第七章 不可壓縮流體動力學基礎

第七章不可壓縮流體動力學基礎重點、難點內容流體微團運動的分析有旋流動、無旋流動理想流體運動微分方程渦線、渦管以及斯托克斯定理

第一節(jié)流體微團運動的分析分析流場中任意流體微團運動是研究整個流場運動的基礎。流體運動要比剛體運動復雜得多，流體微團基本運動形式有平移運動，旋轉運動和變形運動等，而變形運動又包括線變形和角變形兩種。平移運動、旋轉運動、線變形運動和角變形運動右圖為任意t時刻在平面流場中所取的一個正方形流體微團。由于流體微團上各點的運動速度不一致，經(jīng)過微小的時間間隔后，該流體微團的形狀和大小會發(fā)生變化，變成了斜四邊形。從xoy平面看速度分解7.1流體微團的運動分析二、線變形率：單位長度在單位時間內的伸長量線變形率7.1流體微團的運動分析流體的特征？7.1流體微團的運動分析三、角變形率

1.角變形

角變形率O’O2.角變形率7.1流體微團的運動分析四、旋轉角速度旋轉角速度流體微團的運動形式與微團內各點速度的變化有關。設方形流體微團中心M的流速分量為ux

和uy

（圖7-1)，則微團各側邊的中點A、B、C、D的流速分量分別為：可見，微團上每一點的速度都包含中心點的速度以及由于坐標位置不同所引起的速度增量兩個組成部分。A、B、C、D的流速分量平移運動速度微團上各點公有的分速度ux

和uy

，使它們在dt

時間內均沿x方向移動一距離uxdt,沿y方向移動一距離uydt

。因而，我們把中心點M的速度

ux和uy

，定義為流體微團的平移運動速度。線變形運動微團左、右兩側的A點和C點沿x方向的速度差為，當這速度差值為正時，微團沿x方向發(fā)生伸長變形；當它為負時，微團沿x方向發(fā)生縮短變形。線變形速度單位時間，單位長度的線變形稱為線變形速度。以θx表示流體微團沿x方向的線變形速度，則：三元流動線變形速度微團的旋轉和角變形旋轉角速度把對角線的旋轉角速度定義為整個流體微團在平面上的旋轉角速度。角變形速度直角邊AMC（或BMD）與對角線EMF的夾角的變形速度定義為流體微團的角變形速度。亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度分解定理第二節(jié)有旋流動流體微團的旋轉角速度在流場內不完全為零的流動稱為有旋流動。自然界和工程中出現(xiàn)的流動大多數(shù)是有旋流動，例如:龍卷風管道流體運動繞流物體表面的邊界層及其尾部后面的流動。無旋流動有旋流動有旋流動與無旋流動渦量渦量連續(xù)性微分方程渦線及渦線微分方程在渦量場中可以畫出表征某一瞬時流體質點的旋轉角速度向量方向的曲線，稱為渦線。在給定的瞬時，渦線上各點的角速度向量在該點處與渦線相切。渦線渦管在渦量場中任意畫一封閉曲線，通過這條曲線上的每一點所作出的渦線構成一管狀的曲面，稱為渦管。渦通量渦管強度守恒定理渦管截面愈小的地方，流體的旋轉角速度愈大。斯托克斯定理沿任意封閉曲線s的速度環(huán)量等于通確該曲線為邊界的曲面A的渦通量。速度環(huán)量通常，渦通量是利用速度環(huán)量這個概念來計算的。在流場中任取一封閉曲線s則流速沿曲線s的積分稱為曲線s上的速度環(huán)量。并規(guī)定積分沿s逆時針方向繞行為s的正方向。微元體及其表面的質量通量微元體內的質量變化率輸入微元體的質量流量質量守恒直角坐標系中的連續(xù)性方程－輸出微元體的質量流量＝y(tǒng)

xz

dzdxdy第三節(jié)不可壓縮流體連續(xù)性微分方程連續(xù)性方程1、x方向：dt時間內沿從六面體x處與x+dx

處輸入與輸出的質量差：Y方向：

；Z方向：2、dt時間內，整個六面體內輸入與輸出的質量差：3、微元體內的質量變化：從而有：或：連續(xù)性方程連續(xù)方程物理意義：流體在單位時間內流經(jīng)單位體積空間輸出與輸入的質量差與其內部質量變化的代數(shù)和為零。矢量形式：（適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體）上式表明，對于不可壓縮液體，單位時間單位體積空間內流入與流出的液體體積之差等于零，即液體體積守恒。適用范圍：恒定流或非恒定流；理想液體或實際液體。連續(xù)性方程是流體流動微分方程最基本的方程之一。任何流體的連續(xù)運動均必須滿足。一維流動的連續(xù)方程若流體不可壓縮：例：已知不可壓流體速度,估算w。解：不可壓流體方程的物理意義：方程右邊是：作用在單位體積流體上的表面力和體積力在各坐標上的分量。方程可簡略表示成：以單位體積的流體質量為基準的牛頓第二運動定律理想液體運動微分方程方程左邊是：任意時刻t通過考察點A的流體質點加速度的三個分量；y

xz

dzdxdy在X方向有：兩邊除以（即對單位質量而言），整理得：理想液體運動微分方程（歐拉運動微分方程）適用范圍：恒定流或非恒定流；不可壓縮流體或可壓縮流體當液體平衡時：則可以得到歐拉平衡微分方程。運動方程應力狀態(tài)及切應力互等定律yxz微元體上X和Z方向的表面力粘性流場中任意一點的應力有9個分量，包括3個正應力分量和6個切應力分量：應力狀態(tài)：切應力互等定律在6個切應力分量中，互換下標的每一對切應力是相等的。微元體表面力的總力分量X方向的表面力：Y方向的表面力：Z方向的表面力：動量流量及動量變化率y

xz

dzdxdy動量在微元體表面的輸入與輸出動量流量

動量通量動量流量x流通面積＝圖中標注的是動量的輸入或輸出方向，而動量或其通量本身的方向均指向x方向，即分速度vx的方向。x方向：輸入輸出微元體的動量流量y方向：z方向：微元體內的動量變化率x方向：y方向：z方向：流體的瞬時質量為X方向的瞬時動量為x方向的運動方程：以應力表示的運動方程y方向的運動方程：z方向的運動方程：注：上式就是以應力表示的粘性流體的運動方程，適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體。方程的物理意義：方程左邊是：任意時刻t通過考察點A的流體質點加速度的三個分量；方程右邊是：作用在單位體積流體上的表面力和體積力在各坐標上的分量。方程可簡略表示成：這就是以單位體積的流體質量為基準的牛頓第二運動定律粘性流體運動微分方程以應力表示的運動方程，需補充方程才能求解。Navier－Stokes方程對一維流動問題：補充方程：牛頓剪切定律對粘性流體流動問題：補充方程：廣義的牛頓剪切定律即：牛頓流體本構方程目的將應力從運動方程中消去，得到由速度分量和壓力表示的粘性流體運動微分方程，即N-S方程。關鍵：尋求流體應力與變形速率之間的關系N-S方程牛頓流體的本構方程引入的基本假設：為了尋求流體應力與變形速率之間的關系，Stokes提出三個基本假設：應力與變形速率成線性關系;應力與變形速率之間的關系各向同性；靜止流場中，切應力為零，各正應力均等于靜壓力牛頓流體的本構方程：本構方程的討論：正應力中的粘性應力：流體正應力與三個速度偏導數(shù)有關(即:線變形率)，同固體力學中的虎克定律。線變形率與流體流動：從流體流動角度看，線變形率的正負反映了流體的流動是加速還是減速；體變形率的正負反映了流動過程中流體體積是增加還是減少。正應力與線變形速率：附加粘性正應力附加粘性正應力的產(chǎn)生是速度沿流動方向的變化所導致的。正應力與壓力：由于粘性正應力的存在，流動流體的壓力在數(shù)值上一般不等于正應力值。但有：這說明：三個正壓力在數(shù)值上一般不等于壓力，但它們的平均值卻總是與壓力大小相等。切應力與角邊形率：流體切應力與角變形率相關。牛頓流體本構方程反映了流體應力與變形速率之間的關系，是流體力學的虎克定律（反映應力和應變的關系）。流體運動微分方程——Navier－Stokes方程適用于牛頓流體常見條件下N－S方程的表達形式：適用于牛頓流體常粘度條件下N－S方程：矢量形式：適用于牛頓流體不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：適用于牛頓流體常粘度條件下不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：非定常項定常流動為0靜止流場為0對流項靜止流場為0蠕變流時≈0單位質量流體的體積力單位質量流體的壓力差擴散項（粘性力項）對靜止或理想流體為0高速非邊界層問題≈0流體流動微分方程的應用連續(xù)方程和N－S方程是粘性流體流動應遵循的質量守恒和動量守恒的數(shù)學表達式。N-S方程應用概述封閉條件：理論上方程是封閉的，但若要考慮到物性參數(shù)的變化，應將物性變化的關系作為補充方程。方程求解：N－S方程無普遍解；特殊條件下，有可能獲得準確或近似的分析解；通常通過數(shù)值計算獲得離散解。應用條件：只適用于牛頓流體流動微分方程的應用求解步驟根據(jù)問題特點對一般形式的運動方程進行簡化，獲得針對具體問題的微分方程或方程組。提出相關的初始條件和邊界條件。

初始條件：非穩(wěn)態(tài)問題邊界條件固壁－流體邊界：流體具有粘性，在與壁面接觸處流體速度為零