可壓縮性流體一元穩(wěn)定流動基本理論

1.5可壓縮性流體

一元穩(wěn)定流動基本理論

1.5.1絕熱流動的全能量方程及其應用

1.5.1.1全能量方程為了導出全能（量）方程，首先研究氣流流管的運動，如圖所示，取微元流管的軸線s與x軸重合，則分速度vy=0,vz=0,vs=vx=v，又單位質量力以X=Ws表示。由歐拉運動微分方程式，可寫出一元流動的歐拉運動微分方程為：

對于穩(wěn)定流動，上式可寫成：因氣體體積密度很小，在氣體動力學中忽略質量力，則上式可寫成：

或

（1）上式確定了壓力、密度（或重度）及速度之間的函數關系。它是歐拉導出的，故稱為歐拉運動微分方程，也稱為微分形式的伯努利方程。將式（1）積分，則得：（常數）（2）對于不可壓縮流體，為定值，則(2)式為:

(3)(3)式說明，不可壓縮流體沿流程各個斷面上，單位質量流體的壓力能與動能之和均相等。同時表明，不可壓縮流體在不計位能時，只有壓力能和動能兩種能量。對于壓縮性流體，可根據氣體狀態(tài)變化過程，來確定與之間的函數關系。對于絕熱過程，與之間服從函數關系：或（4）

將此函數關系代入積分項，則得所以式（2）可寫成（常數）此式即為絕熱流動的全能方程，亦稱為絕熱流動的柏努利方程。它與不可壓縮的式（3）相比較，由于絕熱變化而使壓力能增大倍。對于空氣k=1.4，則＝3.5倍。所謂全能方程，是指能量中包括氣體的內能e。為此將上式改寫成如下形式（6）此式與不可壓縮流體的式（3）相比較，清楚表明，可壓縮流體絕熱運動中單位質量氣體所具有的內能e，即（7）由熱力學第一定律知道，理想氣體的內能與定容熱容Cv和溫度T之間，具有如下關系借助于理想氣體的狀態(tài)方程，則有。又因為單位質量氣體常數R’與定壓熱容Cp、Cv之間的關系為

R’=Cp－Cv；Cp/Cv=k由上述關系可證明：所以，全能方程的能量含義是：絕熱流動中，任一斷面上單位質量氣體所具有的壓力能、動能與內能之和為一常數?；蛘哒f三種能量之間可以互相轉化，但其和則保持不變。對于任意1，2兩斷面來說，絕熱的全能方程為

(8)或絕熱指數決定于氣體分子結構：單原子氣體（k=1.66），雙原子氣體、包括空氣（k=1.4），多原子氣體、包括過熱蒸汽（k=1.33），飽和蒸汽（k=1.135）。如果將空氣的k=1.4，，代入式（5），則得空氣的絕熱流動全能方程為

(9)

1.5.1.2

用焓表示的全能方程在氣體動力學中，常用焓為參數來表示全能方程。從熱力學中知道，壓力能與內能之和為焓，即(10)因為理想氣體的焓與定壓比熱及絕對溫度T之間，具有如下關系再借助于理想氣體狀態(tài)方程，及

和根據這些關系可證明：

所以，用焓表示的全能方程為

(11)

如果將用溫度T表示時，則上式為或寫成

(12)上式說明氣體（可壓縮）流動與不可壓縮液體流動，有顯著區(qū)別：在不可壓縮液流中，只有存在熱交換才能引起液體溫度的改變，而有效斷面變化所造成的速度改變，并不引起液體溫度的改變；但在可壓縮氣流中則不然，其溫度隨流速變化而改變，如式（12）所示，當流速v小時，則溫度T較高，而當v增大時，則T便降低。例如高壓氣體經管道流入背壓較低的空間，由于壓差很大，管中流速很高，因此氣流溫度便顯著下降，所以管道表面常出現結霜現象，其實質原因就在這里。1.5.2音速

1.5.2.1音速聲音的來源是由于物體振動。當物體在可壓縮介質中振動時，這種振動便引起介質的壓力和密度的微弱變化，通常稱之為介質的微弱擾動或弱壓力波。這種擾動在介質中依次傳遞下去，就是聲音的傳播過程。因而，音速:是指微弱擾動在可壓縮介質中的傳播速度?，F在來推導音速公式，如圖（a）所示，在充滿靜止氣體的直管一端，有一面積為A的活塞。當活塞靜止時，管中靜止氣體的壓力和密度分別為p和ρ；當使活塞以微小速度u向前運動時，而依次壓縮其前部的氣體，經過t時間后見圖（b），這種壓縮的傳播在管中形成一個擾動面m-n(或稱擾動波頭)，其推進速度即為音速a，擾動后的壓力增量為dp、密度增量為dρ；圖（c）為經過時間t+dt后的情況。按上圖所示情況，根據質量守恒和動量原理，來推導音速公式：（1）質量守恒：在dt時間內，波頭m-n所擾動掠過的靜止氣體的質量為。在dt時間后這部分質量由于擾動而被壓縮，其密度為，其體積為，故質量為，根據質量守恒則必須，由此可得(1)（2）動量守恒：由于質量在時間dt前是靜止的，因而其運動速度u=0，但在時間dt后，由于活塞的移動而被壓縮成，同時開始獲得與活塞運動相同的速度u。這塊氣體其內側壓力為，而外側為靜止氣體其壓力為。根據動量原理Ft=m(u2-u1)，有：簡化得：由式①及②消去u，可得(2)由于微弱擾動，為極小值，故與1相比則為高階微量，故可略去，于是音速公式可表示為上式表明，音速a決定于，其物理意義是：單位密度改變所需要的壓強改變，此壓強改變愈小，即音速a愈小，則說明氣體是容易壓縮的，反之音速a愈大，則不容易壓縮。因此，音速可以作為一種表征流體壓縮性的指標。

（3）在實際應用中，必須根據氣體狀態(tài)變化過程所服從的狀態(tài)參數關系，來確定其音速。例如絕熱過程，則，所以絕熱過程的音速：或（5）由上兩式可以看出，氣體的音速決定于壓力與密度的比值，即決定于開爾文溫度。因此絕熱過程空氣中的音速公式為：在海平面上（常指地球表面），15℃時空氣中音速為：（4）（6）1.5.2.2滯止參數滯止參數：介質處于靜止（如貯氣罐中的氣體）或滯止（如氣體撞于壁面或皮托管口上）時，其速度v＝0

的參數，稱為滯止參數，一般以等來表示。若斷面1－1是在容器內，則各參數為滯止參數；斷面2－2代表容器所連接管道上任一斷面（去掉下腳標2）。則式（7）變?yōu)椋?/p>

式中：稱為滯止介質音速；

稱為流動介質音速或當地音速。（7）從上式可以看出，對于滯止參數為定值情況下，空氣中音速（即當地音速）的大小取決于氣流速度v（即當地速度）。當氣流速度沿流動方向增大時，氣流溫度T必下降，因而當地音速必減小。由于當地速度

v

的存在，在同一系統(tǒng)中當地音速總是小于滯止音速的。1.5.2.3馬赫數及參數比基于上述，氣流速度v若大，則當地音速便減小，從音速物理意義知，音速a

越小則流體越容易壓縮。這就是說：氣流速度v越大時，則壓縮現象便越顯著。馬赫首先將影響壓縮效果的v與a兩個物理量聯(lián)系了起來，取v與a之比的無量綱數，并以Ma表示，即

Ma

=

馬赫數Ma：是指擾動源（氣流）的運動速度與當地音速的比值。

Ma<1的流動稱為亞音速流動；

Ma=1的流動稱為等音速流動；

Ma>1的流動稱為超音速流動。Ma<1的流動稱為亞音速流動；Ma=1的流動稱為等音速流動；Ma>1的流動稱為超音速流動。馬赫錐，馬赫角α。利用（7）式的第二式，可以求出溫度比為借助于理想氣體狀態(tài)方程和絕熱方程，經過演算后，可得即有（8）（9）于是可得各參數比與馬赫數的關系為：上式表示了各參數比，都是馬赫數Ma的函數。顯然，隨Ma數的增大（即氣流速度v增大），則氣流的溫度T、壓強p和密度便減小。因此可以說Ma數是判斷壓縮性影響程度的指標。（10）1.5.3氣流參數與流通截面的關系，臨界參數1.5.3.1氣流速度與斷面關系從連續(xù)性方程知道，不可壓縮流體沿管道流動時，其速度與斷面積成反比。但在可壓縮氣流中，速度與面積之間存在什么關系？這就是我們將要研究的內容。

將已求得的連續(xù)性方程vA=C（常數）微分，則得v/a=Ma由：得：對上式進行分析，可得出下列重要結論：(1)若Ma<1，即v<a為亞音速流動。這時（Ma2-1）<0，則dv與dA符號相反。這表明，氣體作亞音速流動時，速度與斷面成反比變化關系，即速度隨斷面的增大而減小，隨斷面的減小而增大。這與不可壓縮流體的運動規(guī)律是一致的（如圖a所示）。

(2)若Ma>1，即v>a為超音速流動。這時（Ma2-1）>0，則dv與dA符號相同。這表明，氣體作超音速流動時，速度與斷面成正比變化關系，即速度隨斷面的減小而減小，隨斷面的增大而增大（如圖b所示）。

這種速度與斷面成正比變化規(guī)律，是超音速流動同亞音速流動的原則性區(qū)別。這兩種截然相反的規(guī)律，是可壓縮流體在兩種流動中，其膨脹程度與速度變化之間，具有不同規(guī)律所造成的。下面來闡明一下這個道理：1.5.3.2密度與速度的關系由、音速公式及Ma數關系，可導出：對上式進行分析，可得如下重要物理概念：1）當Ma<1

時，Ma2遠遠小于1，則上式表明密度的相對變化（d）遠遠小于速度的相對變化（dv/v），即密度變化比速度變化來的慢。上式中負號是表明d與dv符號相反，即兩者成反變化關系，速度增大密度減小。2）當Ma>1

時，Ma2遠遠大于1，則上式表明密度的相對變化（d

）遠遠大于速度的相對變化（dv/v），即密度變化比速度變化來的快?？梢?，在密度相對變化的特性上，超音速與亞音速有著顯著的差別。1.5.3.3速度與單位面積質量流量的關系就單位面積的質量流量（v）來說，其微分為：所以，單位面積的質量流量的相對變化，則為：將密度變化與速度變化關系式代入，可得：對此式進行討論，可得如下結論：當Ma<1時，（1-Ma2）>0，則與dv符號相同，隨v的增大而增大，隨v的降低而減小。因此當時，，根據連續(xù)性程，則必有A1>A2。所以亞音速流動中速度與斷面成反比變化。當Ma>1時，（1-Ma2）<0，則與dv符號相反，隨v的增大而減小，隨v的減小而增大。因此，當時，；根據連續(xù)性方程，則必有A1<A2。所以超音速流動中速度與斷面成正比變化。

綜上所述，超音速流動中速度與斷面成正比變化關系，是由于密度的變化比速度的變化來得快，或者說流體的膨脹程度變得非常顯著這一物理實質所決定的。為了對比地了解超音速與亞音速流動的原則性區(qū)別，根據上述分析，將A、v、p、及等與M數之間的關系，用圖表來說明，如下表所示。

1.5.3.4臨界參數

（1）臨界參數的定義

由于在Ma=1的斷面上氣流速度等于當地音速，即，ve稱為氣流的臨界速度，ae稱為臨界音速。

發(fā)生臨界音速的斷面稱為臨界斷面，即dA=0的斷面A為臨界斷面，以Ae表示之。臨界斷面上的各種參數，稱為臨界參數，均以腳標e表示，如臨界壓力為pe，臨界溫度和密度分別為Te，等。

從數學概念來說，臨界斷面的微分dA=0，可以是極小斷面，也可以是極大斷面。下面我們證明，速度等于音速不可能在最大斷面上達到，即臨界斷面只能是最小斷面。如果氣流以超音速v>a流入擴張管道見圖a，由于斷面擴大，氣流膨脹流速增大。因此速度仍為超音速，且越來越大。這說明不會出現音速，也就不可能有最大臨界斷面；反之，如果氣流以亞音速v<a流入擴張管道見圖b，由于斷面的擴大而使流速降低。因此速度仍為亞音速，永遠不會達到音速。這就證明了臨界斷面只能是最小斷面。

根據分析：對于初始斷面為亞音速的一股收縮形氣流（見圖a），不可能得到超音速流動，最多是在收縮管出口斷面上達到音速。因為在收縮管中間斷面上不可能有dA=0的最小斷面。

為了得到超音速氣流，可使亞音速氣流流經收縮管，并使其在最小斷面上達到音速，然后再進入擴張管，滿足氣流的進一步膨脹增速，便可獲得超音速氣流。

這就確定了從亞音速獲得超音速的噴管（見圖b），此種噴管為拉伐爾（Laval）首先采用，故稱為拉伐爾噴管。在圖c上表示了沿拉伐爾管長度方向上，斷面A、速度v、壓力p的變化特性。

（2）臨界參數比

在臨界斷面上馬赫數Ma=1，代入式（10）中可得各臨界參數與滯止參數之比為：(11)上式表明，臨界參數只與氣體絕熱指數及滯止參數有關。對于空氣k=1.4，代入上式則有：

Te=0.834T0

pe=0.528p0

=0.634

ae=0.915a01.5.4

高壓氣體經管嘴與拉伐爾噴管的流動布袋除塵器中的反吹噴嘴、吹芯機中的吹砂孔以及氣體噴射泵的工作噴管等，都是高壓氣體經收縮管嘴、孔口以及拉伐爾噴管的流動問題。

1.5.4.1高壓氣體經管嘴或孔口的流動

如圖所示，容器尺寸比管嘴或孔口的口徑大得多，故可以認為v0=0，即容器中氣體處于滯止狀態(tài)，其參數以p0，，T0，a0等表示。高壓氣體是經過斷面積為A的出口，流到參數為p，，T的外部介質中。

經管嘴或孔口流動的氣體動力學問題，有下述兩種情況：（1）在滯止參數、外部介質參數以及出口斷面積已知時，計算出口速度v和質量流量Qm；（校核）（2）在滯止及外部介質參數已知條件下，按所需要的質量流量，來設計出口尺寸。（設計）在這類問題中流速較高，遠遠大于熱量的傳遞速度，所以均按絕熱過程處理。

列容器中和出口兩斷面的全能量方程：

注意到的關系，可得出口速度為

或式中稱為壓強比。上式表明，出口速度只決定于滯止參數p0，ρ0

（或T0）以及外部介質壓強p。

計算質量流量時，依

并將出口速度及密度代入，則得出口面積為：

在實際應用中，考慮到阻力影響，則應以流量系數修正。所以實際的質量流量公式為：當滯止參數、外界壓力（p）以及出口面積（A）已知時，由上面公式可算出速度和質量流量。也可根據已知參數計算出口面積。需要指出的是：速度、質量流量及出口面積的公式在下列條件下才能適用于計算：

對于空氣：即：對于過熱蒸汽：即：

下面闡明這個條件的道理：(1)當壓力比時，可知v=0,Qm=0,這是因為即容器內外壓強相等，顯然是不能產生流動的。因此當不等于零時，必須滿足,即p<p0的條件。但由上面計算公式可看出，v是隨的減小而增大；而Qm卻是隨的增大而增大，實際上因為絕熱指數k是永遠大于1的，故壓強比的指數必為這在的條件下，則。結果說明是隨的減小而增大，即Qm隨的減小而增大。所以Qm達到最大值Qmmax的數學條件，可寫成=0，即有質量流量與壓強比的關系曲線，如圖所示，Qmmax發(fā)生在處；對于空氣則為。(2)當壓強比時，即p=0（絕對真空），這時出口速度v達到最大值，但Qm卻為零。這表明壓強比在范圍中，v與Qm的關系是矛盾的，也就是說上述三個公式，在這一壓力比范圍內是不能用于計算的，而只能在范圍內適合計算。但在范圍內，流量和流速究竟如何呢？這是一個得要概念問題：因為外部介質壓強p（即背壓）的變化，對噴嘴出口的影響是以音速傳播的，當出口已達到音速而噴出氣體時，壓力p<pe或p=0的減小變化，不能傳播到出口處面上。因而產生流速和流量的壓強差，始終是。所以在的范圍中，出口速度仍為音速，質量流量Qm一直保持其最大值，如圖中水平線所示。而p<pe的情況，只是使氣流在出口外部進行膨脹而已。1.5.4.2高壓氣體經拉伐爾噴管的流動

拉伐爾噴管是由收縮段、喉管（即臨界斷面）及擴張段三部分所組成。它是使氣流從亞音速到超音速的一種噴管。拉伐爾管在燃氣輪機、噴氣技術以及氣體噴射泵等方面有著廣泛的應用。我們主要研究拉伐爾噴管中氣流運動參數之間的理論關系，為分析計算提供初步的理論基礎。（1）氣流速度拉伐爾噴管中的流動屬于高速運動，故按照絕熱流動處理。如圖所示，列出噴管出口和容器內兩斷面的全能方程為：出口速度：

上式是理論的速度公式。對于實際速度則應該以速度系數來修正公式。即

值由實驗確定。上二式的速度公式是以臨界音速及壓力比p/p0表示的形式，在分析氣體噴射泵的有關問題中，常用這種形式的公式，使問題便于處理。

在喉部即臨界斷面上，壓強為臨界壓強