2023年高考數(shù)學(xué)客觀題四 概率與統(tǒng)計

專題四概率與統(tǒng)計

【考試內(nèi)容】變量的相關(guān)性;回歸分析;獨立性檢驗;古典概型;互

斥事件的概率加法公式;幾何概型;概率統(tǒng)計初步綜合問題

【近7年全國卷考點統(tǒng)計】

試卷類型2016201720182019202020212022

全國卷（甲語一51051010510

全國卷（乙卷）5105551015

新高考全國I名一105

新高考全國∏至^1010

重要考點回顧

一、二種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)別

類別共同點不同點相互聯(lián)系適用范圍

簡單隨總體中個

從總體中逐個抽取

機(jī)抽樣

都是等體比較少

概率抽

樣將總體分成若干層,在各層抽樣時采總體中個

分層抽

按個體個數(shù)的比例用簡單隨機(jī)抽樣體有明顯

樣

抽取或系統(tǒng)抽樣差異

L從含有N個個體的總體中抽取含〃個個體的樣本,每個個體被

抽到的概率^

12,分層抽樣的步驟：

]⑴分層；

](2)按比例確定每層抽取個體的個數(shù);^^^^^^^^^

](3)各層抽樣；

](4)匯合成樣本,

13,要懂得從圖表中提取有用信息

如:在頻率分布直方圖中,①小矩形的面積=組距X舞=頻率;

組距

②眾數(shù)是最高矩形的中點的橫坐標(biāo);③中位數(shù)的左邊與右邊的直

方圖的面積相等,可以由此估計中位數(shù)的值.

二、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

IL眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為眾數(shù),

I在頻率分布直方圖中用面積最大的矩形的橫軸中點對應(yīng)的數(shù)

來估計眾數(shù),（最高矩形的橫坐標(biāo)中點）

I2.中位數(shù):在按大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中,當(dāng)一組數(shù)據(jù)有奇

數(shù)個時,居于中間的數(shù)稱為中位數(shù);當(dāng)一組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時,居于

中間兩數(shù)的平均數(shù)稱為中位數(shù)

I在頻率分布直方圖中,是用使圖形左右兩邊面積相等的與橫

軸垂直的直線所對應(yīng)的橫坐標(biāo)來估計中位數(shù).

3.平均數(shù):是指一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).

I在頻率分布直方圖中,利用每個小矩形的面積乘以小矩形底邊

中點的橫坐標(biāo)之和來估計平均數(shù)

平均數(shù)計算公式:%=Xi%+???+Z

4.極差:在一組數(shù)據(jù)中,最大值與最小值的差.

5.標(biāo)準(zhǔn)差:標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般

用S表示,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的

6.方差:在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣

的,但在解決實際問題時,一般多采用標(biāo)準(zhǔn)卷_I

樣本方差計算公式:.二（μF）?+（/F）2+???+區(qū)F）?I

Tl

7.第P百分位數(shù):一般地,一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)是這樣一個

值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至

少有(IOo-P)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

I第P百分位數(shù)的求解步驟:

I第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù);

I第2步,計算iκ?p%;

H第3步,若，不是整數(shù),而大于，的比鄰整數(shù)為7,則第P百分位數(shù)為

第/項數(shù)據(jù)；

若，是整數(shù),則第P百分位數(shù)為第，項與第(，+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

三、事件的關(guān)系和運算

事件的關(guān)系和運算含義符號表示

包含A發(fā)生導(dǎo)致5發(fā)生AQB

并事件（和事件）A與5至少一個發(fā)生AUB或A+B

交事件（積事件）A與5同時發(fā)生A∩5或A5

互斥（互不相容）A與JB不能同時發(fā)生A∩B=0

互為對立A與3有且僅有一個發(fā)生A∩B=0,AUB=β

四、古典概型和幾何概型的概率

IL古典概型的解題步驟

I（1）求出總的基本事件數(shù)；

I（2）求出事件A所包含的基本事件數(shù),然后利用公式

IA包含的基本事件數(shù)

（）一總的基本事件數(shù)

2.幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

I（1）幾何概率模型:如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件

區(qū)域的長度（面積或體積）成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概

率模型;

］（2）幾何概型的概率公式：

I尸（八）二構(gòu)成時間確區(qū)域長度（面積或體積）I

（）一試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）；

幾何概型的特點：

①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個;

②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

五、兩個變量的線性相關(guān)

I1.兩個相關(guān)變量數(shù)據(jù)的散點圖,會利用散點圖認(rèn)識變量的相關(guān)

關(guān)系

12.求回歸直線方程：

n__〃___

∑（七一%）（y-V）∑x》一rixy

1

Λb=工--------------=且----------

22

,其中f（χ,Ftxi-nχ

z=li=l

a=y-bx

注意:線性回歸直線經(jīng)過定點（%5）

3.相關(guān)系數(shù)

Jln

∑(%—χ)(y—y)∑(%—X)(X—y)

Z=I_z=l

〃/2Inπ

∑(^?-χ)2?∑(z?-?J(∑^?2-^χ2)(∑χ2=”b

Z=Ii=?VZ=Ii=l

仍SL且仍越接近于1,相關(guān)程度越大;川越接近于0,相關(guān)程度越小.

六、獨立性檢驗（分類變量關(guān)系）

I獨立性檢驗

I為了研究事件X與Y的關(guān)系,經(jīng)調(diào)查得到一張2X2列聯(lián)表,如下

表所示

匕_____%合計

Xlaba+b

X?cdc+d

合計a+cb+dn-a+b+c+d

統(tǒng)計中有一個有用的(讀做“卡方”)統(tǒng)計量,它的表達(dá)式是：

K?=k=H(ad-bc)2

(α+b)(c+d)(a+C)S+d)

I經(jīng)過對統(tǒng)計量分布的研究,已經(jīng)得到了兩個臨界值3841與I

6.635.

I當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的Q3.841時,有95%的把握說事件A與

I當(dāng)Q6.635時,有99%的把握說事件A與5有關(guān):

當(dāng)上≤3.841時,認(rèn)為事件4?B是無關(guān)的.

【規(guī)律總結(jié)】獨立性檢驗解題的步驟為：

第一步,提出假設(shè)4：兩個分類變量I和∏沒有關(guān)系;

第二步,根據(jù)2X2列聯(lián)表和公式計算蜉統(tǒng)計量；■

第三步,查對臨界值表,作出判斷.

P(K2Nk)0.500.400.250.150.10

k0.4550.7081.3232.0722.706

0.050.0250.0100.005QOol

k3.8415.0246.6357.8791Q828

七、離散型隨機(jī)變量的分布列

1.離散型隨機(jī)變量:隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)

變量,所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量.

2.一般地,若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為XB2,……，

為，

X取每一個值/(，=1,2,…川的概率P(X=Xj)=P”則稱表

X/2??????當(dāng)

尸??????

0P2PiPrI

為離散型隨機(jī)變量X的概率分用列,簡稱為X的分布列,具有如

下性質(zhì)：①R≥0,∕=12…,耳②￡P(guān),=L

離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍

內(nèi)各個值的概率之和.

3.兩點分布:如果隨機(jī)變量X的分布列為

X■0?1

P■

LPP

其中O<p<l,則稱離散型隨機(jī)變量X服從兩點分布.

其中P=P(X=I)稱為成功概率.

4.超幾何分布:一般地在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取〃件,

其中恰有1件次品,則P（X=Q=@|聲（D,1,2,…X）,其中

m=min{M,"},且〃SN,MSN,〃,M,N￡N*.

稱分布列

]

X0???m

「0X?r/7—0/?lz?/i-1「n-m

.MLN—MLMLN—M.MLN-M

???

IPI品禺瑪

為超幾何分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列,則

稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

八、二項分布及其應(yīng)用

11.條件概率及其性質(zhì)

⑴條件概率:對于兩個事件A和民稱P(5∣A)=?，P(A)>0為

P(A)

在事件A發(fā)生的條件下,事件5發(fā)生的條件概率.其中:尸(5|A)讀作A

發(fā)生的條件下3發(fā)生的概率,

在古典概型中,若用〃(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，

.∏(AB)

貝rtUpeBlA)=1J.

〃(A)

(2)條件概率的性質(zhì)

①OSP(HIA閆；

②如果5和。是兩個互斥事件,則P(5UC∣A)=尸(5∣A)+P(C∣A).

2.事件的相互獨立:設(shè)事件AA若事件A的發(fā)生與事件5的發(fā)生

互不影響,則稱事件A與3相互獨立.即:P(AB)=P(A)P(5).

I3.全概率公式:一般地,設(shè)AiAn…,A〃是一組兩兩互斥的事件，

AIUA2U...UA=O,且P(Ai)>0∕=l,2,…九則對任意的事件310,

n

有P(B)=∑P(Ai)P(B?Ai).

i=l

I4.貝葉斯公式:設(shè)A1,A2,...A是一組兩兩互斥的事件AUA2U

...U4=0,且尸(4)>0/=12…八則對任意的事件BG0∕(5)>0有

P(A^P(B?A^尸(?i)尸(?∣"i)

=

P(??B)-XP(4QP(B∣4Q∕=12?.?,〃.

1=1

5.獨立重復(fù)試驗與二項分布

(1)〃次獨立重復(fù)試驗:一般地,在相同條件下重復(fù)做的〃次試驗.

即：

P(AIA2..4尸P(Al)P(A2)...P(A)其中A,?g1,2.??,")是第，次試

驗的結(jié)果；

(2)二項分布:一般地在〃次獨立重復(fù)試驗中,用X表示事件A發(fā)

生的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為，那么在〃次獨立重

復(fù)試驗中,事件A恰好發(fā)生上次的概率為P(X=女尸1力)〃力

Z二(M2…兒此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布,記為X?并稱P

為成功概率；

(3)若隨機(jī)變量X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=P(I-P);

(4)若X?8XP),則E(X)二叩Q(X)二叩(I-P).

6.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X?i????Xi???

PPl〃2???Pi???Pn

⑴均值:稱E(X)=XiPi+x卯2+???+%0+…+x血2為隨機(jī)變量X的均

值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平；

n

(2)方差:稱。(X)=?5-￡(X))2p,為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫了

隨機(jī)變量X與其均值"X)的平均偏離程度,并稱其算術(shù)平方根向石

為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差;

](3)均值與方差的性質(zhì)：

①E(αX+6)=QE(X)+"②。(QX+6)=Q2JD(X)；(Q乃為常數(shù))

7.正態(tài)分布

(1)正態(tài)曲線:若概率密度曲線就是(或近似地是)函數(shù)

[(A〃)2

9,(T(X)=-^^e2,,χ∈(-oo,+oo)的圖象,其中實數(shù)〃,cr(o>0)是參數(shù)

y]2πσ

稱心,式元)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線；

I(2)正態(tài)曲線的特點

I①曲線位于X軸上方,與X軸不相交；

②曲線是單峰的,它關(guān)于直線X=〃對稱；

1

③曲線在X=〃處達(dá)到峰值Cr病;

I④曲線與X軸之間的面積為1;

I⑤當(dāng)。一定時,曲線的位置由〃確定,曲線隨著〃的變化而沿?zé)o軸平

移,如圖甲所不；

⑥當(dāng)〃一定時,曲線的形狀由。確定與越小,曲線越“瘦高”,表示

總體的分布越集中;。越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,

⑶正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值:

(DP(∕∕-σ<^?∕+σ)≈0.6826;

(2)P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈Q.9544;

(3)PQ∕-3σ<?+3σ)≈0.9974.

考點訓(xùn)練

L從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球,則所取的3個球中

至少有1個白球的概率為()

A??B??c?iD??

［答案］D

【3析】設(shè)3個紅球分別為A142^3,2個白球分別為印,現(xiàn)則從

袋中任取3個球的所有可能為:(Al,A2,A3),(A32,31),(Al/3fl),

(A2,A3,βl),(AlΛ2,B2),(Al,A3,B2),(A2√L3,B2),(Al,Bl,B2),

(A2,m,52),(A3,51,52)共10種,

設(shè)“所取3個球中至少有1個白球的事件”為M則M含有基本事件

(A1,A2,B1),(A1√43,B1),(A2,A3,B1),(A142,B2),(A1Λ3,B2),(A2,A3,B

2),(ALB1,32),(A2,51,52),(A3,51,52)共9種.

Q

故P(M=R.故選D.

2.有3個興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組,每位

同學(xué)參加各個小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個興趣

小組的概率為()

123

-C-D-

2*3*4

【答案】A

【解析】記3個興趣小組分別為1,2,3,設(shè)甲、乙兩位同學(xué)各自參

加各個小組為(甲,乙)，I

于是甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組的所有可能有:(1,1),

(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9種，

記“兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的事件”為M則M含有基本事

件:(1,1),(2,2),(3,3)共3種.

故P(M故選A.

9?

3.袋中共有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球,2個白

球和3個黑球,從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于

()

1234

AWBwC.-D.-

【答案】B

【解析】設(shè)3個黑球分別為A19A2√L3,2個白球分別為51,32,1個紅

球為C則從袋中任取兩個球的所有可能為：(Al,A2),(Al/3),

(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2Λ3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),

(A3,52),(A3,0,(51,52),(51,C),(52,C)共15種,

設(shè)“從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑”為事件M則M含有基

本事件(Alll),(Al乃2),(A2fl),(A2乃2),(A3乃1),(A3,52)共6種.

故P(M二故選B.

155

4.四邊形A5C。為長方形7A5=2,5C=I,。為A5的中點,在長方形

ABcD內(nèi)隨機(jī)取一點,取到的點到。的距離大于1的概率為（）

?π

A,4B.I-Jc

4?J*

【答案】B

【解析】長方形ABC。的面積是2,長方形ABCQ中到點。的距離小

于1的點構(gòu)成的圖形是以。為圓心1為半徑的半圓,面積為*

所以所求概率為甘=1￡故選B.

5.在長為12CnI的線段AB上任取一點C現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等

于線段ACC5的長,則該矩形面積大于20Cm2的概率為（）

1124

A.-B.-C.-D.7

6335

【答案】C

貝IJ有MI2-x）>20,即N-12x+20<0,即（冗-2）（X-IO）<0,.?.2<x<10.

二?點C只能在2Cm至IlloCm共8Cm的長度內(nèi).

???該矩形面積大于20cm2的概率為白［故選C.

JL乙?

6.設(shè)不等式組:表示平面區(qū)域為。,在區(qū)域O內(nèi)隨機(jī)取一

個點,則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是（）

?Tl4—TT

A,4D.——

B?等44

【答案】D

【解析】不等式組表示的區(qū)域是一個邊長為2的正方

形區(qū)域R面積為22=4,這個區(qū)域內(nèi)到坐標(biāo)原點距離小于2的區(qū)域是

一個圓心角為90。，半徑為2的扇形區(qū)域,即:的圓,面積為兀區(qū)域。

4

內(nèi)到坐標(biāo)原點距離大于2的區(qū)域是正方形區(qū)域。減去扇形區(qū)域,面

積為4-兀所以在平面區(qū)域。中任取一點到坐標(biāo)原點距離大于2的

概率為三:故選D.

4

7.在區(qū)間［-1,2］上隨機(jī)取一個數(shù)九則x∈［0,1］的概率為

【答案】I

ACDB

【解析】此題屬于幾何概型問題.如圖，一一一—―■一■打

-1012

在區(qū)間［-1,2］上隨機(jī)取一個數(shù)X,相當(dāng)于線段A3上任取一個點，

x∈［0,1］即相當(dāng)于所取的點落在線段CD上.由于線段AB的長是3,

線段CD的長是1,故所求概率為去

KJ

8.從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條則以這三條

線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是?

【答案】

?4

【解析】從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條,不同

的取法有(2,3,4),(2,4,5),(2,3,5),(3,4,5)共四種

其中可以構(gòu)成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共三種.

故可以構(gòu)成三角形的概率是W

4

9.從一堆蘋果中任取10個,稱得它們的質(zhì)量如下（單位:克）

125120122105130

11411695120134

則樣本數(shù)據(jù)落在［∏4,5,124.5）內(nèi)的頻率為（

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【答案】C

【解析】由題意可知樣本數(shù)據(jù)落在［114.5,124.5）內(nèi)的有120,122,

Π6,120共4個，

故所求頻率為之=。?4.故選C.

10

10.容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)分布如下表

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

頻數(shù)234542

則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40）的頻率為（）

A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65

【答案】B

【解析】由頻數(shù)表易知樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40）的頻數(shù)為

2+3+4=9,

故樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10,40）的頻率為二二0.45.故選B.

n.對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計,得到樣本的莖

葉圖（如圖所示）,則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是（）

A.46,45,56

125

B.46,45,5320233

3124489

C.47,45,56

455577889

D.45,47,5350011479

6178

【答案】A

【解析】由莖葉圖可知,該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是

46,45,56.故選A.

12.交通管理部門為了解機(jī)動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)

的知曉情況,對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設(shè)四

個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、

乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這

四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為（）

A.101B.808C.1212D.2012

【答案】B

【解析】由于甲社區(qū)有駕駛員96人,且在甲社區(qū)抽取駕駛員的人

數(shù)為12,

故所抽取的比例為爭與于是有N=（12+21+25+43）÷<=808.

96oO

故選B.

13.某單位200名職工的年齡分布情況,如圖,現(xiàn)要從中抽取40名職

工作樣本,用系統(tǒng)抽樣法,將全體職工隨機(jī)按1?200編號,并按編號

順序平均分為40組（1?5號,6?10號,…,196?200號）.若第5組抽出的

號碼為22,則第8組抽出的號碼應(yīng)是.若用分層抽樣方

法,則40歲以下年齡段應(yīng)抽取人.

【答案】37;20

【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的原理,每組5個人,第5組抽出的號碼是22,

說明每組的第2個人被抽中,所以第8組抽出的號碼應(yīng)該是37.

根據(jù)分層抽樣的原理40歲以下占總職工人數(shù)50%,所以應(yīng)該抽取

40X50%=20（人）.

14.某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃

練習(xí),每人投10次,投中的次數(shù)如下表：

學(xué)生1號2號3號4號5號

甲班67787

乙班67679

則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為§2=,

【答案】I

【解析】根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)可知,甲班的方差比較小,

_6+7+7+8+7

于是有萬甲=7,

5

12

S2二±X[(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2]=4.

55

15.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)XB2，0耳其平均數(shù)和中位數(shù)都是2,

且標(biāo)準(zhǔn)差等于1,則這組數(shù)據(jù)為.（從小到大排列）,

【答案】1,1,3,3

【解析】根據(jù)題意,平均數(shù)是2,有紅然吐上二2;

4

中位數(shù)也是2,有中工2,從而有中工2;

由于元田2，元3，兄4都是正整數(shù),所以可能的組合有2,2,2,2或者1,1,3,3,

由標(biāo)準(zhǔn)差等于1可知這組數(shù)據(jù)為1,1,3,3.

16.右圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位:℃)數(shù)據(jù)得到

的樣本頻率分布直方圖,其中平均氣溫的范圍是[20.5,26.5],樣本

數(shù)據(jù)的分組為[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),κ率，械

5

?2

[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25?5,26.5].已知樣本中平0s.

I8

均氣溫低于22.5°C的城市個數(shù)為∏,則樣本中平

0,I2

0.l0

均氣溫不低于25.5℃的城市個數(shù)為.

26.5

【答案】9平均氣溫/V

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖,設(shè)城市總數(shù)為4

因為樣本中平均氣溫低于22.5°C的城市個數(shù)為11,

所以有(0.10+0.12)XIX/二11,得至也二總二50,

VZ(乙乙

樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數(shù)為0.18X1X50=9.

17.某產(chǎn)品的廣告費用X與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表

廣告費用M萬元）4235

銷售額y（萬元）49263954

根據(jù)上表可得回歸方程夕=Bx+&中的B的值為9.4,據(jù)此模型預(yù)報,

當(dāng)廣告費用為6萬元時,銷售額為（）

A.63.6萬元B.65.5萬元

C.67.7萬元D.72.0萬元

【答案】B

_4+2+3+549+26+39+54

【解析】X=3.5,歹二二42,

44

因為（禮歹）符合回歸方程,得到&=Zb1=42-3.5X9.4=9.1,

所以夕=9.4x+9.1=9.4X6+9.1=65.5.故選B.

18.為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)

系,下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間M單位:小時）與

當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：

時間九12345

命中率y0,40.50,60.60.4

小李這5天的平均投籃命中率為;用線性回歸分析的方

法,預(yù)測小李某月6號打籃球6小時的投籃命中率為.

【答案】0.5;0.53

【解析】小李這5天的平均投籃命中率

11

歹二EX(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5,5二：X(1+2+3+4+5)=3,

n

1￡(修一為(力一丫)0.2+0+0+0.1-0.2八…一_八/

b=_aQ「為2=(—2)2+(—1)2+02+12+22=°?°l,α=y-0%=°?47,

1=1

所以產(chǎn)0.01%+0.47,

當(dāng)X=6時,y=0.53.

19.某裝飾品的廣告費投入M單位:萬元）與銷售M單位:萬元）之間

有如下表所示的對應(yīng)數(shù)據(jù),則回歸直線方程為（）

34567

y4060657570

A.y=7.5x+24.5B.y=7.5.24.5

C.y=-7.5x+24.5D.y=-7.5%-24.5

11

［解析］?.?M=E×(3+4+5+6+7)=5,9=E×(40+60+65+75+70)=62,

???(禮》)滿足回歸方程,

.??只有A答案滿足.故選A.

20.通過隨機(jī)詢問HO名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得

到如下的列聯(lián)表：

男女______總計______

愛好一_______40______________20_______60

不愛好203050

______總計______6050110

由爛二一九(ad-兀)2算得蜉—110義(40730—20X20)2^7?

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k''60×50×60×50.

參照附表,得到的正確結(jié)論是)

A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項運

動與性別有關(guān)，，

D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項

運動與性別無關(guān)”

【答案】A

【解析】V7.8>6.635,

???有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”.故選A.

21.在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中,下列說法正確的是

()

A.若蜉的觀測值為Z=6.635,我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與

患肺病有關(guān)系,那么在IOO個吸煙的人中必有99人患有肺病

B.從獨立性檢驗可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有

關(guān)系時,我們說某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺病

C.若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有

關(guān)系,是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤J

D.以上三種說法都不正確

【答案】C

22.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力,隨機(jī)抽查20位工人某天

生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[45,55),[55,65),[65,75),

[75,85),[85,95),由此得到頻率分布直方圖,則這20名工人中一天生產(chǎn)

該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)和平均數(shù)分別為、.

在區(qū)間[65,75)的頻率為0.25,產(chǎn)品數(shù)量在區(qū)間[75,85)的頻率為0.1,產(chǎn)

品數(shù)量在區(qū)間[85,95)的頻率為0.05.

設(shè)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為%,由中位數(shù)左邊立

方圖的小矩形面積為0.5,可得0.2+(x-55)×0.04=0.5,可得x=62.5.這20

名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為

0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.

23.冶煉某種金屬可以用舊設(shè)備和改造后的新設(shè)備,為了檢驗用這

兩種設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中所含雜質(zhì)的關(guān)系,調(diào)查結(jié)果如下表所示:J

根據(jù)以上數(shù)據(jù),則()

雜質(zhì)高雜質(zhì)低

舊設(shè)備一37121

新設(shè)備22―202—

A.含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造有關(guān)

B.含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造無關(guān)

C.設(shè)備是否改造決定含雜質(zhì)的高低

D.以上答案都不對

【答案】A

【解析】由已知數(shù)據(jù)得到如下2X2列聯(lián)表

雜質(zhì)高雜質(zhì)低合計

舊設(shè)備37⑵158

新設(shè)備22202224

合計59323382

由公式殍-382X(37X202-121X22)21]3??

158×224×59×323*'

由于13.11>6.635,故有99%的把握認(rèn)為含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造

是有關(guān)的.故選A.

24.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支

付方式相互獨立,設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人

數(shù)QX=2.4,P(X=4)<P(X=6),則P=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【答案】B

【解析】由題意知,該群體的10位成員使用移動支付的概率分布

所以。X=I0〃(I-P)=2.4,所以〃=0.6或P=O.4.

由尸(X=4)<尸(X=6),得C%∕(l.p)6<C%p6(l-p)4,即(Lp)2<p2,

所以p>0.5,所以P=O.6.故選B.

25.設(shè)OVP<1,隨機(jī)變量。的分布列是

012

1—p-i-

HpP

225

則當(dāng)〃在((U)內(nèi)增大時，()

A.D@減小B.D?增大

C.D?先減小后增大D.D@先增大后減小

【答案】D

【解析】由題可得￡?=：+p,所以。?=-p2+p+j=-(P一工丫+:

，4V2/

所以當(dāng)〃在((U)內(nèi)增大時Q?先增大后減小.故選D.

26.已知隨機(jī)變量6滿足PG=I)=Pi,P(6=O)=I-Pj/=1,2.若OVPI<P2<a

則()

HA.%i)<%2),g<%)B,￡ei)<四2)Qg)>%)■

O>E(O<g)D.E6)>E&)QeI)>。&)

【答案】A

【解析】由題意可得

?01?01

PI-PlPIP1-P2，2

由兩點分布Eg)=Pl,￡《2)=P2；。(卻)=(1-PMQe2)=(I-P2)，2，

???。(。2)-。(如尸(I-P2次-(1-Pl)0=(∕VP1)-(P22-P12)=S2-P1)(1-P2-P1)

1

?

:0<jpι<jp2<乙-,:P2-P1>0,1-P2-P1>0,

???現(xiàn)G<￡6)QeI)<。?).故選A.

27.一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有

放回地抽取IOO次,X表示抽到的二等品件數(shù),則。X=.

【答案】1.96

【解析】由題意可得,抽到二等品的件數(shù)符合二項分布,即

X?5(100,0.02),

由二項分布的期望公式可得。X=Λψ(I-P)=IOOXo.02X0.98=1.96.

28.設(shè)X?ΛM,q2),y?N(Zz2@2),這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.

下列結(jié)論中正確的是()

A.P(?)≥P(1>6∕1)

B.P(X<σ2)<P(X<σ1)

C.對任意正數(shù)，,尸(XS)W(γ<t)

D.對任意正數(shù)%,P(X≥%)NP(Y>t)

【答案】C

【解析】由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知,x?NWIaI2),

y?N(Z/2@2)的密度曲線分別關(guān)于直線χ=4E=的對稱,因此結(jié)合題

中所給圖象可得〃1<〃2,所以尸(臼2)<尸(融1)，故A錯誤.

又X?Na1。/)得密度曲線較y?N(Z/2，勾2)的密度曲線“瘦高”,所以

<。2，所以P(X%2)>P(X3η),B錯誤.

對任意正數(shù)a由圖象知尸(X9N尸(1?),C正確,D錯誤.故選C.

29.已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布MO,32),從

中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()

(附:若隨機(jī)變量3艮從正態(tài)分布N(ZZ62),則P(ZZ-OV3χ∕+G=68.26%,

PQ∕-2σ<e<∕∕+2σ)=95.44%)

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

【答案】B

【角軍析】P(3<4v6)=Lχ(95.44%-68.26%)=13.59%.故選B.

30.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率

是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,

則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

【解析】根據(jù)條件概率公式P(5∣A)二需，

可得所求概率為黑=0?8.故選A.

?J■/J

31.已知隨機(jī)變量邨從正態(tài)分布N(2α)且pq<4)=0.8,則

尸(0＜。＜2尸()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

【答案】C

【解析】如正態(tài)分布的密度函數(shù)示意圖所示,

函數(shù)關(guān)于直線X=2對稱，

所以尸(^V2)=O.5,并且尸(0<。<2)二尸(2<4<4)

則P(0V(fv2)=PeV4)-PeV2)=0.8-0.5=0.3.故選C.

32.某讀書會有6名成員,寒假期間他們每個人閱讀的書本數(shù)分別

如下:3,2,5,4,3,1,則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為H()

A.3B.4C.3.5D.4.5

【答案】B

【解析】???這組數(shù)從小到大排序為123,3,4,5,由6X75%=45

???由百分位數(shù)的定義可求出這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為從小到大

排列的第5個數(shù),即為4.

故選B.

33.如圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分

布直方圖,則由直方圖得到的25%分位數(shù)為)

A.66.5B.67

C.67.5D.68

【答案】C

【解析】???第一組的頻率為0.010X10=0.1,前兩組的頻率之和為

(0.010+0.020)X10=0.3,

???25%分位數(shù)在區(qū)間［60,70］內(nèi).

???25%分位數(shù)為60+些山X10=67.5.故選C.

34.已知甲袋中有6只紅球,4只白球,乙袋中有8只紅球,6只白球.隨

機(jī)取一個袋,再從袋中任取一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,則此球來自甲袋的

概率為（）

?Q2021

A÷B.-C.-D.-

1274141

【答案】D

【解析】設(shè)事件3為取出的球是紅球,事件Al為該球來自甲袋,事

件&為該球來自乙袋.

則由題意知,P（4）=P（A2）、尸（引AI）==TP（引

乙LJI?JUIU/

由全概率公式可得，

131441

P(B)=P(B∣A)P(AI)+P(B∣A)P(A)≡-×-+-×-=-,

122乙?乙//U

3

ftf?blD/ΛI(xiàn)D?P("S)P(Bl41)P("1)io21珈、小C

所以P(Al⑹=Wr=———消F.故選D.

70

35.（多選題）在疫情防控阻擊戰(zhàn)之外,另一條戰(zhàn)線也日漸清晰——

恢復(fù)經(jīng)濟(jì)正常運行.國人萬眾一心,眾志成城,防控疫情、復(fù)工復(fù)

產(chǎn),某企業(yè)對本企業(yè)1644名職工關(guān)于復(fù)工的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)

果如圖所示,則下列說法正確的是（）

A.x=0.384疫情防控期間某企業(yè)

職工復(fù)工態(tài)度調(diào)查

B.從該企業(yè)中任取一名職工,申請休假

該職工是傾向于在家辦公的概率為0.178在家辦公

C.不到80名職工傾向于繼續(xù)申請休假I

D.傾向于復(fù)工后在家辦公或在公司辦V*?3%

公的職工超過986名

【答案】BD

【解析】對于A,??"%=100%-42.3%-17.8%-5.1%=34.8%,

.?.%=34.8,故A錯誤;

對于B,從該企業(yè)中任取一名職工,該職工是傾向于在家辦公的概

率為17.8%=0.178,故B正確；

對于C,1644X5.1%≈84(名)職工傾向于繼續(xù)申請休假,故C錯誤；

對于D,傾向于復(fù)工后在家辦公或在公司辦公的職工人數(shù)為

1644X(17.8%+42.3%)≈988,超過986名,故D正確.

故選BD.

36.（多選題）某城市收集并整理了該市2019年1月份至10月份各

月最低氣溫與最高氣溫（單位:。C）的數(shù)據(jù),繪制了如圖的折線圖.

已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系,則

根據(jù)折線圖,下列結(jié)論正確的是（）

A.最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)

B.10月的最高氣溫不低于5月的

?最高氣溫

最高氣溫?最低氣溫

■C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）

的最大值出現(xiàn)在1月

D.最低氣溫低于0。C的月份有4個

【答案】ABC

【解析】由該市2019年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣

溫（單位:℃）的數(shù)據(jù)的折線圖得，

對于A,最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān),故A正確；

對于B,10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫,故B正確；

對于C,月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月,故C

正確；

對于D,最低氣溫低于（TC的月份有3個,故D錯誤.

故選ABC.

37.（多選題）我國于2015年10月宣布實施普遍二孩政策.為了解戶

籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響,某地從育齡群體中隨機(jī)抽

取了容量為200的調(diào)查樣本,其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各Ioo人;男

性120人,女性80人,繪制的不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向

選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖如圖所示,其中陰影部分表示傾向

選擇生育二胎的對應(yīng)比例,則下列敘述正確的是（）

A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)

B.是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān)

C調(diào)查樣本中傾向選擇生育二胎的群體中,男性人數(shù)與女

性人數(shù)相同

D.傾向選擇不生育二胎的群體中,農(nóng)村戶籍人數(shù)多于城鎮(zhèn)

戶籍人數(shù)

【答案］AB

【0析】由不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人

數(shù)比例圖知，

對于A,：城鎮(zhèn)戶籍傾向選擇生育二胎的比例為40%,農(nóng)村戶籍傾向選擇

生育二胎的比例為80%,

???是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān),故A正確；

對于B「??男性傾向選擇生育二胎的比例為60%,女性傾向選擇生育二胎

的比例為60%,

???是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān),故B正確；

對于C*男性傾向選擇生育二胎的比例為60%,人數(shù)為120X60%=72,女

性傾向選擇生育二胎的比例為60%,人數(shù)為80×60%=48,

???傾向選擇生育二胎的人員中,男性人數(shù)與女性人數(shù)不相同,故C錯誤；

對于D「??傾向選擇不生育二胎的人員中,農(nóng)村戶籍人數(shù)為

100X(l-80%)=20,城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)為100X(l-40%)=60,

???傾向選擇不生育二胎的人員中,農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù),故D

錯誤.

故選AB.

38.（多選題）已知甲罐中有四個相同的小球,標(biāo)號為1,2,3,4;乙罐中

有五個相同的小球,標(biāo)號為123,5,6.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)

抽取1個小球,記事件A="抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于5”,事件

5=“抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于8”,則（

A.事件A發(fā)生的概率為:

B.事件AUB發(fā)生的概率為K

乙?J

c.事件Ana發(fā)生的概率為I

D.從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為:

【答案】BC

【解析】甲罐中有四個相同的小球,標(biāo)號1,2,3,4;乙罐中有五個相同的

小球,標(biāo)號為123,5,6.

現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球,記事件A="抽取的兩個小球

標(biāo)號之和大于5”,事件3=”抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于8”，

對于A,

從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球,基本事件總數(shù)〃=4X5=20,

事件A包含的基本事件有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),

(4,5),(4,6),共∏個,???P(A)二n,故A錯誤；

對于B,事件AUJB包含的基本事件有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),

(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共∏個,???P(AUB)二茄,故B正確；

對于C,事件AAB包含的基本事件有(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),

P?,

(4,6),共8個,???尸(An5)=高故C正確.

對于D,從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為P=若斗故D錯誤.

Zu4

故選BC.

39.（多選題）從裝有大小和形狀完全相同的2個紅球和3個黑球的口袋

內(nèi)任取2個球,下列各對事件中,互斥而不對立的是（）

A.“至少一個紅球”和“都是紅球”

B.“恰有一個紅球”和“都是紅球”

C.“恰有一個紅球”和“都是黑球”

D.“至少一個紅球”和“都是黑球”

［答案］BC

［薛析】從裝有大小和形狀完全相同的2個紅球和3個黑球的口袋

內(nèi)任取2個球，

對于Aj至少一個紅球”和“都是紅球"能同時發(fā)生,不是互斥事件,故

A錯誤;

對于B：“恰有一個紅球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生,是互斥而不對立

事件,故B正確；

對于C,“恰有一個紅球”和“都是黑球”不能同時發(fā)生,是互斥而不對立

事件,故C正確；

對于至少二個紅球”和“都是黑球”是對立事件,故D錯誤.故選BC.

40.（多選題）若X的分布列如下表所示:

X024

P0.10.30.6

則()

A.P(X>0)=0.8B.E(X)=3

C.P(X<4)=0.4DQ(X)=1.8

【答案】BCD

【解析】由X的分布列知，

對于人/(乂>0)=0?3+0?6=0.9,故人錯誤;

對于B,E(X)=OXO.1+2XO.3+4X0.6=3,故B正確；

對于C,尸(X<4)=0.l+0?3=0.4,故C正確;

對于DQ(X)=(O-3)2X0.1+(2-3)2X0.3+(4-3)2χ0.6=L8,故D正確.

故選BCD.

__1

41.(多選題)若隨機(jī)變量X服從兩點分布,其中P(X=O)=RE(X)Q(X)

分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(4X+1)=4

C.D(X)??3D.D(4X+1)=4

【答案】ABC

【解析】隨機(jī)變量X服從兩點分布,其中P(X=0)三，

4

則P(X=I)=TE(X)=OXLIXI=T

對于A,P(X=I)=E(X),故A正確；

對于B,E(4X+1)=4E(X)+1=4×-+1=4,故B正確；

4,

對于C"=(o-!)2×→(1-；)2X”故C正確;

對于DQ(4X+1)=16X巨=3,故D錯誤.故選ABC.

42.(多選題)近年來中國進(jìn)入一個鮮花消費的增長期.某農(nóng)戶利用

精準(zhǔn)扶貧政策,貸款承包了一個新型溫室鮮花大棚,種植、銷售紅

玫瑰和白玫瑰.若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從

正態(tài)分布Λ?302)和N(280,402),則下列選項正確的是()

(附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(∕∕ɑ2),則P(∕∕-crVX<4+cr)≈0.6826.)

A.若紅玫瑰日銷售量范圍在〃-30,280)的概率是0.