圓中常用輔助線的作法1課件

圓的常用輔助線及作法

圓中常用輔助線的作法29751嘗試練習(xí)一嘗試練習(xí)二數(shù)學(xué)歌訣作法及應(yīng)用弦心距直徑圓周角切線徑兩圓相切公切線中點圓心線兩圓相交公共弦嘗試練習(xí)圓的常用輔助線及作法常用思想圓中常用輔助線的作法29751

圓是初中幾何學(xué)習(xí)中重要內(nèi)容，學(xué)好圓的有關(guān)知識，掌握正確的解題方法，對于提高學(xué)生的綜合能力非常重要，而在解決圓的有關(guān)問題時，恰當(dāng)添設(shè)輔助線則是解題的關(guān)鍵。一、添設(shè)圓的輔助線的常用思想添設(shè)圓的輔助線是幾何學(xué)習(xí)的重要方法。在作輔助線時，應(yīng)從結(jié)論入手分析，尋找題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，尋找隱含的條件，使輔助線起到“搭橋鋪路”的作用。圓中常用輔助線的作法29751

弦與弦心距，親密緊相連。中點與圓心，連線要領(lǐng)先。兩個相交圓，不離公共弦。兩個相切圓，常作公切線。圓與圓之間，注意連心線。遇直徑想直角，遇切點作半徑。圓的常用輔助線作法的“數(shù)學(xué)歌訣”圓中常用輔助線的作法29751二、常用輔助線作法的應(yīng)用

在解決與弦、弧有關(guān)的問題時，常作弦心距、半徑等輔助線，利用垂徑定理、推論及勾股定理解決問題。2.1、弦心距

----有弦，可作弦心距。圓中常用輔助線的作法29751例1、如圖，已知，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點。

求證：AC=BD。

由垂徑定理得：

AE=EB，CE=DE

證明：過O作OE⊥AB，垂足為E。E即：AC=BD∴AE-CE=BE-DE圓中常用輔助線的作法29751

在解決有關(guān)直徑的問題時，常作直徑上的圓周角，構(gòu)成直徑所對的圓周角是直角，尋找隱含的條件，從而得到所求結(jié)論。2.2、直徑圓周角

----有直徑，可作直徑上的圓周角.圓中常用輔助線的作法29751

例2、已知：MN切⊙O于A點，PC是直徑，PB⊥MN于B點，求證：分析：圓中常用輔助線的作法29751證明：連結(jié)AC、AP∵PC是⊙O的直徑∴∠CAP=90°∵PB⊥MN∴∠PBA=90°

∴∠CAP=∠PBA∵MN是⊙0的切線∴∠BAP=∠ACP圓中常用輔助線的作法29751

在解決有關(guān)切線問題時，常作過切點的半徑，利用切線的性質(zhì)定理；或者連結(jié)過切點的弦，利用弦切角定理，使問題得以解決。2.3、切線徑

----有切點，可作過切點的半徑。

圓中常用輔助線的作法29751

例3、如圖，AB、AC與⊙O相切有與B、C點，∠A=50°，點P優(yōu)弧BC的一個動點，求∠BPC的度數(shù)?！唷螧OC=360°-∠A-∠ABO-∠ACO=360°-50°-90°-90°=130°

解：連結(jié)OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切線∴AB⊥OB，AC⊥OC，

在四邊形ABOC中，∠A=50°∴∠BPC==65°∴∠ABO=∠ACO=90°圓中常用輔助線的作法29751

在解決兩圓相交的問題時，常作兩圓的公共弦，構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形。再利用圓內(nèi)接四邊形定理，架設(shè)兩圓之間的”橋梁”，從而尋找兩圓之間的等量關(guān)系。2.4、兩圓相交公共弦

----兩圓相交，可作公共弦。

圓中常用輔助線的作法29751例4、如圖，已知：⊙O和⊙O相交于A、B兩點，過A點的直線CD分別交⊙O和⊙O于C、D；過B點的直線EF分別交⊙O和⊙O于E、F。求證：CE∥DF?！郈E∥DF12221121證明：連結(jié)AB四邊形ACEB是⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠DAB=∠E四邊形ABFD是⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠DAB+∠F=180°∴∠E+∠F=180°圓中常用輔助線的作法29751

在解決兩圓相切的問題時，常作兩圓的公切線。若兩圓外切，常作內(nèi)公切線；若兩圓內(nèi)切，常作外公切線。通過公切線構(gòu)造弦切角，利用弦切角便把兩圓的圓周角聯(lián)系起來。2.5、兩圓相切公切線

---兩圓相切，可作公切線.圓中常用輔助線的作法29751例5、如圖，已知兩圓外切于T點。過T的直線AB、CD分別交⊙O和⊙O于A、C和B、D。求證：AC∥BD。MN證明：過T點作兩圓的內(nèi)公切線MN1212在⊙O中，∠A=∠CTN在⊙O中，∠B=∠DTM又∵∠CTN=∠DTM∴∠A=∠B∴AC∥BD圓中常用輔助線的作法29751

在解決有關(guān)中點和圓心的問題時，可先連結(jié)中點與圓心。利用垂徑定理，或者是三角形、梯形的中位線定理，可求出所需要的結(jié)論。2.6、中點圓心線

---有中點和圓心，可連結(jié)中點與圓心。圓中常用輔助線的作法29751例6、如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條弦，M、N分別是AB、CD的中點，并且∠AMN=∠CNM。求證：AB=CD。即：AB=CD證明：連結(jié)OM、ON∵M、N分別是AB、CD的中點∴OM⊥AB，ON⊥CD∴∠AMO=∠CNO=90°又∵∠AMN=∠CNM∴∠OMN=∠ONM∴OM=ON圓中常用輔助線的作法29751三、嘗試練習(xí)一1、如圖，點O是∠EPF的平分線上的一點，以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A、B和C、D點。求證：（1）、AB=CD（2）、PB=PD?！逷O平分∠BPA，∴OM=ON∴AB=CD。（1）、證明：過O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足為M、N。MN圓中常用輔助線的作法29751三、嘗試練習(xí)一1、如圖，點O是∠EPF的平分線上的一點，以O(shè)為圓心的圓與角的兩邊分別交于A、B和C、D點。求證：（1）、AB=CD（2）、PB=PD。（2）、∵AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD∴AM=MB=CN=ND又∵OM=ON，∴RtΔPMO≌RtΔPNO∴PM=PN∴PM+MB=PN+ND即：PB=PD圓中常用輔助線的作法297512、如圖，以RtΔABC的直角邊AC為直徑作⊙O交斜邊AB于P，過B、P任意作一個圓，過A作所作圓的切線AD，切點為D。求證：

即：AD=ACAC是⊙O的直徑，∴∠APC=90°∵∠ACB=90°，∴ΔAPC∽ΔACB又∵AD是大⊙的切線證明：連結(jié)CP，圓中常用輔助線的作法297513、如圖，在⊙O中，半徑OA⊥OB垂足為O，P是OB上任意一點，AP交⊙O于Q，過Q點的切線交OB的延長線于C。求證：CP=CQ?！逹C是⊙O的切線，∴∠OQC=90°∵OA=OQ，∴∠OAQ=∠OQA又OA⊥OB，∴∠APO=90°-∠OAP∠CQP=∠90°-∠OQA∠APO=∠CQP∴∠CQP=∠CPQ，∴CP=CQ。證明：連結(jié)OQ圓中常用輔助線的作法29751四、嘗試練習(xí)二1、如圖，兩圓相交于A、B兩點。過一個圓上的點P作射線PA和PB，分別交于另外一個圓于點C和點D，再作切線PT。求證：PT∥CD。PT是小⊙的切線，∠TPA=∠ABPABDC是大⊙的內(nèi)接四邊形，∠ABP=∠C∴∠TPA=∠C即：PT∥CD。證明：連結(jié)AB圓中常用輔助線的作法297512、如圖，已知：⊙O1和⊙O2外切于點A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C為切點。求證：AB⊥AC。由切線長定理得：BP=PA，PA=PC∴PA=BP=PC=證明：過點A作兩圓的公切線交BC于點P，∴AB⊥AC圓中常用輔助線的作法297513、已知、AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，切點為A，BC交⊙O于點D，E是AC的中點。求證：ED是⊙O的切線。OE是ΔABC的的中位線∴OE∥BC∠AOE=∠B，∠EOD=∠ODB