數(shù)學基礎知識與典型例題復習

數(shù)學根底知識與典型例題第5章平面向量平面向量相關知識關系表向量的概念及運算一、向量的有關概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如等.⑵幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等. ⑶坐標表示法:在平面直角坐標系中,設向量的起點O為在坐標原點,終點A坐標為,那么稱為的坐標,記為=.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比擬大小,因為方向沒有大小.4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個,其方向是任意的.5.單位向量:長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個,每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量:長度相等且方向相反的向量.二、向量的運算(一)運算定義①向量的加減法，②實數(shù)與向量的乘積，③兩個向量的數(shù)量積,這些運算的定義都是“自然的”，它們都有明顯的物理學的意義及幾何意義.向量的概念及運算其中向量的加減法運算結果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運算結果是數(shù)量。研究這些運算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運算性質,這些運算性質為我們用向量研究問題奠定了根底,向量確實是一個好工具.特別是向量可以用坐標表示,且可以用坐標來運算,向量運算問題可以完全坐標化.刻劃每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。主要內容列表如下：運算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+==記=(x1,y1),=(x1,y2)那么=(x1+x2,y1+y2)=〔x2-x1,y2-y1〕+=實數(shù)與向量的乘積=λλ∈R記=(x,y)那么λ=(λx,λy)兩個向量的數(shù)量積記那么·=x1x2+y1y2(二)運算律加法：①(交換律);②(結合律)實數(shù)與向量的乘積：①;②;③兩個向量的數(shù)量積:①·=·;②(λ)·=·(λ)=λ(·);③(+)·=·+·注：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法那么，正確遷移實數(shù)的運算性質可以簡化向量的運算，例如(±)2=(三)運算性質及重要結論⑴平面向量根本定理:如果是同一平面內兩個不共線的向量,那么對于這個平面內任一向量,有且只有一對實數(shù),使，稱為的線性組合。①其中叫做表示這一平面內所有向量的基底;②平面內任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,并且這種分解是唯一的.這說明如果且,那么.③當基底是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面直角坐標系,因此平面向量根本定理實際上是平面向量坐標表示的根底.向量的概念及運算向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即假設A(x，y)，那么=〔x,y〕；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即假設A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕，那么=(x2-x1,y2-y1)⑵兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言為：設非零向量,那么∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0,在這里,實數(shù)λ是唯一存在的,當與同向時,λ>0；當與異向時,λ<0。|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當,確定時，λ的符號與大小就確定了.這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。⑶兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設非零向量，那么⑷兩個向量數(shù)量積的重要性質：①即(求線段的長度);②(垂直的判斷);③(求角度)。以上結論可以(從向量角度)有效地分析有關垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價值.注:①兩向量,的數(shù)量積運算結果是一個數(shù)(其中),這個數(shù)的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦有關.②MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r2\h叫做向量在方向上的投影〔如圖〕.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.③如果,,那么=,∴,這就是平面內兩點間的距離公式.向量的概念及運算例1．在中，〔〕例2.平面內三點,假設∥，那么x的值為()(A)-5(B)-1(C)1(D)5向量的概念及運算例3.設，，是任意的非零平面向量，且相互不共線，那么：①(·)(·)=0 ②||-||<||③(·)(·)不與垂直 ④(3+2)·(32)=9||2-4|2中，真命題是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④例4.△OAB中,=,=,=,假設=，t∈R，那么點P在()(A)∠AOB平分線所在直線上(B)線段AB中垂線上(C)AB邊所在直線上(D)AB邊的中線上例5.正方形對角線交點為M，坐標原點O不在正方形內部，且=〔0，3〕，=〔4，0〕，那么=()(A)〔〕(B)〔〕(C)〔7，4〕(D)〔〕例6.,那么實數(shù)x=_______.例7.那么_____,______,與的夾角的余弦值是_____.例8.的三個頂點分別為求的大小.例9.△ABC中，A〔2，-1〕，B〔3，2〕，C〔-3，-1〕，BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標。例10.在△OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，設線段AN與BM交于點P，記=，=，用，表示向量.定比分點線段的定比分點1.定義:設是直線上的兩點,點P是上不同于的任意一點,那么存在一個實數(shù)使,叫做點P分有向線段所成的比.(如圖)①P在線段上,P為內分點時,;②P在線段或的延長線上,P為外分點時,.③內分取“+”,外分取“一”.2.定比分點坐標公式:設、、，那么：,特殊地，得中點坐標公式：另外，注意一下定比分點的向量公式：O為平面內任意一點，那么.有時直接運用它來考慮更簡便!3.三角形重心公式及推導〔見課本例2〕：三角形重心公式：例11.點A(m,n)關于點B(a,b)對稱點的坐標是()(A)〔－m，－n〕(B)〔a－m，b－n〕(C)〔a－2m，b－2n(D)〔2a－m，2b－n例12．設，直線AB交軸于C點，那么點C分所成的比為〔〕平移1.圖形平移：設F是坐標平面內的一個圖形，將F上所有的點按照同一方向移動同樣長度(即按向量平移)，得到圖形F`，我們把這一過程叫做圖形的平移。2.平移公式：點按向量平移到那么〔新=舊+移〕其中叫做平移向量.3.⑴設曲線C：y=f(x)按=〔h，k〕平移，那么平移后曲線對應的解析式為,當h，k中有一個為零時，就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下平移.注:函數(shù)圖象平移口訣:左加右減,上加下減.注意這里是指函數(shù)解析式的變化,另外注意順序性.例13.設向量,那么將按平移得到的坐標表示為()(A)(0,1)(B)(4,-11)(C)(7,-5)(D)(3,6)例14.假設將曲線C1:平移到C2,使得曲線C1上一點P的坐標由(1,0)變?yōu)?2,2),那么C2的方程是()(A)(B)(C)(D)例15.把函數(shù)的圖象按平移后得到的函數(shù)解析式為____.解三角形解斜三角形：常用的主要結論有：(1)A+B+C=1800⑵任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.⑶等邊對等角:;大邊對大角:.⑷底×高=(其中是內切圓半徑)⑸(正弦定理)⑹(余弦定理)解三角形例16.在中,,那么a等于()(A)(B)(C)(D)例17.在200米高的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為300,600,那么塔高為()(A)米(B)米(C)米(D)米例18．在中，，,假設這個三角形有兩解，那么的取值范圍是〔〕數(shù)學根底知識與典型例題(第5章平面向量)答案例1A、例2.C、例3.D、例4.A、例5.A、例6.6、例7.,,、例8.例9.解:(用解方程組思想)設D〔x，y〕，那么=〔x-2，y+1〕∵=〔-6，-3〕，·=0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0①∵=(x-3，y-2)，∥,∴-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0②由①②得：,∴D〔1，1〕,=〔-1，2〕例10.解:∵B、P、M共線∴記=s∴①同理，記∴=②∵,不共線∴由①②得解之得：∴注：從點共線轉化為向量共線，進而引入?yún)?shù)〔如s，t〕是常用技巧之一。平面向量根本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質得到關于s，t的方程。例11.D、例12.B、例13.C、例14.A、例15.、例16.C、例17.A、例18.C、數(shù)學根底知識與典型例題第六章不等式不等式知識關系表不等式的性質不等式的性質⑴(對稱性或反身性);⑵(傳遞性);⑶(可加性),此法那么又稱為移項法那么;(同向可相加)⑷(可乘性).(正數(shù)同向可相乘)⑸(乘方法那么)⑹(開方法那么)⑺(倒數(shù)法那么) 掌握不等式的性質，應注意：條件與結論間的對應關系，是“”符號還是“”符號；運用不等式性質的關鍵是不等號方向的把握，條件與不等號方向是緊密相連的。運用不等式的性質可以對不等式進行各種變形,雖然這些變形都很簡單,但卻是我們今后研究和認識不等式的根本手段.例1.“a+b>2c”(A)a>c或b>c(B)a>c且b<c(C)a>c且b>c(D)a>c或b<c例2.假設a>b,以下式子中①;②a3>b3;③;④,正確的有()(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個例3.的大小關系為.例4.設,且那么與的大小關系是.例5.滿足,試求的取值范圍.重要不等式1.定理1：如果a,b∈{x|x是正實數(shù)}，那么≥〔當且僅當a=b時取“=”號〕.注:該不等式可推出:當a、b為正數(shù)時,〔當且僅當a=b時取“=”號〕即:平方平均數(shù)≥算術平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調和平均數(shù)2.含立方的幾個重要不等式〔a、b、c為正數(shù)〕：⑴⑵由可推出(,);⑶如果a,b,c∈{x|x是正實數(shù)}，那么.〔當且僅當a=b=c時取“=”號〕3.絕對值不等式：注：均值不等式可以用來求最值(積定和小，和定積大),但特別要注意條件的滿足：一正、二定、三相等.例6.“a>0且b>0”是“≥”的()(A)充分而非必要條件(B)必要而非充要條件(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件例7.假設,A,G,H，其中R+，那么A，G，H的大小關系是()〔A〕A≤G≤H〔B〕A≤H≤G〔C〕H≤G≤A〔D〕G≤H≤A例8.假設,且，那么有最小值〔〕(A)6(B)9(C)4(D)3例9.不等式的最大值是〔〕(A) (B)(C)(D)例10.假設a+b+c=3，且a、b、c∈R+，那么的最小值為.不等式解法解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應使每一步的變形都要恒等。 一元一次不等式和一元二次不等式是最簡單的不等式.其它不等式，如高次不等式、分式不等式、無理不等式、指數(shù)和對數(shù)不等式、絕對值不等式、含有字母系數(shù)的不等式等，一般都轉化為一元一次不等式〔組〕或一元二次不等式〔組〕來解。 解不等式時，要注意不等式的同解原理和變形過程的等價性的正確運用，對各類不等式要掌握它的特點，變形過程的程序性和特殊性，注意歸納解各類不等式的思路和方法。 〔1〕高次不等式假設可以分解成幾個含x的一次因式，可用列表法或數(shù)軸標根法來解?！?〕分式不等式要正確運用以下同解原理。 〔3〕無理不等式:將無理不等式變形為與它同解的不等式組。①不等式的同解不等式組是②不等式的同解不等式組是 〔4〕指數(shù)、對數(shù)不等式①指數(shù)不等式的同解不等式：當時，為；當時，為.例11.假設關于的不等式的解集是,那么等于()例12.不等式的解集是()例13.不等式≥的解集是〔〕≤≤≤≤≤≤例14.不等式的解集是()(A)(B)或(C)(D)或不等式解法②對數(shù)不等式的同解不等式：當時，為;當時，為 因此，在解指數(shù)、對數(shù)不等式時，首先要注意利用對數(shù)的性質化為同底不等式. 〔5〕絕對值不等式 解絕對值不等式關鍵是化為等價的不含絕對值符號的不等式〔組〕，主要方法： 對含有幾個絕對值符號的不等式，用分區(qū)間的方法化為等價的不含絕對值的不等式組。注:絕對值的幾何意義:表示數(shù)軸上的數(shù)對應的點與原點的距離.表示數(shù)軸上的數(shù)對應的點與數(shù)對應的點的距離. 〔6〕含字母系數(shù)的不等式 對上述各類不等式，都可能涉及到不等式中的字母系數(shù)，解不等式時，對字母的取值要進行恰當?shù)姆诸?，分類時要不重、不漏，然后根據(jù)分類進行求解。注:解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時的重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數(shù)學的根本手段之一。例15.不等式的解集是____________.例16.解不等式例17.解關于x的不等式不等式的證明不等式的證明1.證明不等式的根本依據(jù)： 〔1〕實數(shù)大小的比擬原那么； 〔2〕不等式的性質； 〔3〕幾個重要不等式，特別是算術——幾何平均值不等式 〔4〕函數(shù)的增減性； 〔5〕實系數(shù)一元二次方程的根的判別式.例18.x∈R，求證：－2≤<2.不等式的證明2.證明不等式的常用的方法:⑴比擬法：①作差比擬，要點是：作差——變形——判斷。這種比擬法是普遍適用的，是無條件的。根據(jù)a－b>0a>b，欲證a>b只需證a－b②作商比擬，要點是：作商——變形——判斷。這種比擬法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。當b>0時，a>b>1。比擬法是證明不等式的根本方法，也是最重要的方法，有時根據(jù)題設可轉化為等價問題的比擬〔如冪、方根等〕。⑵分析法：就是不斷尋找并簡化欲證不等式成立的充分條件，到一個明顯或易證其成立的充分條件為止。對于思路不明顯，感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑。這種方法的實質是“充分條件”的化簡。分析法證明不等式的邏輯關系是：.分析法的思維特點是：執(zhí)果索因⑶綜合法：就是從的不等式及題設條件出發(fā)，運用不等式性質及適當變形〔恒等變形或不等變形〕推導出要求證明的不等式。用綜合法證明不等式的關鍵是適中選擇一個的不等式，從此出發(fā)推出所證結果，怎樣選擇的不等式就適當呢？一般有兩條途徑。〔1〕從分析法找思路，〔2〕從“重要不等式”，特別是平均值不等式找思路。用綜合法證明不等式的邏輯關系是：.綜合法的思維特點是：由因導果⑷放縮法假設證明“A≥B”，我們先證明“A≥C”，然后再證明“C≥B”，那么“A≥B”。例19.假設求證:.例20.設,且,求證:例21.設用放縮法證明:.不等式的證明⑸用數(shù)學歸納法證明不等式: 有關自然數(shù)的命題，〔當然這里是不等式〕可用數(shù)學歸納法證明。 有關自然數(shù)的命題成立的條件有二：一是它必需具備特殊性，二是它必需具備遞推性。 數(shù)學歸納法就是證明有關自然數(shù)的命題具有上述兩條性質，從而確定其正確性。 用代數(shù)方法證明不等式是考查思維能力的重要內容，但隨著對思維能力考查的力度的增加，運用多種方法證明不等式和綜合代數(shù)、三角等的有關內容而產(chǎn)生的有關不等式證明的綜合問題應充分重視。熟練掌握不等式的性質和一些根本不等式，靈活運用常用的證明方法〔比擬法、分析法、綜合性、反證法、數(shù)學歸納法〕，以及運用放縮、增量、構造〔函數(shù)或不等式〕、判別式等方法。例22.△ABC的三邊長是a，b，c，且m為正數(shù)，求證:.不等式的應用不等式的應用 不等式是研究方程、函數(shù)的重要工具，在歷年高考題中，屢次用到不等式解決函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值，函數(shù)的單調性以及用不等式討論方程中根與系數(shù)的關系，運用不等式去解決有關應用問題。例23.建造一個容積為18m3,深為2m的長方形無蓋水池,如果池底和池壁每m2的造價分別是200元和150元,那么池的最低造價為_______元例24.甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點.甲有一半時間以速度行走,另一半時間以速度行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度行走.如果,甲、乙兩人誰先到達指定地點.數(shù)學根底知識與典型例題(第六章不等式)答案例1.C例2.B例3.例4.n3+1>n2+n例5.提示:把“”、“”看成一個整體.解:∵=又∵,∴,∴的取值范圍是例6.A例7.A例8.B例9.B例10.例11.B例12.D例13.C例14.D例15.例16.解：原不等式等價于情形1當x>0時，上述不等式組變成解得：情形2當x<0時，上述不等式組變成解得所以原不等式解集為例17.解:原不等式等價于由于恒成立，∴當a>0時，；當a=0時，；當a<0時，.例18.證明:令y=，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴當y≠2時，要方程有實數(shù)解，須Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;⑵當y=2時,代入(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0中,得3=0，矛盾.∴綜上所述,－2≤y<2得證.例19.綜合法提示:另外此題還可用幾何法.證明:對于，可想到直角三角形的斜邊，先考慮a、b、c為正數(shù)的情況，這時可構造出圖形：以a+b+c為邊長畫一個正方形，如圖，那么，.顯然，即.當a、b、c中有負數(shù)或零時，顯然不等式成立.例20.答案見高中數(shù)學第二冊(上)第27頁例1可用分析法,比擬法,綜合法,三角換元法以及向量法等證例21.提示:利用例22.高中數(shù)學第二冊(上)第17頁習題9法一:構造函數(shù)法證明：∵f(x)=EQ\F(x,x+m)(m>0)=1－EQ\F(m,x+m)在(0,+)上單調遞增，且在△ABC中有a+b>c>0，∴f(a+b)>f(c)，即EQ\F(a+b,a+b+m)>EQ\F(c,c+m)。又∵a，bR*，∴EQ\F(a,a+b+m)+EQ\F(b,a+b+m)=EQ\F(a+b,a+b+m)，∴.法二:分析法證明:要證，只要證a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)－c(a+m)(b+m)>0，即abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc+2abm+(a+b－c)m2>0，由于a,b,c為△ABC的邊長，m>0，故有a+b>c，即(a+b－c)m2>0。所以abc+2abm+(a+b－c)m2>0是成立的，因此.例23.5400,例24.答案見2005-7-30高中數(shù)學第二冊(上)第13頁例4

數(shù)學根底知識與典型例題第七章直線和圓的方程直線和圓的方程知識關系直線的方程一、直線的傾斜角和斜率1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時,其傾斜角為,故直線傾斜角的范圍是.2.直線的斜率:傾斜角不是的直線其傾斜角的正切叫這條直線的斜率,即.注：①每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.②當時，直線垂直于軸，它的斜率k不存在.③過兩點、的直線斜率公式二、直線方程的五種形式及適用條件名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk—斜率b—縱截距傾斜角為90°的直線不能用此式點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)—直線上點，k──斜率傾斜角為90°的直線不能用此式兩點式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個點與兩坐標軸平行的直線不能用此式截距式+=1a—直線的橫截距b—直線的縱截距過〔0，0〕及與兩坐標軸平行的直線不能用此式一般式Ax+By+C=0(A、B不全為零)A、B不能同時為零直線的方程注:⑴確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件,通常用待定系數(shù)法;⑵確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍.⑶直線是平面幾何的根本圖形，它與方程中的二元一次方程Ax+By+C=0〔A2+B2≠0〕是一一對應的.直線的方程例1.過點和的直線的斜率等于1,那么的值為()(A)(B)(C)1或3(D)1或4例2.假設,那么直線2cos＋3y＋1=0的傾斜角的取值范圍〔〕(A)(B)(C)(0,)(D)例3.直線的傾斜角是〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕例4.連接和兩點的直線斜率為____,與y軸的交點P的坐標為____.例5.以點為端點的線段的中垂線的方程是.兩直線的位置關系一、兩直線的位置關系1.兩直線平行:⑴斜率存在且不重合的兩條直線l1∶y=k1x+b1，l2∶y=k2x+b2，那么l1∥l2k1=k2;⑵兩條不重合直線的傾斜角為,那么∥.2.兩直線垂直:⑴斜率存在的兩條直線l1∶y=k1x+b1,l2∶y=k2x+b2,那么l1⊥l2k1·k2=-1;⑵兩直線l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0，那么l1⊥l2A1A2+B13.“到角”與“夾角”:⑴直線到的角〔方向角〕；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋轉到與重合時所轉動的角，它的范圍是.注:①當兩直線的斜率k1,k2都存在且k1·k2≠-1時,;②當直線的斜率不存在時,可結合圖形判斷.例6.將直線繞著它與軸的交點逆時針旋轉的角后，在軸上的截距是()(A)(B)(C)(D)例7.將一張畫了直角坐標系且兩軸的長度單位相同的紙折疊一次，使點(2，0)與點(－2，4)重合，假設點〔7，3〕與點〔m,n〕重合，那么m+n的值為()(A)4 (B)－4(C)10 (D)－10例8.與直線平行且過點的直線的方程是__________。例9.二直線和，假設，在y軸上的截距為-1，那么m=_____，n=____.兩直線的位置關系⑵兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是,當兩直線的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1時，那么有.4.距離公式。⑴一點P(x0，y0)及一條直線l：Ax+By+C=0，那么點P到直線l的距離d=；⑵兩平行直線l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0之間的距離d=。5.當直線位置不確定時，直線對應的方程中含有參數(shù).含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對應的直線是有規(guī)律的，即旋轉直線系和平行直線系.⑴在點斜式方程y-y0=k(x-x0)中，①當〔x0，y0〕確定，k變化時，該方程表示過定點〔x0，y0〕的旋轉直線系，②當k確定，(x0，y0)變化時，該方程表示平行直線系.⑵直線l：Ax+By+C=0，那么①方程Ax+By+m=0〔m為參數(shù)〕表示與l平行的直線系；②方程-Bx+Ay+n=0〔n為參數(shù)〕表示與l垂直的直線系。⑶直線l1：A1x+B1y+C1=0，直線l2：A2x+B2y+C2=0，那么方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示過l1與l2交點的直線系〔不含l2〕掌握含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系，有時可以優(yōu)化解題思路.例10.經(jīng)過兩直線11x－3y－9＝0與12x＋y－19＝0的交點，且過點(3,-2)的直線方程為_______.例11.△ABC中，A〔2，-1〕，B〔4，3〕，C〔3，-2〕，求：⑴BC邊上的高所在直線方程；⑵AB邊中垂線方程；⑶∠A平分線所在直線方程.例12.定點P〔6，4〕與定直線l1：y=4x，過P點的直線l與l1交于第一象限Q點，與x軸正半軸交于點M，求使△OQM面積最小的直線l方程.簡單的線性規(guī)劃線性規(guī)劃⑴當點P(x0，y0)在直線Ax+By+C=0上時，其坐標滿足方程Ax0+By0+C=0；⑵當P不在直線Ax+By+C=0上時，Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。這就是二元一次不等式的幾何意義：二元一次不等式Ax+By+C>0〔或<0〕表示直線Ax+By+C=0上方或下方區(qū)域，其具體位置確實定常用原點〔0，0〕代入檢驗。利用此幾何意義，可以解決一類二元函數(shù)的最值問題。這就是線性規(guī)劃的內容。簡單的線性規(guī)劃例13.假設點〔3，1〕和〔，6〕在直線的兩側，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕〔D〕以上都不對例14.的三個頂點的坐標為，，，點在內部及邊界上運動，那么的最大值為，最小值為。例15.不等式組：表示的平面區(qū)域的面積是；例16.20個勞動力種50畝地，這些地可種蔬菜、棉花或水稻，如果種這些農(nóng)作物每畝地所需的勞動力和預計產(chǎn)值如下表。問怎樣安排才能使每畝都種上農(nóng)作物，所有的勞動力都有工作且農(nóng)作物的預計產(chǎn)值最高？例17.某集團準備興辦一所中學，投資1200萬用于硬件建設.為了考慮社會效益和經(jīng)濟利益，對該地區(qū)教育市場進行調查，得出一組數(shù)據(jù)列表〔以班為單位〕如下：根據(jù)有關規(guī)定，除書本費、辦公費外，初中生每年可收取學費600元，高中生每年可收取學費1500元.因生源和環(huán)境等條件限制，辦學規(guī)模以20至30個班為宜.根據(jù)以上情況，請你合理規(guī)劃辦學規(guī)模使年利潤最大，最大利潤多少萬元？〔利潤=學費收入－年薪支出〕曲線和方程曲線與方程：在直角坐標系中,當曲線C和方程F(x，y)=0滿足如下關系時：①曲線C上點的坐標都是方程F(x，y)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解為坐標的點都在曲線C上，那么稱曲線C為方程F(x，y)=0表示的曲線；方程F(x，y)=0是曲線C表示的方程.注:⑴如果曲線C的方程是F(x,y)=0，那么點P0(x0,y0)在曲線C上的充要條件是F(x0,y0)=0⑵解析幾何研究的內容就是給定曲線C，如何求出它所對應的方程，并根據(jù)方程的理論研究曲線的幾何性質。其特征是以數(shù)解形,坐標法是幾何問題代數(shù)化的重要方法。⑶求曲線方程的步驟:建、設、現(xiàn)〔限〕、代、化.曲線和方程例18.點適合方程是點在曲線上的()(A)充分條件(B)必要條件(C)充要條件(D)什么條件也不是例19.曲線C：與C：的交點數(shù)是〔〕(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個例20.定點，，點M與A、B兩點所在直線的斜率之積等于，那么點M的軌跡方程是例21.圓和兩點A〔0，4〕，B〔4，0〕當點P在圓上運動時，求的重心的軌跡方程.例22.如圖，圓與圓的半徑都是1，.過動點分別作圓、圓的切線〔分別為切點〕，使得.試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點的軌跡方程.圓的方程確定圓的方程需要有三個互相獨立的條件。的圓方程的適用范圍。一、圓的方程形式:⑴圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中〔a,b〕是圓心坐標,r是圓的半徑；⑵圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0〔D2+E2-4F>0〕,圓心坐標為〔-，-〕，半徑為r=.⑶圓的參數(shù)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2〔r>0〕的參數(shù)方程為:〔為參數(shù),表示旋轉角〕，參數(shù)式常用來表示圓周上的點。注:①確定圓的方程需要有三個互相獨立的條件,通常也用待定系數(shù)法;②圓的方程有三種形式，注意各種形式中各量的幾何意義,使用時常數(shù)形結合充分運用圓的平面幾何知識.③圓的直徑式方程：,其中是圓的一條直徑的兩個端點.〔用向量可推導〕.二、直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有三種：相離、相切、相交，判定方法有兩種：⑴代數(shù)法：直線：Ax+By+C=0，圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0，聯(lián)立得方程組一元二次方程〔2〕幾何法：直線:Ax+By+C=0，圓：(x-a)2+(y-b)2=r2，圓心〔a，b〕到直線的距離為d=，那么三、圓和圓的位置關系：設兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|為圓心距，那么兩圓位置關系如下：①|O1O2|>r1+r2兩圓外離；②|O1O2|=r1+r2兩圓外切；③|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2兩圓相交；④|O1O2|=|r1-r2|兩圓內切；⑤0<|O1O2|<|r1-r2|兩圓內含。注：直線和圓位置關系及圓和圓位置關系常借助于平面幾何知識，而一般不采用方程組理論〔△法〕.圓的方程四、圓的切線:1.求過圓上的一點圓的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率,那么由垂直關系,切線斜率為,由點斜式方程可求得切線方程;2.求過圓外一點圓的切線方程:⑴(幾何方法)設切線方程為即,然后由圓心到直線的距離等于半徑,可求得,切線方程即可求出.⑵(代數(shù)方法)設切線方程為,即代入圓方程得一個關于的一元二次方程,由,求得,切線方程即可求出.注：①以上方法只能求存在斜率的切線,斜率不存在的切線,可結合圖形求得.②過圓上一點的切線方程為.圓的方程例23.假設直線與圓相切，那么的值為()例24.兩圓x2+y2-4x+2y+1=0與(x+2)2+(y-2)2=9的位置關系是〔〕(A)內切(B)相交(C)外切(D)相離例25.圓C與圓(x-1)2+y2=1關于直線y=-x對稱，那么圓C的方程為()(A)(x+1)2+y2=1(B)x2+y2=1(C)x2+(y+1)2=1(D)x2+(y-1)2=1例26.假設直線4x-3y-2＝0與圓有兩個不同的公共點，那么實數(shù)a的取值范圍是〔〕(A)-3＜a＜7(B)-6＜a＜4(C)-7＜a＜3(D)-21＜a＜19例27.把參數(shù)方程〔為參數(shù)〕化為普通方程，結果是.例28.過點的直線被圓截得的弦長為，那么此直線的方程為例29.圓的方程為x2+y2－6x－8y＝0，過坐標原點作長為8的弦，求弦所在的直線方程。例30.方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16⑴求實數(shù)m取值范圍；⑵求圓的半徑r取值范圍；⑶求圓心軌跡方程.數(shù)學根底知識與典型例題(第七章直線和圓的方程)答案例1.A例2.B例3.C例4.例5.例6.B例7.C例8.2x＋3y＋10＝0例9.0,8,例10.例11.解:⑴∵kBC=5,∴BC邊上的高AD所在直線斜率k=∴AD所在直線方程y+1=(x-2)即x+5y+3=0⑵∵AB中點為〔3，1〕，kAB=2,∴AB中垂線方程為x+2y-5=0⑶設∠A平分線為AE，斜率為k，那么直線AC到AE的角等于AE到AB的角?！遦AC=-1，kAB=2,∴,∴k2+6k-1=0,∴k=-3-〔舍〕，k=-3+∴AE所在直線方程為(-3)x-y-2+5=0評注：在求角A平分線時，必須結合圖形對斜率k進行取舍。一般地涉及到角平分線這類問題時，都要對兩解進行取舍。也可用軌跡思想求AE所在直線方程，設P(x，y)為直線AE上任一點，那么P到AB、AC距離相等，得，化簡即可。還可注意到，AB與AC關于AE對稱。例12.解題思路分析：直線l是過點P的旋轉直線，因此是選其斜率k作為參數(shù)，還是選擇點Q〔還是M〕作為參數(shù)是此題關鍵。通過比擬可以發(fā)現(xiàn)，選k作為參數(shù)，運算量稍大，因此選用點參數(shù)。解:設Q〔x0，4x0〕，M〔m，0〕∵Q，P，M共線∴∴解之得：∵x0>0，m>0∴x0-1>0∴令x0-1=t，那么t>0,≥40當且僅當t=1，x0=11時，等號成立,此時Q〔11，44〕，直線l：x+y-10=0評注：此題通過引入?yún)?shù)，建立了關于目標函數(shù)的函數(shù)關系式，再由根本不等式再此目標函數(shù)的最值。要學會選擇適當參數(shù)，在解析幾何中，斜率k，截距b，角度θ，點的坐標都是常用參數(shù)，特別是點參數(shù)。例13.B例14.，例15.例16.種蔬菜20畝,棉花30畝,水稻不種,總產(chǎn)值最高27萬元.例17.解：設初中x個班，高中y個班，那么設年利潤為s，那么作出〔1〕、〔2〕表示的平面區(qū)域，如圖，過點A時，S有最大值，由解得A〔18，12〕.易知當直線1.2x+2y=s即學校可規(guī)劃初中18個班，高中12個班,〔萬元〕.可獲最大年利潤為45.6萬元.評線性規(guī)劃是直線方程的簡單應用，是新增添的教學內容，是新大綱重視知識應用的表達，根據(jù)考綱要求，了解線性不等式表示的平面區(qū)域，了解線性規(guī)劃的意義并會簡單應用，解決此類問題，關鍵是讀懂內容，根據(jù)要求，求出線性約束條件和目標函數(shù)，直線性約束條件下作出可行域，然后求線性目標函數(shù)在可行域中的最優(yōu)解，歸納如下步驟：①根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式，②作出可行域，寫出目標函數(shù)，③確定目標函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解．但在解答時，格式要標準，作圖要精確，特別是最優(yōu)解的求法，作時還是比擬困難的．是函數(shù)方程思想的應用. 例18.A例19.D例20.x2+例21.(x例22.解：以的中點為原點，所在直線為軸，建立如下圖的平面直角坐標系，那么，.由，得.因為兩圓半徑均為1，所以.設，那么，即.(或) 例23.D例24.C例25.C例26.B例27.x2+(y-1)2=1例28.x+y=0或x+7y-6=0例29.解：x2+y2－6x－8y=0即(x－3)2+(y－4)2=25，設所求直線為y＝kx?！邎A半徑為5，圓心M〔3，4〕到該直線距離為3，∴，∴，∴?！嗨笾本€為y或。例30.⑴m滿足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m即7m2∴⑵半徑r=∵,∴時，,∴0<r≤⑶設圓心P〔x，y〕，那么消去m得：y=4(x-3)2-1,又∴∴所求軌跡方程為(x-3)2=(y+1)〔〕 數(shù)學根底知識與典型例題(第八章圓錐曲線)橢圓知識關系網(wǎng)橢圓1.橢圓的定義：第一定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F第二定義:平面內到定點F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(0<e<1)的點的軌跡是橢圓,定點叫做橢圓的焦點,定直線叫做橢圓的準線,常數(shù)叫做橢圓的離心率.2.橢圓的標準方程及其幾何性質(如下表所示)標準方程圖形頂點,,對稱軸軸，軸，長軸長為，短軸長為焦點、、焦距焦距為離心率(0<e<1)準線方程點P(x0,y0)的焦半徑公式|PF右|=a-ex0,|PF左|=a+ex0(“左加右減”)|PF上|=a-ey0,|PF下|=a+ey0橢圓注:1.焦半徑(橢圓上一點到焦點的連線段)公式不要求記憶,但要會運用橢圓的第二定義.2.橢圓參數(shù)方程：如圖點的軌跡為橢圓.橢圓例1.F1，F(xiàn)2是定點，且|F1F2|=6，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，那么M點的軌跡方程是(A)橢圓(B)直線(C)圓(D)線段例2.的周長是16，，B,那么動點的軌跡方程是()(A)(B)(C)(D)例3.假設F(c，0)是橢圓的右焦點，F(xiàn)與橢圓上點的距離的最大值為M，最小值為m，那么橢圓上與F點的距離等于的點的坐標是()(A)(c，)(C)(0，±b)(D)不存在例4.如果橢圓上有一點P，它到左準線的距離為2.5，那么P點到右焦點的距離與到左焦點的距離之比是()。(A)3:1(B)4:1(C)15:2(D)5:1例5.設F1(-c，0)、F2(c，0)是橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點,假設∠PF1F2=5∠PF2F1(A)(B)(C)(D)例6.設A(－2,)，橢圓3x2＋4y2=48的右焦點是F，點P在橢圓上移動，當|AP|＋2|PF|取最小值時P點的坐標是()。(A)(0,2)(B)(0,－2)(C)(2,)(D)(－2,)橢圓例7.P點在橢圓上，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，假設，那么P點的坐標是.例8.寫出滿足以下條件的橢圓的標準方程：(1)長軸與短軸的和為18，焦距為6;.(2)焦點坐標為,,并且經(jīng)過點(2，1);.(3)橢圓的兩個頂點坐標分別為,,且短軸是長軸的;____.(4)離心率為，經(jīng)過點(2，0);.例9.是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上運動，那么的最大值是．例10.橢圓中心是坐標原點O，焦點在x軸上，e=，過橢圓左焦點F的直線交橢圓于P、Q兩點，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此橢圓的方程.雙曲線知識關系網(wǎng)雙曲線1.雙曲線的定義：第一定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定值2a(0<2a<|F1F第二定義:平面內到定點F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(e>1)的點的軌跡是雙曲線,定點叫做雙曲線的焦點,定直線叫做雙曲線的準線,常數(shù)叫做雙曲線的離心率.標準方程圖形頂點對稱軸軸，軸，實軸長為，虛軸長為焦點焦距焦距為離心率(e>1)準線方程點P(x0,y0)的焦半徑公式如需要用到焦半徑就自己推導一下:如設是雙曲線上一點,(c,o)為右焦點,點到相應準線的距離為,那么.當在右支上時,;當在左支上時,即,類似可推導2.雙曲線的標準方程及其幾何性質(如下表所示)雙曲線例11.命題甲：動點P到兩定點A、B的距離之差的絕對值等于2a(a>0)；命題乙：點P的軌跡是雙曲線。那么命題甲是命題乙的(A)充要條件(B)必要不充分條件(C)充分不必要條件(D)不充分也不必要條件例12.到定點的距離與到定直線的距離之比等于log23的點的軌跡是〔〕(A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)拋物線雙曲線例13.過點(2，-2)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程是()(A)(B)(C)(D)例14.如果雙曲線的焦距為6，兩條準線間的距離為4，那么雙曲線的離心率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2例15.如果雙曲線上一點到它的左焦點的距離是8，那么點到它的右準線的距離是()(A)(B)(C)(D)例16.雙曲線的兩焦點為在雙曲線上,且滿足,那么的面積為()例17.設的頂點，，且，那么第三個頂點C的軌跡方程是________.例18.連結雙曲線與(a＞0，b＞0)的四個頂點的四邊形面積為，連結四個焦點的四邊形的面積為，那么的最大值是________．例19.根據(jù)以下條件，求雙曲線方程:⑴與雙曲線有共同漸近線，且過點(-3，)；⑵與雙曲線有公共焦點，且過點(，2).例20.設雙曲線上兩點A、B，AB中點M〔1，2〕⑴求直線AB方程；⑵如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D是否共圓，為什么？拋物線知識關系網(wǎng)拋物線1.拋物線的定義:平面內到定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(點F不在上).定點F叫做拋物線的焦點,定直線叫做拋物線的準線.2.拋物線的標準方程及其幾何性質(如下表所示)標準方程圖形對稱軸軸軸軸軸焦點頂點原點準線離心率1點P(x0,y0)的焦半徑公式用到焦半徑自己推導一下即可如:開口向右的拋物線上的點P(x0,y0)的焦半徑等于x0+.注:1.通徑為2p，這是拋物線的過焦點的所有弦中最短的弦.2.(或)的參數(shù)方程為(或)(為參數(shù)).拋物線例21.頂點在原點，焦點是的拋物線方程是()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x例22.拋物線上的一點到焦點的距離為1，那么點的縱坐標是()(A)(B)(C)(D)0例23.過點P(0,1)與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線有()(A)4條(B)3條(C)2條(D)1條例24.過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，假設線段PF與FQ的長分別為p、q，那么等于()(A)2a(B)(C)(D)例25.假設點A的坐標為(3，2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點，點P在拋物線上移動，為使|PA|+|PF|取最小值，P點的坐標為()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(，1) (D)(0，0)例26.動圓M過點F(0，2)且與直線y=-2相切，那么圓心M的軌跡方程是.例27.過拋物線y2＝2px的焦點的一條直線和拋物線交于兩點，設這兩點的縱坐標為y1、y2，那么y1y2＝_________.例28.以拋物線的焦點為圓心，通徑長為半徑的圓的方程是_____________.例29.過點(-1,0)的直線l與拋物線y2=6x有公共點，那么直線l的傾斜角的范圍是.例30設是一常數(shù)，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H〔H為圓心〕。(Ⅰ)試證:拋物線頂點在圓H的圓周上；(Ⅱ)求圓H的面積最小時直線AB的方程.軌跡問題上一章已經(jīng)復習過解析幾何的根本問題之一：如何求曲線(點的軌跡)方程,它一般分為兩類基此題型：一是軌跡類型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代入法、交軌法、參數(shù)法等求軌跡的方法外，通常設法利用軌跡的定義解題，化歸為求軌跡類型的軌跡方程。因此在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標有關的方程(等量關系)，側重于數(shù)的運算，一是尋找與動點有關的幾何條件，側重于形，重視圖形幾何性質的運用。求軌跡方程的一般步驟:建、設、現(xiàn)〔限〕、代、化.軌跡方程例31.兩點M〔－2，0〕，N〔2，0〕，點P滿足=12，那么點P的軌跡方程為〔〕 例32.⊙O1與⊙O2的半徑分別為1和2，|O1O2|=4，動圓與⊙O1內切而與⊙O2外切，那么動圓圓心軌跡是()(A)橢圓 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)雙曲線的一支例33.動點P在拋物線y2=-6x上運動,定點A(0,1),線段PA中點的軌跡方程是()〔A〕(2y+1)2=-12x〔B〕(2y+1)2=12x〔C〕(2y-1)2=-12x〔D〕(2y-1)2=12x例34.過點〔2，0〕與圓相內切的圓的圓心的軌跡是〔〕〔A〕橢圓〔B〕雙曲線〔C〕拋物線〔D〕圓例35.的周長是16，，B那么動點的軌跡方程是()(A)(B)(C)(D)例36.橢圓中斜率為的平行弦中點的軌跡方程為.例37.動圓P與定圓C:〔x＋2〕＋y＝１相外切，又與定直線l：x＝１相切,那么動圓的圓心P的軌跡方程是______________.例38.在直角坐標系中,,那么點的軌跡方程是______.圓錐曲線綜合問題直線與圓錐曲線的位置關系⑴直線與圓錐曲線的位置關系和判定直線與圓錐曲線的位置關系有三種情況：相交、相切、相離.直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過消元得到一個一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、、.⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個交點坐標分別為,那么它的弦長注:實質上是由兩點間距離公式推導出來的,只是用了交點坐標設而不求的技巧而已(因為，運用韋達定理來進行計算.當直線斜率不存在是,那么.注:1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結合，既熟練掌握方程組理論，又關注圖形的幾何性質，以簡化運算。2.當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法.3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。圓錐曲線綜合問題例39.AB為過橢圓=1中心的弦，F(xiàn)(c，0)為橢圓的右焦點，那么△AFB的面積最大值是()(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc例40.假設直線y＝kx＋2與雙曲線的右支交于不同的兩點，那么k的取值范圍是〔〕,,,,例41.假設雙曲線x2－y2=1右支上一點P(a,b)到直線y=x的距離為，那么a＋b的值是().或(D)2或－2圓錐曲線綜合問題例42.拋物線y=x2上的點到直線2x-y=4的距離最近的點的坐標是())(B)(1,1)(C)()(D)(2,4)例43.拋物線y2=4x截直線所得弦長為3，那么k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4例44.把曲線按向量平移后得曲線，曲線有一條準線方程為，那么的值為〔〕 例45.如果直線與雙曲線沒有交點，那么的取值范圍是.例46.拋物線上兩點關于直線對稱，且，那么m的值為.例47.以雙曲線－y2=1左焦點F，左準線l為相應焦點、準線的橢圓截直線y=kx+3所得弦恰被x軸平分，那么k的取值范圍是___________.例48.雙曲線3x2-y2=1上是否存在關于直線y=2x對稱的兩點A、B?假設存在，試求出A、B兩點的坐標；假設不存在，說明理由.數(shù)學根底知識與典型例題(第八章圓錐曲線)答案例1.D例2.B例3.C先考慮M+m=2a，然后用驗證法例4.B提示：e=,P點到左準線的距離為2.5，它到左焦點的距離是2，2a=10,P點到右焦點的距離是8，∴P點到右焦點的距離與到左焦點的距離之比是4:1;例5.B∵，∴.例6.C提示：橢圓3x2＋4y2=48中，a=4,c=2,e=,設橢圓上的P點到右準線的距離為d，那么=,∴|AP|＋2|PF|=|AP|＋d,∴當AP平行于x軸且P點在A點與右準線之間時，|AP|＋d為一直線段，距離最小，此時P點縱坐標等于，∴P點坐標是(2,)例7.(3,4)或(-3,4)例8.(1)或;(2);(3)或;(4)或.例9.≤例10.解:設橢圓方程為+=1,(a>b>0)⑴PQ⊥x軸時，F(xiàn)(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=與題設e=不符,所以PQ不垂直x軸.⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,所以橢圓方程可化為:3x2+12y2-4c2=0,將P得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2由|PQ|=得·=①∵OP⊥OQ,∴·=-1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②把，代入，解②得k2=，把代入①解得c2=3∴a2=4,b2=1，那么所求橢圓方程為+y2=1.例11.B例12.C例13.D例14.C例15.C例16.A假設,由雙曲線定義且,解得而由勾股定理得[點評]考查雙曲線定義和方程思想.例17.例18.例19.⑴設雙曲線方程為(λ≠0),∴∴,∴雙曲線方程為;⑵設雙曲線方程為∴,解之得k=4,∴雙曲線方程為評注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為(λ≠0)，當λ>0時，焦點在x軸上；當λ<0時，焦點在y軸上。與雙曲線共焦點的雙曲線為(a2+k>0，b2-k>0)。比擬上述兩種解法可知，引入適當?shù)膮?shù)可以提高解題質量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準確地理解解析幾何的根本思想.例20.解題思路分析：法一：顯然AB斜率存在設AB：y-2=k(x-1)由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0當△>0時，設A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕那么∴k=1，滿足△>0∴直線AB：y=x+1法二：設A〔x1,y1〕，B〔x2,y2〕那么兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)∵x1≠x2∴∴∴AB：y=x+1代入得：△>0評注：法一為韋達定理法，法二稱為點差法，當涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理。在利用點差法時，必須檢驗條件△>0是否成立?！?〕此類探索性命題通?？隙M足條件的結論存在，然后求出該結論，并檢驗是否滿足所有條件.此題應著重分析圓的幾何性質，以定圓心和定半徑這兩定為中心設A、B、C、D共圓于⊙OM，因AB為弦，故M在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦，故圓心M為CD中點。因此只需證CD中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A〔-1，0〕，B〔3，4〕又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0設C〔x3,y3〕，D〔x4,y4〕，CD中點M〔x0,y0〕那么∴M〔-3，6〕∴|MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中點，M〔-3，6〕為圓心，為半徑的圓上評注：充分分析平面圖形的幾何性質可以使解題思路更清晰，在復習中必須引起足夠重視.例21.B()例22.B例23.B(過P可作拋物線的切線兩條，還有一條與x軸平行的直線也滿足要求。)例24.C作為選擇題可采用特殊值法,取過焦點，且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所形成線段分別為p,q，那么p=q=|FK|,例25.解析：運用拋物線的準線性質.答案：B例26.x2=8y例27.－p2例28.例29.例30.解：由題意，直線AB不能是水平線，故可設直線方程為：.又設，那么其坐標滿足消去x得由此得∴因此,即.故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H〔〕是AB的中點，故由前已證OH應是圓H的半徑，且.從而當k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.此時，直線AB的方程為：x=2p.注:1.解決直線和圓錐曲線的位置關系問題，一般方法是聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，必須討論二次項系數(shù)和判別式△，利用韋達定理尋找兩根之和與兩根之積之間的關系．求解有時借助圖形的幾何性質更為簡潔．此題設直線方程為x=ky+2p；因為直線過x軸上是點Q(2p，0)，通?？梢赃@樣設，可防止對直線的斜率是否存在討論．2．凡涉及弦的中點及中點弦問題，利用平方差法；涉及垂直關系往往也是利用韋達定理，設而不求簡化運算．3．在引入點參數(shù)(此題中以AB弦的兩個端點的坐標作為主參數(shù))時，應盡量減少參數(shù)的個數(shù)，以便減少運算量．由OA⊥OB得x1x2+y1y2=O這個關系對于解決此類問題十分有用．4．列出目標函數(shù)，|OH|=P，運用函數(shù)思想解決解析幾何中的最值問題是解決此類問題的根本思路，也可利用根本不等式a2+b2≥2ab當且僅當a=b時“=”成立求解．例31.B例32.D例33.C例34.A例35.B例36.9x+16y=0(橢圓內局部例37.y２＝－8x例38.例39.解析：∵S△AFB=2S△AOF，∴當點A位于短軸頂點處面積最大.答案：D例40.D41.B42.B數(shù)形結合估算出D例43.D例40.C∵由得曲線的準線為,∴焦點在軸上且,,∴,∴例45.k<例46.例47.(0，)例48.解：設AB：y=x+m,代入雙曲線方程得11x2+4mx4(m2+1)=0,這里△=(4m)24×11［4(m2+1)］=16(2m2+11)＞設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0),那么x1+x2=，∴x0=,y0=x0+m=,假設A、B關于直線y=2x對稱，那么M必在直線y=2x上，∴=得m=1，由雙曲線的對稱性知，直線y=x與雙曲線的交點的A、B必關于直線y=2x對稱.∴存在A、B且求得A(，)，B(，)

數(shù)學根底知識與典型例題〔第十章排列、組合、概率與統(tǒng)計〕排列與組合1．分類計數(shù)原理:完成一件事，有n類方法，在第1類方法中有種不同的方法，在第2類方法中有種不同的方法，……，在第n類方法中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=n1+n2+n3+…+nM種不同的方法．2.分步計數(shù)原理:完成一件事,需要分成n個步驟,做第一步有種不同的方法,做第二步有種不同的方法,……,做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=n1·n2·n3·…nM種不同的方法．注：分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是排列組合的根底和核心，既可用來推導排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題。它們的共同點都是把一個事件分成假設干個分事件來進行計算。只不過利用分類計算原理時，每一種方法都獨立完成事件；如需連續(xù)假設干步才能完成的那么是分步。利用分類計數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨立性和并列性；利用分步計數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性.比擬復雜的問題，常先分類再分步。3.⑴排列的定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.⑵排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號表示.其中n，m∈，并且m≤n．⑶排列數(shù)公式:當m=n時，排列稱為全排列，排列數(shù)為=記為n!,且規(guī)定O!=1.注：;4.⑴組合的定義:從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.⑵組合數(shù)的定義:從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．用符號表示.⑶組合數(shù)公式:.規(guī)定，其中m，n∈N+，m≤n.注:排列是“排成一排”，組合是“并成一組”,前者有序而后者無序.排列與組合⑷組合數(shù)的兩個性質:①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的.②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，那么需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，那么需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有.5．解排列、組合題的根本策略與方法(Ⅰ)排列、組合問題幾大解題方法：①直接法;②排除法;③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原那么.⑥調序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調序的作用，即假設n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.(Ⅱ)排列組合常見解題策略：①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略〔處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列〕；④正難那么反，等價轉化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構造模型的策略.6.二項式定理:⑴對于，,這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的展開式.注:展開式具有以下特點：項數(shù)：共有項；系數(shù)：依次為組合數(shù)且每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開.⑵二項展開式的通項：的展開式第r+1為.⑶二項式系數(shù)的性質.①二項展開式中的叫做二項式系數(shù)②在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；即排列與組合③二項展開式的中間項二項式系數(shù)最大且當時，二項系數(shù)是逐漸增大，當時，二項式系數(shù)是逐漸減小的．(Ⅰ)當n是偶數(shù)時,中間項是第項,它的二項式系數(shù)最大;(Ⅱ)當n是奇數(shù)時,中間項為兩項,即第項和第項,它們的二項式系數(shù)最大.④系數(shù)和：所有二項式系數(shù)的和：;奇數(shù)項二項式系數(shù)的和＝偶數(shù)項而是系數(shù)的和:.⑤⑷如何來求展開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項為，故在中含的項為.其系數(shù)為.⑸二項式定理的應用：解決有關近似計算、整除問題，運用二項展開式定理并且結合放縮法證明與指數(shù)有關的不等式。排列與組合例1.3個班分別從5個景點中選擇1處游覽，不同的選法種數(shù)是()(A)5(B)3(C)A(D)C例2.5本不同的課外讀物分給5位同學,每人一本,那么不同的分配方法有()(A)20種(B)60種(C)120種(D)100種例3.6個人排成一排，甲、乙、丙必須站在一起的排列種數(shù)為().

(A) (B) (C) (D)例4.如果集合A={x│≤21}，那么組成集合A的元素個數(shù)有().

(A)1個 (B)3個 (C)6個 (D)7個例5.如果的展開式中各項系數(shù)之和為128,那么展開式中的系數(shù)是()(A)7(B)(C)21(D)例6.設(1+x)+(1+x)+…+(1+x)=a+ax+ax+…+ax那么a=()(A)C(B)C(C)2C(D)C例7.在的展開式中，的系數(shù)是()(A)-297(B)-252(C)297(D)207例8.對于小于55的自然數(shù)，積(55-n)(56-n)……(68-n)(69-n)等于()(A)A(B)A(C)A(D)A例9.假設(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，那么a1+a2+…+a8的值為_______.排列與組合例10.一個同心圓形花壇，分為兩局部，中間小圓局部種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N)等份，種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩局部種植不同顏色的花.⑴如圖1，圓環(huán)分成的3等份為a1，a2，a3，有多少不同的種植方法？如圖2，圓環(huán)分成的4等份為a1，a2，a3，a4，有多少不同的種植方法？⑵如圖3，圓環(huán)分成的n等份為a1，a2，a3，……，an，有多少不同的種植方法？概率1.隨機事件及其概率:⑴必然事件:在一定的條件下必然要發(fā)生的事件,叫做必然事件.⑵不可能事件:在一定的條件下不可能發(fā)生的事件,叫做不可能事件.⑶隨機事件:在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做隨機事件.⑷隨機事件的概率:一般地,在大量重復進行同一試驗時,事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù),在它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率,記作.⑸概率從數(shù)量上反映了一個事件的可能性的大小,它的取值范圍是,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.2.等可能事件的概率:⑴根本領件:一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結果稱為一個根本領件.⑵等可能事件的概率:如果一次試驗由個根本領件組成,而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個根本領件的概率都是,如果某個事件包含的結果有個,那么事件的概率為.3.⑴互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.⑵對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.①對立事件的概率和等于1：.②互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.從集合的角度看，由事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集I中由事件A所含的結果組成的集合的補集.概率4.相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.注:獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.⑴兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A·B)=P(A)·P(B).證明：設甲試驗共有N1種等可能的不同結果，其中屬于A發(fā)生的結果有m1種，乙試驗共有N2種等可能的不同結果，其中屬于B發(fā)生的結果有