（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題3 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 20 與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)(1)導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用的深化；(2)創(chuàng)新能力、轉(zhuǎn)化思想的養(yǎng)成.訓(xùn)練題型(1)和導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新定義問題；(2)靈活利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題.解題策略(1)將題中信息轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，和導(dǎo)數(shù)知識(shí)相結(jié)合；(2)和導(dǎo)數(shù)f′(x)有關(guān)的不等式，可構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)的單調(diào)性.1．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x∈R，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為________．2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在(a，b)上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．3．若曲線f(x)＝acosx與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(diǎn)(0，m)處有公切線，則a＋b＝________.4．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，恒有xf′(x)<f(－x)，令F(x)＝xf(x)，則滿足F(3)>F(2x－1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．①eq\r(3)f(eq\f(π,4))>2f(eq\f(π,3))；②eq\r(3)f(eq\f(π,6))<f(eq\f(π,3))；③eq\r(2)f(eq\f(π,6))>f(eq\f(π,4))；④f(1)<2f(eq\f(π,6))sin1.5．(2015·深圳二調(diào))曲線y＝x(x＋1)(2－x)有兩條平行于直線y＝x的切線，則兩切線之間的距離是________．6．已知函數(shù)f(x)＝xlnk－klnx(k>1)的圖象不經(jīng)過第四象限，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋k的值域?yàn)開_______．7．如圖，在半徑為10eq\r(3)的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中A，B在直徑上，C，D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁與拼接損耗)，記圓柱形罐子的體積為V，設(shè)AD＝x，則Vmax＝________.8．(2015·湖北省八校高三第一次聯(lián)考)設(shè)定義在D上的函數(shù)y＝h(x)在點(diǎn)P(x0，h(x0))處的切線方程為l：y＝g(x)，當(dāng)x≠x0時(shí)，若eq\f(hx－gx,x－x0)>0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y＝h(x)的“類對(duì)稱點(diǎn)”，則f(x)＝x2－6x＋4lnx的“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是________．9．(2015·四川)已知函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)m＝eq\f(fx1－fx2,x1－x2)，n＝eq\f(gx1－gx2,x1－x2)，現(xiàn)有如下命題：①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m＞0；②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n＞0；③對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝n；④對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝－n.其中的真命題有________(寫出所有真命題的序號(hào))．10．若x0是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，同時(shí)也是其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的極值點(diǎn)，則稱x0是函數(shù)y＝f(x)的“致點(diǎn)”．(1)已知a>0，求函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋1)ex的極值和單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋1)ex是否有“致點(diǎn)”？若有，求出“致點(diǎn)”；若沒有，試說明理由．答案解析1．(－1，＋∞)2.23.14.②5.eq\f(16\r(2),27)6．[e，＋∞)7.eq\f(2000,π)解析設(shè)圓柱形罐子的底面半徑為r，則由題意得AB＝2eq\r(10\r(3)2－x2)＝2πr，所以r＝eq\f(\r(300－x2),π)，所以V＝πr2x＝π(eq\f(\r(300－x2),π))2x＝eq\f(1,π)(－x3＋300x)(0<x<10eq\r(3))，故V′＝－eq\f(3,π)(x2－100)＝－eq\f(3,π)(x＋10)(x－10)(0<x<10eq\r(3))．令V′＝0，得x＝10(負(fù)值舍去)，則V′，V隨x的變化情況如下表：x(0,10)10(10,10eq\r(3))V′＋0－V單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以當(dāng)x＝10時(shí)，V取得極大值，也是最大值，所以Vmax＝eq\f(2000,π).8.eq\r(2)解析由于f′(x)＝2x＋eq\f(4,x)－6，則在點(diǎn)P處切線的斜率k切＝f′(x0)＝2x0＋eq\f(4,x0)－6.所以切線方程為y＝g(x)＝(2x0＋eq\f(4,x0)－6)(x－x0)＋xeq\o\al(2,0)－6x0＋4lnx0＝(2x0＋eq\f(4,x0)－6)x－xeq\o\al(2,0)＋4lnx0－4.φ(x)＝f(x)－g(x)＝x2－6x＋4lnx－(2x0＋eq\f(4,x0)－6)(x－x0)－(xeq\o\al(2,0)－6x0＋4lnx0)，則φ(x0)＝0，φ′(x)＝2x＋eq\f(4,x)－6－(2x0＋eq\f(4,x0)－6)＝2(x－x0)(1－eq\f(2,x0x))＝eq\f(2,x)(x－x0)(x－eq\f(2,x0))．當(dāng)0<x0<eq\r(2)時(shí)，φ(x)在(x0，eq\f(2,x0))上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(x0，eq\f(2,x0))時(shí)，φ(x)<φ(x0)＝0.從而有x∈(x0，eq\f(2,x0))時(shí)，eq\f(φx,x－x0)<0；當(dāng)x0>eq\r(2)時(shí)，φ(x)在(eq\f(2,x0)，x0)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(eq\f(2,x0)，x0)時(shí)，φ(x)>φ(x0)＝0.從而有x∈(eq\f(2,x0)，x0)時(shí)，eq\f(φx,x－x0)<0；所以在(0，eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)上不存在“類對(duì)稱點(diǎn)”．當(dāng)x0＝eq\r(2)時(shí)，φ′(x)＝eq\f(2,x)(x－eq\r(2))2，所以φ(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故eq\f(φx,x－x0)>0.所以x＝eq\r(2)是一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．9．①④10．解(1)由已知得，f′(x)＝(x2＋ax＋1)ex＋ex(2x＋a)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋1]ex＝(x＋a＋1)(x＋1)ex.∵a>0，∴－a－1<－1.∴當(dāng)x∈(－∞，－a－1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－a－1，－1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－a－1)和(－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－a－1，－1)．且當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)有極小值(2－a)e－1，當(dāng)x＝－a－1時(shí)，f(x)有極大值(a＋2)e－a－1.(2)由(1)知，f′(x)＝(x＋a＋1)(x＋1)ex，令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝[x2＋(a＋4)x＋2a＋3]ex.假設(shè)f(x)有“致點(diǎn)”x0，則x0首先應(yīng)是f(x)的極值點(diǎn)，即f′(x0)＝0，∴x0＝－1或x0＝－a－1.當(dāng)a＝0時(shí)，－a－1＝－1，此時(shí)f′(x)≥0恒成立，f(x)無極值．∴要使f(x)有極值，須a≠0.若x0