江西省宜春市宜豐縣宜豐中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024（下）高一開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）1．已知集合，，則（

）A．B．C． D．2．設(shè)甲：，乙：已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件3．將化成的形式是（

）A．B．C． D．4．下列函數(shù)與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．B．C． D．5．已知，則（

）A．B．C． D．6．函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（

）A．B．C． D．7．為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2020年全國(guó)掀起了垃圾分類(lèi)的熱潮，垃圾分類(lèi)已經(jīng)成為新時(shí)尚．假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類(lèi)的資金為2000萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，以后每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)20%，則該市全年用于垃圾分類(lèi)的資金開(kāi)始超過(guò)1億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．2030年 B．2029年 C．2028年 D．2027年8．已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（每小題5分，共20分）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．角為第一象限或第三象限角的充要條件是B．終邊在軸上的角的集合為C．若是第三象限角，則是第二象限或第三象限角D．用角度制和弧度制度量角，與所取圓的半徑大小有關(guān)10．下列選項(xiàng)中說(shuō)法正確的是（

）A．若用分層隨機(jī)抽樣的方法抽得兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為8，12，若這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10，則這兩組數(shù)據(jù)的權(quán)重比值為1B．一組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都加2，所得的一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為D．一組數(shù)據(jù)的方差為，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都乘2，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差為11．下列各式正確的是（

）A．B．C．D．12．已知，則（

）A．B．C． D．三、填空題（每小題5分，共20分）13．已知，且，則．14．已知函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1時(shí)，至少需要進(jìn)行次函數(shù)值的計(jì)算.15．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?16．北京時(shí)間2022年9月24日晚，在2022年世界賽艇錦標(biāo)賽女子四人雙漿決賽中，東京奧運(yùn)冠軍組合崔曉桐?呂揚(yáng)?張靈?陳云霞再次聯(lián)手出擊，強(qiáng)勢(shì)奪冠，繼2019年世錦賽后為中國(guó)隊(duì)實(shí)現(xiàn)該項(xiàng)目的成功衛(wèi)冕，賽艇是一種靠漿手劃漿前進(jìn)的小船，分單人艇?雙人艇?四人艇?八人艇四種，不同艇種雖大小不同，但形狀相似.根據(jù)相關(guān)研究，比賽成績(jī)t（單位：min）與獎(jiǎng)手?jǐn)?shù)量n（單位：個(gè)）間的關(guān)系為（為常數(shù)且）.已知在某次比賽中單人艇2000的比賽成績(jī)?yōu)?.21，由于比賽記錄員的疏忽，現(xiàn)有一個(gè)用時(shí)為6.67min的比賽成績(jī)但不清楚屬于哪一艇種，推斷該比賽成績(jī)所屬的艇種最有可能是（從“單人艇”“雙人艇”“四人艇”“八人艇”中選擇一個(gè)即可）；若已知比賽的賽艇艇種為八人艇，推斷在相同比賽條件下該賽艇比賽成績(jī)的理論估計(jì)值為（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）.四、解答題（70分）17．已知集合.(1)求；(2)若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線但又不與該直線相交.（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)求該函數(shù)的解析式并判斷其奇偶性；(2)若實(shí)數(shù)滿足不等式，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù).(1)求與的解析式；(2)判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性并用定義證明.20．已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長(zhǎng)為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)為，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)．21．物體在常溫下冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度為，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后的溫度為T(mén)，則，其中，為環(huán)境溫度，a為參數(shù).某日室溫為20，上午8點(diǎn)小王使用某品牌電熱養(yǎng)生壺?zé)?升水（假設(shè)加熱時(shí)水溫隨時(shí)間變化為一次函數(shù)，且初始溫度與室溫一致），8分鐘后水溫達(dá)到100，8點(diǎn)18分時(shí)，壺中熱水自然冷卻到60.(1)求8點(diǎn)起壺中水溫T（單位：）關(guān)于時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)；(2)若當(dāng)日小王在1升水沸騰（100）時(shí)，恰好有事出門(mén)，于是將養(yǎng)生壺設(shè)定為保溫狀態(tài)，已知保溫時(shí)養(yǎng)生壺會(huì)自動(dòng)檢測(cè)壺內(nèi)水溫，當(dāng)壺內(nèi)水溫高于臨界值50時(shí)，設(shè)備不加熱，當(dāng)壺內(nèi)水溫不高于臨界值50時(shí)，開(kāi)始加熱至80后停止，加熱速度與正常燒水一致，問(wèn)養(yǎng)生壺（在保溫狀態(tài)下）多長(zhǎng)時(shí)間后第二次開(kāi)始加熱？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間（不需要說(shuō)明理由）；(2)當(dāng)時(shí)，解不等式；(3)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2023-2024（下）高一開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試卷參考答案1．A【詳解】解：因?yàn)椋?，?．A【詳解】∵在上單調(diào)遞增，由的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，∴，即，故甲是乙的充分不必要條件.故選：A.3．D【詳解】.故選：D.4．B【詳解】的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；的定義域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；，與對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，故C錯(cuò)誤；，定義域?yàn)椋c對(duì)應(yīng)關(guān)系一致，B正確.故選：B.5．B【詳解】因?yàn)?，所?6．C【詳解】解：，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，所以其零點(diǎn)一定位于區(qū)間.故選：C.7．B【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)年之后，投入資金為萬(wàn)元，則，由題意可得：，即，所以，即，又因?yàn)?，∴，即?029年開(kāi)始該市全年用于垃圾分類(lèi)的資金超過(guò)1億元.故選：B．8．D【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)的大致圖象，如圖，令，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等根，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，并滿足，而函數(shù)對(duì)稱軸為，于是得，解得，所以的取值范圍為.故選：D9．AB【詳解】對(duì)于，當(dāng)角為第一象限角時(shí)，，則；當(dāng)角為第三象限角時(shí)，，則，所以若角為第一象限或第三象限角，則.因?yàn)?，即且，或且，?dāng)且時(shí)，角為第一象限角；當(dāng)且時(shí)，角為第三象限角，所以若，則角為第一或第三象限角,所以角為第一或第三象限角的充要條件是，故正確；對(duì)于B,終邊在軸上的角的集合為,即，即，正確；對(duì)于，若是第三象限角，即，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第二象限角；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第四象限角，則是第二象限或第四象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不論是用角度制還是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定義可知度量角與所取圓的半徑無(wú)關(guān)，故D不正確，故選：10．AC【詳解】A選項(xiàng)：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的權(quán)重為，由，又，可解得，所以這兩組數(shù)據(jù)的權(quán)重比值為1，故A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是從小到大第5項(xiàng)數(shù)據(jù)6，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都加2，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為原來(lái)數(shù)據(jù)平均數(shù)加2，故C正確；D選項(xiàng)：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都乘2，則新數(shù)據(jù)的方差為原來(lái)數(shù)據(jù)方差的倍，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11．AC【詳解】，故選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.12．ABD【詳解】因，即，則分別為函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出的圖象，如圖，由圖知，點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，于是得，，A正確；，則，B正確；，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：ABD13．【詳解】由，而，，∴原式．14．4【詳解】設(shè)對(duì)區(qū)間二等分次，初始區(qū)間長(zhǎng)度為1，第1次計(jì)算后區(qū)間長(zhǎng)度為；第2次計(jì)算后區(qū)間長(zhǎng)度為；第3次計(jì)算后區(qū)間長(zhǎng)度為；第4次計(jì)算后區(qū)間長(zhǎng)度為；故至少計(jì)算4次.故答案為：4.15．【詳解】解：，則，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，函數(shù)的值域?yàn)?16．雙人艇【詳解】由已知得，當(dāng)時(shí)，，代入解得，當(dāng)時(shí)，，故該比賽成績(jī)所屬的艇種最有可能是雙人艇；當(dāng)時(shí)，，故在相同比賽條件下該賽艇比賽成績(jī)的理論估計(jì)值為.故答案為：雙人艇；17．(1).(2).【詳解】（1）由題意，則，解得，所以，又，所以.（2）因?yàn)?，，即，所以，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍時(shí).18．(1)，函數(shù)為偶函數(shù).(2).【詳解】（1）由題意函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線但又不與該直線相交.，故在時(shí)，遞增，又此時(shí)遞減，故需滿足，由知，，而無(wú)限接近直線但又不與該直線相交，則，又,解得，，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.原不等式可化為，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，，則有，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，兩邊平方，得，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．(1)，(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由于函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得，，因?yàn)?，所以，即，解得?（2）的定義域?yàn)椋?，且，則.所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.20．(1)(2)最大值為25；【詳解】（1）因?yàn)?，所以扇形的面積為；（2）由題意可知：，即，所以扇形的面積為，當(dāng)時(shí)，扇形面積的最大值為，此時(shí)，21．(1)(2)27分鐘后養(yǎng)生壺（在保溫狀態(tài)下）第二次開(kāi)始加熱【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，代入，，解得，則，由題意，代入，，，得，所以.（2）若從降溫至，由題意有，代入，計(jì)算得分鐘，故經(jīng)過(guò)14分鐘養(yǎng)生業(yè)（在保溫狀態(tài)下）開(kāi)始第一次加熱；從加熱至需要分鐘，從降溫至，，代入，，，可得，計(jì)算得分鐘，則共需要分鐘，故27分鐘后養(yǎng)生壺（在保溫狀態(tài)下）第二次開(kāi)始加熱.22．(1)在上單調(diào)遞增，在上單