右頂點，過點F2向漸近線引垂線，垂足為C，過點A向x軸引垂線交漸近線于點B，則△COF2≌△AOB，且有｜OC｜＝｜OA｜＝a，｜F2C｜＝｜AB｜＝b，｜OF2｜＝1.下列說法正確的是（D）A.平面內(nèi)到點F1（0，4），F(xiàn)2（0，－4）距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線B.關(guān)于x，y的方程x2m－y2n＝1（mn＞C.雙曲線y29－x24＝1的漸近線方程是yD.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于22.[浙江高考]漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是（C）A.22 B.1 C.2 解析因為雙曲線的漸近線方程為x±y＝0，所以無論雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上，都滿足a＝b，所以c＝2a，所以雙曲線的離心率e＝ca＝2.故選3.[2023北京高考]已知雙曲線C的焦點為（－2，0）和（2，0），離心率為2，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22－y22解析解法一因為雙曲線C的焦點為（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦點在x軸上.又離心率e＝2，所以ca＝2，所以a＝2，則b2＝c2－a2＝2，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22－解法二因為雙曲線C的離心率e＝2，所以該雙曲線為等軸雙曲線，即a＝b.又雙曲線C的焦點為（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦點在x軸上，所以a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22－y4.已知等軸雙曲線過點（5，3），則該雙曲線方程為x216－y216解析設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ（λ≠0），將（5，3）代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以雙曲線方程為x2－y2＝16，即x216－y5.[教材改編]設(shè)雙曲線x29－y2b2＝1（b＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上的一點，若｜PF1｜＝5，則｜PF2｜解析由雙曲線的方程x29－y2b2＝1（b＞0），可得a＝3，根據(jù)雙曲線的定義可知PF1-PF2=±2a=±66.已知雙曲線C：y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距為43，實軸長為42，則雙曲線C的漸近線方程為2x解析由題意知，2c＝43，2a＝42，則b＝c2－a2＝2，所以C的漸近線方程為y＝±abx＝±2x，即2研透高考明確方向命題點1雙曲線的定義及應(yīng)用例1（1）[全國卷Ⅲ]設(shè)雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為5.P是C上一點，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則A.1 B.2 C.4 D.8解析解法一設(shè)｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P為雙曲線右支上一點，則由雙曲線的定義得m－n＝2a.由題意得S△PF1F2＝12mn＝4，且m2＋n2＝4c2＝（m－n）2＋2mn＝4a2＋16，又e＝ca＝5，故c2a2解法二由題意及雙曲線焦點三角形的結(jié)論，得S△PF1F2＝b2tan45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝（2）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡為（C）A.雙曲線 B.橢圓C.雙曲線左支 D.雙曲線右支解析設(shè)動圓M的半徑為r，由動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以動圓圓心M的軌跡是以點C1－3,方法技巧1.雙曲線定義的主要應(yīng)用（1）確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的動點軌跡是否為雙曲線；（2）解決與焦點有關(guān)的距離或范圍問題.2.解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義以及余弦定理.訓(xùn)練1（1）已知P是雙曲線C：x22－y2＝1右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線.P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點，則｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值為（DA.1 B.2＋15C.4＋155 D.22＋解析設(shè)雙曲線的右焦點為F2，因為｜PF1｜－｜PF2｜＝22，所以｜PF1｜＝22＋｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PQ｜＝22＋｜PF2｜＋｜PQ｜.當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點共線，且P在Q，F(xiàn)2之間時，｜PF2｜＋｜PQ｜最小，且最小值為點F2到直線l的距離.點F2到直線l的距離d＝1，故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值為22＋1，故選D.（2）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為23.解析解法一不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF解法二由題意可得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22－y22＝1，所以可得b2＝2，由雙曲線焦點三角形的面積公式S△PF1F2命題點2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2（1）已知定點F1（－2，0），F(xiàn)2（2，0），N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡方程是（B）A.x2＋y23＝1 B.x2－yC.x23＋y2＝1 D.x23－解析如圖，當(dāng)點P在y軸左側(cè)時，連接ON，PF1.因為｜ON｜＝12｜F2M｜＝1，所以｜F2M｜＝2，由PN所在直線為線段MF1的垂直平分線，可得｜PF1｜＝｜PM｜＝｜PF2｜－｜F2M｜＝｜PF2｜－2，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2＜｜F1F2｜＝4.同理，當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＜｜F1F2｜＝4.故點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線，對應(yīng)的方程為x2－y23（2）[2023天津高考]雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P.已知｜PF2｜＝2，直線PF1的斜率為A.x28－y24＝1 B.xC.x24－y22＝1 D.x解析解法一由題意可知該漸近線方程為y＝bax，直線PF2的方程為y＝－ab（x－c），與y＝bax聯(lián)立并解得x＝a2c，y＝abc，即P（a2c，abc）.因為直線PF2與漸近線y＝bax垂直，所以PF2的長度即為點F2（c，0）到直線y＝bax（即bx－ay＝0）的距離，由點到直線的距離公式得｜PF2｜＝bca2＋b2＝bcc＝b，所以b＝2.因為F1（－c，0），P（a2c，abc），且直線PF1的斜率為24，所以abca2c＋c＝24，化簡得aba2＋c2＝24，又b＝2解法二因為過點F2向其中一條漸近線作垂線，垂足為P，且｜PF2｜＝2，所以b＝2，（雙曲線中焦點到漸近線的距離為b）再結(jié)合選項，排除選項B，C.若雙曲線方程為x28－y24＝1，則F1（－23，0），F(xiàn)2（23，0），漸近線方程為y＝±22x，由題意可知該漸近線方程為y＝22x，則直線PF2的方程為y=-2（x－23），與漸近線方程y＝22x聯(lián)立，得P（433，263），則kPF1＝2方法技巧求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法1.定義法先根據(jù)雙曲線定義確定a，b，c的值，再結(jié)合焦點的位置求出雙曲線方程.2.待定系數(shù)法（1）先確定焦點在x軸上還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題中條件確定a2，b2的值；若不能確定焦點位置，可以設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1（mn＜0）.（2）常見設(shè)法①與雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為x2a2－y2b2＝λ（②與雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共焦點的雙曲線方程可設(shè)為x2a2－λ－y2訓(xùn)練2（1）[浙江高考]已知點O（0，0），A（－2，0），B（2，0）.設(shè)點P滿足PA-PB=2，且P為函數(shù)y＝34－x2圖象上的點，則｜A.222 B.4105 C.7 解析由｜PA｜－｜PB｜＝2＜｜AB｜＝4，知點P的軌跡是雙曲線的右支，點P的軌跡方程為x2－y23＝1（x≥1），又y＝34－x2，所以x2＝134，y2＝274，所以｜OP（2）與雙曲線x216－y24＝1有相同的焦點，且經(jīng)過點P（32，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212解析解法一設(shè)所求雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則F1（－25，0），F(xiàn)225,0，則｜PF1｜－｜PF2｜＝（32+25）2+4－（32－25）2+4＝212=2a，∴解法二設(shè)所求雙曲線的方程為x216－λ－y24+λ＝1（－∵雙曲線過點P（32，2），∴1816－λ－44+λ＝故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212－y命題點3雙曲線的幾何性質(zhì)角度1漸近線例3（1）[2022北京高考]已知雙曲線y2＋x2m＝1的漸近線方程為y＝±33x，則m＝解析依題意得m＜0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx＝±33（2）[2021新高考卷Ⅱ]已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率e＝2，則雙曲線C的漸近線方程為y解析e＝ca＝1+（ba）2＝2，得ba＝3，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±方法技巧（1）求雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的漸近線方程的方法：令x2a2－y2b2＝0，即得兩漸近線方程為（2）在雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±ba滿足關(guān)系式角度2離心率例4（1）[2021全國卷甲]已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，則C的離心率為（A）A.72 B.132 C.7 解析設(shè)｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，則｜F1F2｜＝m2+9m2－2×3m×m×cos60°＝7m（2）雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，過點A的直線交雙曲線C于另一點B，當(dāng)BF⊥AF時滿足｜AF｜＞2｜BF｜，則雙曲線離心率A.（1，2） B.（1，32C.（32，2） D.（1，3+解析由BF⊥AF，可得｜BF｜＝b2a，又｜AF｜＞2｜BF｜，｜AF｜＝a＋c，所以a＋c＞2·b2a，即a＋c＞2·c2－a2a，即a2＋ac＞2（c2－a2），兩邊同時除以a2，整理可得2e2－e－3<0，又e所以雙曲線離心率e的取值范圍是（1，32）（3）[2023新高考卷Ⅰ]已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點A在C上，點B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)解析解法一由題意可知，F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），設(shè)A（x1，y1），B（0，y0），所以F2A＝（x1－c，y1），F(xiàn)2B＝（－c，y0），因為F2A＝－23F2B，所以x1－c＝F1A＝（83c，－23y0），F(xiàn)1B＝（c，y0），因為F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即因為點A（53c，－23y0）在雙曲線C上，所以25c29a2－4y029b2＝1，又y02＝4c2，所以25c29a2－16c29b2＝解法二由前面解法一得A（53c，－23y0），y02＝4c2，所以｜AF1｜＝（53c＋c）2＋（－23y0）2＝64c29＋4y029＝64c29＋16c29＝45c3，｜AF2｜＝（53c方法技巧1.求雙曲線的離心率的方法（1）直接利用公式求離心率：e＝ca＝1+（2）利用雙曲線的定義求離心率：在焦點三角形F1PF2中，設(shè)∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，則e＝ca＝｜F1（3）構(gòu)造關(guān)于a，b，c的齊次式求離心率：由已知條件得出關(guān)于a，b，c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.2.求雙曲線離心率的取值范圍的方法（1）借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系求解，如焦半徑｜PF1｜∈[c－a，＋∞）或｜PF1｜∈[a＋c，＋∞）、三角形中兩邊之和大于第三邊等；（2）考慮平面幾何圖形的臨界位置，建立關(guān)于a，c的不等關(guān)系求解.角度3與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問題例5（1）[全國卷Ⅱ]設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝a與雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于D，E兩點.若△ODE的面積為8，則A.4 B.8 C.16 D.32解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±bax.因為D，E分別為直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線的交點，所以不妨設(shè)D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝12×a×｜DE｜＝12×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝22時等號成立.所以c≥4，2c≥8，所以C的焦距的最小值為（2）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的兩個頂點分別為A1，A2，F(xiàn)為雙曲線的一個焦點，B為虛軸的一個端點，若在線段BF上（不含端點）存在兩點P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝π2A.（1，5+12） B.（1，C.（0，5+12） D.（3+1解析不妨設(shè)點F為雙曲線的左焦點，點B在y軸正半軸上，則F-c，0,B0，b,直線BF的方程為bx－cy＝－bc.如圖所示，以O(shè)為圓心，A1A2為直徑作圓O，則P由題意可知b＞a，bcb2＋c2＜a，即b＞a方法技巧求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問題的方法1.幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求解.2.代數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)或不等式，利用函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解.訓(xùn)練3（1）[2023綿陽二診]設(shè)雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，A，B兩點在雙曲線C上且關(guān)于原點對稱，若｜AB｜＝2｜OF｜（O為坐標(biāo)原點），｜BF｜＝3｜AFA.6x±2y＝0 B.2x±6y＝0C.2x±3y＝