數(shù)學(xué)北師大版必修3課時(shí)作業(yè)1-8最小二乘估計(jì)

課時(shí)作業(yè)10最小二乘估計(jì)時(shí)間：45分鐘滿分：100分——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題(每小題5分，共40分)1．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其線性回歸方程是y＝eq\f(1,3)x＋a，且x1＋x2＋…＋x8＝2(y1＋y2＋…＋y8)＝6，則實(shí)數(shù)a的值是(B)A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：由題意易知eq\x\to(x)＝eq\f(3,4)，eq\x\to(y)＝eq\f(3,8)，代入線性回歸方程得a＝eq\f(1,8).2．四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得線性回歸方程，得到以下四個(gè)結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且y＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且y＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且y＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論序號(hào)是(D)A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①中y與x負(fù)相關(guān)而斜率為正，不正確；④中y與x正相關(guān)而斜率為負(fù)，不正確．故選D.3．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得線性回歸方程可能為(A)A．y＝0.4x＋2.3B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5D．y＝－0.3x＋4.4解析：因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上，把點(diǎn)(3,3.5)的坐標(biāo)分別代入選項(xiàng)A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可以排除B，故選A.4．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為y＝bx＋a，則(B)A．a(chǎn)>0，b>0B．a(chǎn)>0，b<0C．a(chǎn)<0，b>0D．a(chǎn)<0，b<0解析：作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖像可知，回歸直線y＝bx＋a的斜率b<0，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝a>0.故a>0，b<0.5．工人月工資y(元)依勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)變化的回歸方程為y＝50＋80x，下列判斷正確的是(B)A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為130元B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元，則工資平均提高80元C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元，則工資平均提高130元D．當(dāng)月工資為210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元解析：工人月工資y(元)與勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)變化的回歸方程為y＝50＋80x，回歸系數(shù)b＝80為正，故當(dāng)勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1(千元)時(shí)，則工資平均提高80元．6．變量x，y的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)為：(3,10)，(7,20)，(11,24)，則y關(guān)于x的線性回歸方程為(B)A．y＝1.75x－5.75 B．y＝1.75x＋5.75C．y＝－1.75x＋5.75 D．y＝－1.75x－5.75解析：方法1：設(shè)線性回歸方程為y＝bx＋a，則eq\x\to(x)＝eq\f(1,3)×(3＋7＋11)＝7，eq\x\to(y)＝eq\f(1,3)×(10＋20＋24)＝18，b＝eq\f(3×10＋7×20＋11×24－3×7×18,32＋72＋112－3×72)＝1.75，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝18－1.75×7＝5.75.故y＝1.75x＋5.75，故選B.方法2：由數(shù)據(jù)知，兩個(gè)變量正相關(guān)，從而排除C，D，計(jì)算得樣本點(diǎn)的中心為(7,18)，檢驗(yàn)可知應(yīng)選B.7．為了考察兩個(gè)變量x與y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做10次和15次實(shí)驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2，已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說法正確的是(C)A．l1和l2必定平行B．l1和l2必定重合C．l1和l2有交點(diǎn)(s，t)D．l1和l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t)解析：回歸直線經(jīng)過樣本的中心點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．8．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為y＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(D)A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg解析：本題主要考查線性相關(guān)及回歸方程．D選項(xiàng)斷定其體重必為58.79kg不正確．注意回歸方程只能說“約”“大體”而不能說“一定”“必”．二、填空題(每小題5分，共15分)9．某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程y＝bx＋a中b＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為68.解析：eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，則a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝40＋2×10＝60，則y＝－2x＋60，則當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝－2×(－4)＋60＝68.10．由一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x20，y20)得eq\x\to(x)＝1，eq\x\to(y)＝2，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,20)＝29，x1y1＋x2y2＋…＋x20y20＝54，則線性回歸方程是y＝1.56x＋0.44.解析：代入公式b＝eq\f(x1y1＋x2y2＋…＋x20y20－20\x\to(x)\x\to(y),x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,20)－20\a\vs4\al(\x\to(x))2)＝eq\f(54－20×1×2,29－20×12)＝eq\f(14,9)≈1.56.a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝2－1.56×1＝0.44.則所求線性回歸方程是y＝1.56x＋0.44.11．某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為185cm.解析：本題考查線性回歸方程以及回歸分析的意義，求出數(shù)據(jù)代入公式即可．設(shè)兒子身高y與父親身高x有關(guān)系，列表如下：父親x173170176兒子y170176182∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,3)(173＋170＋176)＝173，eq\x\to(y)＝eq\f(1,3)(170＋176＋182)＝176，eq\i\su(i＝1,3,x)iyi＝173×170＋170×176＋176×182＝91362，eq\i\su(i＝1,3,x)eq\o\al(2,i)＝1732＋1702＋1762＝89805，∴b＝eq\f(91362－3×173×176,89805－3×1732)＝1，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝176－173＝3∴回歸直線方程為y＝x＋3，∴x＝182時(shí)，y＝182＋3＝185(cm)．三、解答題(共25分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)12．(12分)李軍為了研究某種細(xì)菌個(gè)數(shù)y(個(gè))隨溫度x(℃)變化的關(guān)系，收集有關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：x/℃1416182022y/個(gè)1210753(1)畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求細(xì)菌個(gè)數(shù)y關(guān)于溫度x的線性回歸方程．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由圖可知，y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．eq\x\to(x)＝eq\f(14＋16＋18＋20＋22,5)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(12＋10＋7＋5＋3,5)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，則b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(620－5×18×7.4,1660－5×182)＝－eq\f(46,40)＝－1.15，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以線性回歸方程為y＝28.1－1.15x.13．(13分)2019年元旦前夕，某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了該市2019年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：(1)如果已知y與x是線性相關(guān)的，求回歸方程；(2)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測(cè)其年飲食支出．(參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝117.7，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝406)解：(1)依題意可計(jì)算得：eq\x\to(x)＝6，eq\x\to(y)＝1.83，eq\a\vs4\al(\x\to(x))2＝36，eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝10.98，又∵eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝117.7，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝406，∴b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\a\vs4\al(\x\to(x))2)≈0.17，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝0.81，∴y＝0.17x＋0.81.∴所求的回歸方程為y＝0.17x＋0.81.(2)當(dāng)x＝9時(shí)，y＝0.17×9＋0.81＝2.34(萬元)．可估計(jì)大多數(shù)年收入為9萬元的家庭每年飲食支出約為2.34萬元．——能力提升類——14．(5分)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y＝bx＋a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是(C)A．b>b′，a>a′B．b>b′，a<a′C．b<b′，a>a′D．b<b′，a<a′解析：法1：由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y＝2x－2，故b′＝2，a′＝－2.而利用線性回歸方程回歸系數(shù)b，a的計(jì)算公式與已知表格中的數(shù)據(jù)，可求得b＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\to(x)·\x\to(y),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\a\vs4\al(\x\to(x))2)＝eq\f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2)＝eq\f(5,7)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，所以b<b′，a>a′.法2：根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖(如圖所示)直接判斷，斜率b′>b，截距a>a′.15．(15分)某工廠在一年中每月總成本y(單位：萬元)與該月總產(chǎn)量x(單位：萬件)有如下一組數(shù)據(jù)：(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求月總成本y對(duì)月產(chǎn)量x的線性回歸方程；(3)試預(yù)測(cè)該工廠月總產(chǎn)量為20000件時(shí)的總成本．(注：eq\i\su(i＝1,12,x)eq\o\al(2,i)＝29.808，eq\i\su(i＝1,12,x)iyi＝54.676)．解：(1)略(2)eq\x\to(x)≈1.542，eq\x\to(y)≈2.88