中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似-知識講解提高

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似--知識講解（提高）責編：常春芳【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并控制三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決容易的實際問題．3.控制圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個圖形放大或縮?。?.控制用坐標表示圖形的位置與變換，在給定的坐標系中，會按照坐標描出點的位置或由點的位置寫出它的坐標，靈便運用不同方式?jīng)Q定物體的位置．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念倘若選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分離為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.在四條線段中，倘若其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿意或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項.倘若作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.2、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項或外項）（交換內(nèi)項）（交換外項）（同時交換內(nèi)項和外項）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項、后項）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB0.618AB.考點二、相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是異常的相似圖形).

2.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要點詮釋】結(jié)合兩個圖形相似，得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長.對于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的主意處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)倘若兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)倘若兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；

(4)倘若一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

(5)倘若一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

考點三、位似圖形1.位似圖形的定義：

兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，不經(jīng)過交點的對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中央.

2.位似圖形的分類：

(1)外位似：位似中央在銜接兩個對應(yīng)點的線段之外.

(2)內(nèi)位似：位似中央在銜接兩個對應(yīng)點的線段上.

3.位似圖形的性質(zhì)

位似圖形的對應(yīng)點和位似中央在同一條直線上；

位似圖形的對應(yīng)點到位似中央的距離之比等于相似比；

位似圖形中不經(jīng)過位似中央的對應(yīng)線段平行.【要點詮釋】位似圖形是一種異常的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關(guān)鍵點，并任取一點作為位似中央；

第二步：作位似中央與各關(guān)鍵點連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點的對應(yīng)點，使之滿意放縮比例；

第四步：順次銜接截取點.

【要點詮釋】

在平面直角坐標系中，倘若位似變換是以原點為位似中央，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或-k.【典型例題】類型一、比例線段1.已知三個數(shù)1,2,,請你再添上一個(只填一個)數(shù),使它們能構(gòu)成一個比例式,則這個數(shù)是_________.分析：這是一道展開型試題,因為題中沒有告訴構(gòu)成比例的各數(shù)順序,故應(yīng)考慮各種可能位置.【思路點撥】這是一道展開型試題,因為題中沒有告訴構(gòu)成比例的各數(shù)順序,故應(yīng)考慮各種可能位置.【答案與解析】按照比例式的概念，可得：

1×÷2=；

2×÷1=21×2÷=【總結(jié)升華】要構(gòu)成一個比例式，按照比例式的概念：倘若其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．舉一反三：【變式】將一個菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說法不準確的是()

A．菱形的各角擴大為本來的2倍B．菱形的邊長擴大為本來的2倍

C．菱形的對角線擴大為本來的2倍D．菱形的面積擴大為本來的4倍【答案】A.類型二、相似圖形【高清課堂：圖形的相似考點10（3）】2.（2015?資陽）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F分離作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分離為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當點E與點B重合時，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中準確結(jié)論為（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【思路點撥】利用相似三角形的特征和等高三角形的面積比等于底邊之比（共底三角形的面積之比等于高之比）.【答案】C.【解析】解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①準確；②如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位線，∴GC=AC=MH，故②準確；③如圖2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．將△ACF順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③錯誤；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AE?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，故④準確．故選：C．【總結(jié)升華】考查了相似形綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，綜合性較強，有一定的難度．3．（2015?杭州模擬）如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點，E是BC延伸線上一點，且AF=EC，連結(jié)EF，DE，DF，M是FE中點，連結(jié)MC，設(shè)FE與DC相交于點N．則4個結(jié)論：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，則BF=2；準確的結(jié)論有（）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【思路點撥】按照正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證實△ADF和△CDE全等，按照全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，而∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，于是∠DGN≠∠DNG，判斷出①錯誤；按照全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF，然后判斷出△DEF是等腰直角三角形，按照等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DEF=45°，再按照兩組角對應(yīng)相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判斷出②準確；銜接BM、DM，按照直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=EF，然后判斷出直線CM垂直平分BD，判斷出③準確；過點M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再按照三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BF=2MH，判斷出④準確．【答案】C.【答案與解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠DEF=45°，∵∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判斷出①錯誤；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（對頂角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②準確；銜接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，∴∠FDE=∠ADC=90°，∵M是EF的中點，∴MD=EF，∵BM=EF，∴MD=MB，在△DCM與△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM=∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分線AC上，∴MC垂直平分BD；故③準確；過點M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45°，∵MC=，∴MH=×=1，∵M是EF的中點，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位線，∴BF=2MH=2，故④準確；綜上所述，準確的結(jié)論有②③④．故選C．【總結(jié)升華】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2011湖南懷化）如圖8，△ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分離在AC，AB上，AD與HG的交點為M.求證：求這個矩形EFGH的周長.【答案】（1）證實：∵四邊形EFGH為矩形，

∴EF∥GH，

∴∠AHG=∠ABC，

又∵∠HAG=∠BAC，

∴△AHG∽△ABC，

∴；

（2）解：由（1）得：設(shè)HE=xcm，MD=HE=x，

∵AD=30，

∴AM=30-x，

∵HG=2HE，

∴HG=2x，

AM=AD-DM=AD-HE=30-x（cm），

可得

，

解得，x=12，

2x=24

所以矩形EFGH的周長為：2×（12+24）=72（cm）．

答：矩形EFGH的周長為72cm．4.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為，直線BC經(jīng)過點，，將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形，此時直線、直線分離與直線BC相交于點P、Q．（1）四邊形OABC的形狀是，當時，的值是；（2）①如圖1，當四邊形的頂點落在軸正半軸時，求的值；[來源:ZXXK]②如圖2，當四邊形的頂點落在直線上時，求的面積．（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當時，是否存在這樣的點P和點Q，使？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）按照有一個角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OA′B′C′是矩形，當α=90°時，可知，按照比例的性質(zhì)得出；

（2）①由△COP∽△A'OB'，按照相似三角形對應(yīng)邊成比例得出CP=，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出CQ=3，則BQ可求；

②先利用AAS證實△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即可求出；

（3）當點P位于點B的右側(cè)時，過點Q畫QH⊥OA′于H，銜接OQ，則QH=OC′=OC，按照S△POQ=S△POQ，即可證實出PQ=OP；

設(shè)BP=x，在Rt△PCO中，運用勾股定理，得出x=，進而求得點P的坐標．【答案與解析】（1）∵O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經(jīng)過點B（-8，6），C（0，6），

∴OA=BC=8，OC=AB=6，

∴四邊形OABC的形狀是矩形；

當α=90°時，P與C重合，如圖，

按照題意，得，

則；（2）①如圖1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，

∴△COP∽△A'OB'，

∴，即，

∴CP=,BP=BC－CP=

.

同理△B'CQ∽△B'C'O，

，即，

∴CQ=3，

BQ=BC+CQ=11，∴;

②圖2，在△OCP和△B′A′P中，

，

∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．

∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，

在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，

解得x=．

∴S△OPB′==；

（3）過點Q作QH⊥OA′于H，銜接OQ，則QH=OC′=OC，

∵S△POQ=PQ?OC，S△POQ=OP?QH，∴PQ=OP．

設(shè)BP=x，∵BP=BQ，∴BQ=2x，

如圖4，當點P在點B左側(cè)時，

OP=PQ=BQ+BP=3x，

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，

解得x1=1+，x2=1-（不符實際，舍去）．

∴PC=BC+BP=9+，

∴P1（-9-，6）．

如圖5，當點P在點B右側(cè)時，

∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．

在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，解得x=．

∴PC=BC-BP=8-=，

∴P2（-，6），

綜上可知，存在點P1（-9-，6），P2（-，6），使BP=BQ．【總結(jié)升華】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．異常注重在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應(yīng)線段相等，能夠用一個未知數(shù)表示同一個直角三角形的未知邊，按照勾股定理列方程求解．【高清課堂：圖形的相似考點10（5）】5．如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．①求證：ADE∽BEF；②設(shè)正方形的邊長為4，AE=，BF=．當取什么值時，有最大值?并求出這個最大值．【思路點撥】本題涉及到的考點有相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值以及正方形的性質(zhì)．【答案與解析】（1）證實：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，

∴∠ADE=∠BEF，

∴△ADE∽△BEF由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x

得：，即：，

得：y==（0＜x＜4）

（3）解：當x=2時，y有最大值，y的最大值為1．該函數(shù)圖象在對稱軸x=2的左側(cè)部分是升高的，右側(cè)部分是下降的．【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．決定個二次函數(shù)的最值是，