分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（第1課時）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

1第6章《計數(shù)原理》人教A版2019選擇性必修第三冊6.1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（第1課時）1.通過實例能歸納總結(jié)出分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理;2.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.3.能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.4.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算。學(xué)習(xí)目標

汽車號牌的序號一般是從26個英文字母、10個阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個，并按適當(dāng)順序排列而成．隨著人們生活水平的提高，家庭汽車擁有量迅速增長，汽車號牌序號需要擴容．那么，交通管理部門應(yīng)如何確定序號的組成方法，才能滿足民眾的需求呢?這就需要“數(shù)(shǔ)出”某種汽車號牌序號的組成方案下所有可能的序號數(shù)，這就是計數(shù)．

日常生活、生產(chǎn)中類似的問題大量存在．

例如，幼兒會通過一個一個地數(shù)的方法，計算自己擁有玩具的數(shù)量；

學(xué)校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要舉行多少場比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號，顏色的不同排列表示不同的信號，需要知道共可以組成多少種不同的信號……

如果問題中數(shù)量很少，一個一個地數(shù)也不失為一種計數(shù)的好方法．

但如果問題中數(shù)量很多，我們還一個一個地去數(shù)嗎?環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

在小學(xué)我們學(xué)了加法和乘法，這是將若干個“小”的數(shù)結(jié)合成“較大”的數(shù)最基本的方法．

這兩種方法經(jīng)過推廣就成了本章將要學(xué)習(xí)的分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．

這兩個原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，利用兩個計算原理還可以得到兩類特殊計數(shù)問題的計數(shù)公式一排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計數(shù)問題．

作為計數(shù)原理與計數(shù)公式的一個應(yīng)用，本章我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項式定理．

計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法．但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高．

能否設(shè)計巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢?下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數(shù)計數(shù)方法．用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼?探究你能說一說這個問題的特征嗎?首先，這里要完成的事情是“給一個座位編號”；其次是“或”字的出現(xiàn)：一個座位編號用一個英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字表示．因為英文字母與阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號碼也互不相同．這兩類號碼數(shù)相加就得到號碼的總數(shù)．上述計數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類標準，根據(jù)問題條件分為字母號碼和數(shù)字號碼兩類；（2）分別計算各類號碼的個數(shù)；（3）各類號碼的個數(shù)相加，得出所有號碼的個數(shù)．你能舉一些生活中類似的例子嗎？環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，兩類不同方案中的方法互不相同．例1

在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，如表6.1-1．表6.1-1A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)管理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇?分析：要完成的事情是“選一個專業(yè)”．因為這名同學(xué)在A，B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又因為這兩所大學(xué)沒有共同的強項專業(yè)，所以符合分類加法計數(shù)原理的條件．解：這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)中的一所．在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法．因為沒有一個強項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為探究如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢?環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念這里要完成的事情仍然是“給一個座位編號”，但與前一問題的要求不同．在前一問題中，用26個英文字母中的任意一個或10個阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個，都可以給出一個座位號碼．但在這個問題中，號碼必須由一個英文字母和一個作為下標的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個號碼要經(jīng)過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個步驟．用圖6.1-1所示的方法可以列出所有可能的號碼．字母

數(shù)字

得到的號碼

A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9樹形圖我們還可以這樣來思考：由于前6個英文字母的任意一個都能和9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼,而且它們各不相同,因此共有6×9=54個不同的號碼.

解決計數(shù)問題常用的“樹狀圖”．

你能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎？探究你能說一說這個問題的特征嗎?上述問題要完成的一件事情仍然是“給一個座位編號”，其中最重要的特征是“和”字的出現(xiàn)：一個座位編號由一個英文字母和一個阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成．因此得到一個座位號要經(jīng)過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個步驟，每一個英文字母與不同的數(shù)字組成的號碼是互不相同的．一般地，有如下分步乘法計數(shù)原理：無論第1步采用哪種方法，與之對應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù)．環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念例2

某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法?分析：要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可以分兩個步驟：第1步，選男生；第2步，選女生．解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法．探究如果完成一件事需要三個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?如果完成一件事情需要n個步驟，做每一步都有若于種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢?例3

書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．（1）從書架上任取1本書，有多少種不同取法?（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：（1）要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；（2）要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個步驟完成．解：（1）從書架上任取1本書，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運用例3

書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．（1）從書架上任取1本書，有多少種不同取法?（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：（1）要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；（2）要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個步驟完成．（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三個步驟完成：第1步，從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為相同點:回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法總數(shù)的問題．1.分類計數(shù)原理加法與分步乘法計數(shù)原理的異同區(qū)別在于:分類計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用任何一種方法都可以做完這件事；

分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事．

加法計數(shù)原理：針對的是“分類”問題.各類方法相互獨立.

乘法計數(shù)原理：針對的是“分步”問題。

每步相互依存。環(huán)節(jié)六:歸納總結(jié)，反思提升環(huán)節(jié)七：目標檢測，作業(yè)布置完成教材：教材第5?6頁練習(xí)第1,3題.練習(xí)

第5頁1．填空題（1）一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數(shù)是

；（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是

．ABC963．書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，有多少種不同的取法?（1）從書架上任取1本書，有兩類方法：第1類方法是從上層取1本數(shù)學(xué)書，有6種取法；第2類方法是從下層取1本語文書，有5種取法．（2）從書架的上、下層各取1本書，可以分成兩個步驟完成：第1步，從上層取1本數(shù)學(xué)書，有6種取法；第