中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似-知識(shí)講解提高

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似--知識(shí)講解（提高）責(zé)編：常春芳【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并控制三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決容易的實(shí)際問(wèn)題．3.控制圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮?。?.控制用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會(huì)按照坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫(xiě)出它的坐標(biāo)，靈便運(yùn)用不同方式?jīng)Q定物體的位置．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念倘若選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分離為m，n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).在四條線段中，倘若其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段.若四條a，b，c，d滿意或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).倘若作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).2、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）（交換內(nèi)項(xiàng)）（交換外項(xiàng)）（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB.考點(diǎn)二、相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說(shuō)：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是異常的相似圖形).

2.相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要點(diǎn)詮釋】結(jié)合兩個(gè)圖形相似，得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長(zhǎng).對(duì)于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來(lái)的主意處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)倘若兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(3)倘若兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(4)倘若一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

(5)倘若一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

考點(diǎn)三、位似圖形1.位似圖形的定義：

兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中央.

2.位似圖形的分類(lèi)：

(1)外位似：位似中央在銜接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外.

(2)內(nèi)位似：位似中央在銜接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上.

3.位似圖形的性質(zhì)

位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中央在同一條直線上；

位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中央的距離之比等于相似比；

位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中央的對(duì)應(yīng)線段平行.【要點(diǎn)詮釋】位似圖形是一種異常的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中央；

第二步：作位似中央與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿意放縮比例；

第四步：順次銜接截取點(diǎn).

【要點(diǎn)詮釋】

在平面直角坐標(biāo)系中，倘若位似變換是以原點(diǎn)為位似中央，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.【典型例題】類(lèi)型一、比例線段1.已知三個(gè)數(shù)1,2,,請(qǐng)你再添上一個(gè)(只填一個(gè))數(shù),使它們能構(gòu)成一個(gè)比例式,則這個(gè)數(shù)是_________.分析：這是一道展開(kāi)型試題,因?yàn)轭}中沒(méi)有告訴構(gòu)成比例的各數(shù)順序,故應(yīng)考慮各種可能位置.【思路點(diǎn)撥】這是一道展開(kāi)型試題,因?yàn)轭}中沒(méi)有告訴構(gòu)成比例的各數(shù)順序,故應(yīng)考慮各種可能位置.【答案與解析】按照比例式的概念，可得：

1×÷2=；

2×÷1=21×2÷=【總結(jié)升華】要構(gòu)成一個(gè)比例式，按照比例式的概念：倘若其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．舉一反三：【變式】將一個(gè)菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說(shuō)法不準(zhǔn)確的是()

A．菱形的各角擴(kuò)大為本來(lái)的2倍B．菱形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大為本來(lái)的2倍

C．菱形的對(duì)角線擴(kuò)大為本來(lái)的2倍D．菱形的面積擴(kuò)大為本來(lái)的4倍【答案】A.類(lèi)型二、相似圖形【高清課堂：圖形的相似考點(diǎn)10（3）】2.（2015?資陽(yáng)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，過(guò)點(diǎn)E、F分離作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分離為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中準(zhǔn)確結(jié)論為（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形的特征和等高三角形的面積比等于底邊之比（共底三角形的面積之比等于高之比）.【答案】C.【解析】解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①準(zhǔn)確；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵M(jìn)G⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位線，∴GC=AC=MH，故②準(zhǔn)確；③如圖2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．將△ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③錯(cuò)誤；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AE?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，故④準(zhǔn)確．故選：C．【總結(jié)升華】考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．3．（2015?杭州模擬）如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，E是BC延伸線上一點(diǎn)，且AF=EC，連結(jié)EF，DE，DF，M是FE中點(diǎn)，連結(jié)MC，設(shè)FE與DC相交于點(diǎn)N．則4個(gè)結(jié)論：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，則BF=2；準(zhǔn)確的結(jié)論有（）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】按照正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證實(shí)△ADF和△CDE全等，按照全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，而∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，于是∠DGN≠∠DNG，判斷出①錯(cuò)誤；按照全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，然后判斷出△DEF是等腰直角三角形，按照等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DEF=45°，再按照兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判斷出②準(zhǔn)確；銜接BM、DM，按照直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=EF，然后判斷出直線CM垂直平分BD，判斷出③準(zhǔn)確；過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再按照三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BF=2MH，判斷出④準(zhǔn)確．【答案】C.【答案與解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠DEF=45°，∵∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判斷出①錯(cuò)誤；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（對(duì)頂角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②準(zhǔn)確；銜接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，∴∠FDE=∠ADC=90°，∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴MD=EF，∵BM=EF，∴MD=MB，在△DCM與△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM=∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分線AC上，∴MC垂直平分BD；故③準(zhǔn)確；過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45°，∵M(jìn)C=，∴MH=×=1，∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位線，∴BF=2MH=2，故④準(zhǔn)確；綜上所述，準(zhǔn)確的結(jié)論有②③④．故選C．【總結(jié)升華】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2011湖南懷化）如圖8，△ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分離在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.求證：求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng).【答案】（1）證實(shí)：∵四邊形EFGH為矩形，

∴EF∥GH，

∴∠AHG=∠ABC，

又∵∠HAG=∠BAC，

∴△AHG∽△ABC，

∴；

（2）解：由（1）得：設(shè)HE=xcm，MD=HE=x，

∵AD=30，

∴AM=30-x，

∵HG=2HE，

∴HG=2x，

AM=AD-DM=AD-HE=30-x（cm），

可得

，

解得，x=12，

2x=24

所以矩形EFGH的周長(zhǎng)為：2×（12+24）=72（cm）．

答：矩形EFGH的周長(zhǎng)為72cm．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度得到四邊形，此時(shí)直線、直線分離與直線BC相交于點(diǎn)P、Q．（1）四邊形OABC的形狀是，當(dāng)時(shí)，的值是；（2）①如圖1，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在軸正半軸時(shí)，求的值；[來(lái)源:ZXXK]②如圖2，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的面積．（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）按照有一個(gè)角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OA′B′C′是矩形，當(dāng)α=90°時(shí)，可知，按照比例的性質(zhì)得出；

（2）①由△COP∽△A'OB'，按照相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出CP=，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出CQ=3，則BQ可求；

②先利用AAS證實(shí)△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即可求出；

（3）當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q畫(huà)QH⊥OA′于H，銜接OQ，則QH=OC′=OC，按照S△POQ=S△POQ，即可證實(shí)出PQ=OP；

設(shè)BP=x，在Rt△PCO中，運(yùn)用勾股定理，得出x=，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案與解析】（1）∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），

∴OA=BC=8，OC=AB=6，

∴四邊形OABC的形狀是矩形；

當(dāng)α=90°時(shí)，P與C重合，如圖，

按照題意，得，

則；（2）①如圖1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，

∴△COP∽△A'OB'，

∴，即，

∴CP=,BP=BC－CP=

.

同理△B'CQ∽△B'C'O，

，即，

∴CQ=3，

BQ=BC+CQ=11，∴;

②圖2，在△OCP和△B′A′P中，

，

∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．

∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，

在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，

解得x=．

∴S△OPB′==；

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OA′于H，銜接OQ，則QH=OC′=OC，

∵S△POQ=PQ?OC，S△POQ=OP?QH，∴PQ=OP．

設(shè)BP=x，∵BP=BQ，∴BQ=2x，

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

OP=PQ=BQ+BP=3x，

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，

解得x1=1+，x2=1-（不符實(shí)際，舍去）．

∴PC=BC+BP=9+，

∴P1（-9-，6）．

如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．

在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，解得x=．

∴PC=BC-BP=8-=，

∴P2（-，6），

綜上可知，存在點(diǎn)P1（-9-，6），P2（-，6），使BP=BQ．【總結(jié)升華】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．異常注重在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中的對(duì)應(yīng)線段相等，能夠用一個(gè)未知數(shù)表示同一個(gè)直角三角形的未知邊，按照勾股定理列方程求解．【高清課堂：圖形的相似考點(diǎn)10（5）】5．如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．①求證：ADE∽BEF；②設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，AE=，BF=．當(dāng)取什么值時(shí)，有最大值?并求出這個(gè)最大值．【思路點(diǎn)撥】本題涉及到的考點(diǎn)有相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值以及正方形的性質(zhì)．【答案與解析】（1）證實(shí)：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，

∴∠ADE=∠BEF，

∴△ADE∽△BEF由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x

得：，即：，

得：y==（0＜x＜4）

（3）解：當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，y的最大值為1．該函數(shù)圖象在對(duì)稱(chēng)軸x=2的左側(cè)部分是升高的，右側(cè)部分是下降的．【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．決定個(gè)二次函數(shù)的最值是，