平面向量中“三點共線定理”妙用

PAGEPAGE1平面向量中“三點共線定理”妙用對平面內任意的兩個向量的充要條件是：存在唯一的實數(shù)，使由該定理可以得到平面內三點共線定理：三點共線定理：在平面中A、B、P三點共線的充要條件是：對于該平面內任意一點的O，存在唯一的一對實數(shù)x,y使得：且。特別地有：當點P在線段AB上時，當點P在線段AB之外時，筆者在經過多年高三復習教學中發(fā)現(xiàn)，運用平面向量中三點共線定理與它的兩個推廣形式解決高考題，模擬題往往會使會問題的解決過程變得十分簡單！本文將通過研究一些高考真題、模擬題和變式題去探究平面向量中三點共線定理與它的兩個推廣形式的妙用,供同行交流。例1（06年江西高考題理科第7題）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，且A、B、C三點共線，（設直線不過點O），則S200=（）A．100 B．101 C．200 D．201解：由平面三點共線的向量式定理可知：a1+a200=1,∴,故選A。點評：本題把平面三點共線問題與等差數(shù)列求和問題巧妙地結合在一起，是一道經典的高考題。例2已知是的邊上的任一點，且滿足，則的最小值是解：點P落在的邊BC上B，P,C三點共線由基本不等式可知：，取等號時，符合所以的最小值為9點評：本題把平面三點共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結合在一起，較綜合考查了學生基本功.圖2例3（湖北省2011屆高三八校第一次聯(lián)考理科）如圖2，在△ABC中，，點P是BC上的一點，若，則實數(shù)m的值為（）圖2A．B.C.D.解：三點共線，又，故選C例4（07年江西高考題理科）如圖3，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為．圖3解：因為O是BC的中點，故連接AO，如圖4，由向量加法的平行四邊形法則可知：圖3，圖4又三點共線，圖4由平面內三點共線定理可得：例5（廣東省2010屆高三六校第三次聯(lián)）如圖5所示：點是△的重心，、分別是邊、上的動點，且、、三點共線．設，，證明：是定值；利用平面內三點共線定理構造方程組求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本題的運算復雜，達到了簡化解題過程的效果。圖7例6的變式一：如圖7所示，在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN與CM相交于點P，且，，試用、表示圖7解：三點共線，由平面內三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù)x,y使得,AN﹕AC=1﹕4,……①又三點共線，由平面內三點共線定理可得：存在唯一的一對實數(shù),使得∵AM﹕AB=1﹕3∴，，……………②由①②兩式可得：圖8例6的變式二：如圖8所示：直線l過ABCD的兩條對角線AC與BD的交點O，與AD邊交于點N,與AB的延長線交于點M。又知＝m，＝n，則m＋n=圖8解：因為點O兩條對角線AC與BD的交點，所以點O為AC的中點＝m，＝n又三點共線，由平面內三點共線的向量式定理可得：定理的推廣：推廣1：如圖9所示：已知平面內一條直線AB,兩個不同的點O與P.圖9圖9使得：且。推廣2：如圖10所示：已知平面內一條直線AB,兩個不同的點O與P.圖10點O,P位于直線AB同側的充要條件是：存在唯一的一對實數(shù)x,y使得：且。圖10例7已知點P為所在平面內一點，且(),若點P落在的內部，如圖11,則實數(shù)t的取值范圍是（）B.C.D.圖11解：點P落在的內部A,P兩點在直線BC的同一側，圖11由推論2知：，所以選DABOM圖12例8（06年湖南高考題文科）如圖12：OM∥AB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界）.且，則實數(shù)對（xABOM圖12A．B.C.D.解：由題目的條件知：點O與點P在直線AB的同側，所以，所以A,D兩選項不符合。對于選項B、C,都有,但當時，①如果點P在直線AB上，則由平面內三點共線的向量式定理可知：②如果點P在直線OM上，OM∥AB可知：，由平面向理共線定理可知：存在唯一的實數(shù)t,使得，又因為點P在兩平行直線AB、OM之間，所以，故B選不符合。對選項C同理可知：當時，，故符合，所以選C例9（06年湖南高考題理科）如圖13,OM∥AB,點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(不含邊界)運動,且,當時,的取值范圍是.圖13解：當時，圖13①如果點P在直線AB上，則由平面內三點共線的向量式定理可知：②如果點P在直線OM上，OM∥AB可知：，由平面向理共線定理可知：存在唯一的實數(shù)t,使得，，又因為點P在兩平行直線AB、OM之間，所以，所以實數(shù)y的取值范圍是：練習：3.，點在邊上，，設，則（）1、平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C(x,y)滿足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，則x,y所滿足的關系式為（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=0已知是的邊上的任一點，且滿足，則的最小值是3、在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，E是BC邊的中點，連接DE交AC于點F。已知,則（）A．B．C．D．4、(2014屆東江中學高三年級理科第三次段考）在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于H，記eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分別為a、b，則eq\o(AH,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b D．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b5、（2008年廣東卷）在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（）A．B．C． D．6、在平行四邊形ABCD中，,CE與BF相交于點G,記，，則＝()A．B．