【北師大版】九年級數(shù)學(xué)下冊《全冊課件+全冊習(xí)題課件》（74套課件大合集）

北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊全冊課件合集+全冊習(xí)題講授課件74套課件大合集1-1085頁—授課課件1086—1555頁—習(xí)題講授課件第一章

直角三角形的邊角關(guān)系1.1銳角三角函數(shù)第1課時

正切1課堂講解正切的定義正切的應(yīng)用坡度(坡角)與正切的關(guān)系2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w.在圖1-1中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？

你有幾種判斷方法？(2)在圖1-2中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？1知識點正切的定義知1－導(dǎo)(1) 直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系？有什么關(guān)系?如果改變B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么

結(jié)論?知1－導(dǎo)知1－導(dǎo)歸

納改變點B的位置，的值始終不變。知1－講如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°我們把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即ABC∠A的對邊┌斜邊∠A的鄰邊例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則tanA＝________．知1－講由正切定義可知tanA＝

在本題中已知兩邊之比，可運用參數(shù)法，由可設(shè)BC＝15a，AB＝17a，從而可用勾股定理表示出第三邊AC＝8a，再用正切的定義求解得tanA＝導(dǎo)引：總

結(jié)知1－講直角三角形中求銳角正切值的方法：(1)若已知兩直角邊，直接利用正切的定義求解；(2)若已知一直角邊及斜邊，另一直角邊未知，可先利用勾股定理求出未知的直角邊，再利用正切的定義

求解．例2〈桂林〉如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足為D，則tan∠BCD＝________．知1－講根據(jù)題意得∠BCD＝∠CAB，所以tan∠BCD＝tan∠CAB＝導(dǎo)引：總

結(jié)知1－講直接求某個銳角的正切值有困難時，可以考慮利用中間量進行轉(zhuǎn)化，可以是相等的角作為中間量，還可以利用相似，得到相等的比作為中間量．【2017·金華】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝

5，BC＝3，則tanA的值是()A.

B.

C.

D.知1－練1A【中考·包頭】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜

邊AB是直角邊BC的3倍，則tanB的值是()A.

B.3

C.

D.知1－練2D如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶3，則tanB的值是(

)3

C.

D.知1－練3A知1－練4一個直角三角形中，如果各邊的長度都擴大為原來

的2倍，那么它的兩個銳角的正切值(

)A．都沒有變化B．都擴大為原來的2倍C．都縮小為原來的一半D．不能確定是否發(fā)生變化A2知識點正切的應(yīng)用知2－講議一議在圖1-3中，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎?總

結(jié)知2－講（來自教材）tanA的值越大，梯子越陡.知2－講1.當梯子與地面所成的角為銳角A時，tanA＝tanA的值越大，梯子越陡．

因此可用梯子的傾斜角的正切值來描述梯子的傾斜程度．2.當傾斜角確定時，其對邊與鄰邊之比隨之確定，這一比值只與傾斜角的大小有關(guān)，而與物體的長度無關(guān)．知2－講例3如圖表示甲、乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?解：甲梯中，乙梯中，因為tanα＞tanβ，所以甲梯更陡.總

結(jié)知2－講(1)傾斜程度，其本意指傾斜角的大小，一般來說，傾

斜角較大的物體，就說它放得更“陡”．(2)利用物體與地面夾角的正切值來判斷物體的傾斜程

度，因為夾角的正切值越大，則夾角越大，物體放

置得越“陡”．解：∵△ABC是等腰三角形，

BD⊥AC，∴D是AC的中點．

∴DC＝AD＝AC＝2.在Rt△BCD中，tanC＝＝＝.知2－練如圖，△ABC是等腰三角形，你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanC嗎？1BC2(2016·安順)如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是(

)A．2

B.

C.

D.知2－練D知2－練在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，且CD＝2，

BD＝8，則tanA的值是(

)A．2B．4C.D.B知2－練如圖，點A(t，3)在第一象限，OA與x軸所夾的

銳角為α，tanα＝

，則t的值是(

)A．1B．1.5C．2D．3C知2－練5【中考·煙臺】如圖，BD是菱形ABCD的對角線，

CE⊥AB于點E，交BD于點F，且點E是邊AB的

中點，則tan∠BFE的值是(

)A.B．2C.D.D知3－講3知識點坡度(坡角)與正切的關(guān)系探究一、如圖是某一大壩的橫斷面：坡面AB的垂直高度與水平寬度AE的長度之比是α的什么三角函數(shù)？αACBDE坡面AB與水平面的夾角叫做坡角.知3－講坡度的定義：

坡面的垂直高度與水平寬度之比叫做坡度，記作i

.αABEhl坡度的概念，一要記住是一個比值而不是角度，二要明確坡度其實就是坡角的正切．例4以下對坡度的描述正確的是(

)A．坡度是指傾斜角的度數(shù)B．坡度是指斜坡的鉛直高度與水平寬度的比C．坡度是指斜坡的水平寬度與鉛直高度的比D．坡度是指斜坡的高度與斜坡長度的比錯解分析：概念不清，誤以為坡度是一個角度，而猜測

坡度即為傾斜角的度數(shù)．知3－講B解：由勾股定理可知，AC＝＝≈192.289(m)，∴tan∠BAC＝≈≈0.286.所以，山的坡度大約是0.286.知3－練如圖，某人從山腳下的點A走了200m后到達山頂?shù)狞cB，已知點B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度（結(jié)果精確到0.001).1B如圖，梯子(長度不變)跟地面所成的銳角為∠A.關(guān)于∠A的正切值與梯子的傾斜程度的關(guān)系，下列敘述正確的是(

)A．tanA的值越大，梯子越緩B．tanA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越大，梯子越陡D．梯子的陡緩程度與∠A的正切值無關(guān)知3－練2C3如圖，鐵路路基橫斷面為一個四邊形，其中AD∥BC.

若兩斜坡的坡度均為i＝2∶3，頂寬是3m，路基高是4m，則路基的下底寬是(

)A．7mB．9mC．12mD．15m知3－練D正切：∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，

即tanA＝ABC∠A的對邊a┌斜邊c∠A的鄰邊b1知識小結(jié)坡度(坡角)與正切的關(guān)系：坡度就是坡角的正切．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，則tanB＝________.易錯點：忽略求正切值的前提.2易錯小結(jié)第一章

直角三角形的邊角關(guān)系1.1銳角三角函數(shù)第2課時

正弦和余弦1課堂講解正弦余弦銳角三角函數(shù)的取值范圍2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升復(fù)習(xí)回顧∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，

即tanA＝ABC∠A的對邊a┌斜邊c∠A的鄰邊b1知識點正弦正弦：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的對

邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝知1－講例1如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC=200,

sinA=0.6,求BC的長.知1－講（來自教材》）在Rt△ABC中，∵即∴BC=200×0.6=120.解：C知1－練把Rt△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的正弦值(

)A．不變

B．縮小為原來的C．擴大為原來的3倍

D．不能確定A知1－練【2017·日照】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝

13，AC＝5，則sinA的值為(

)

A.

B.C.D.B知1－練【2017·懷化】如圖，在平面直角坐標系中，點A的

坐標為(3，4)，那么sinα的值是(

)

A.

B.

C.

D.C知1－練(2016·樂山)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，

AD⊥BC于點D，則下列結(jié)論不正確的是(

)A．sinB＝

B．sinB＝C．sinB＝

D．sinB＝C知1－練【中考·杭州】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB

＝4，sinA＝

，則斜邊上的高等于(

)A.B.

C.D.B2知識點余弦余弦：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA＝知2－講知2－講例2如圖，在Rt△ABC中，

∠C＝90°，AC＝12，

BC＝5，求sinA，cosA的值．導(dǎo)引：在Rt△ABC中，已知兩直角邊長，可先用勾股定理求

斜邊長，再利用定義分別求出sinA，cosA的值．

解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝∴sinA＝cosA＝總

結(jié)知2－講在直角三角形中，求銳角的正弦和余弦時，一定要根據(jù)正弦和余弦的定義求解．其中未知邊的長度往往借助勾股定理進行求解．知2－講例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

BC＝40，

求△ABC的周長和面積．已知BC＝40，求△ABC的周長，

則還需要求出其他兩邊的長，借

助sinA的值可求出AB的長，再

利用勾股定理求出AC的長即可，

直角三角形的面積等于兩直角邊

長乘積的一半．導(dǎo)引：知2－講解：∵sinA＝

∴AB＝∵BC＝40，sinA＝

，∴AB＝50.又∵AC＝

∴△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝120，△ABC的面積為

BC·AC＝×40×30＝600.總

結(jié)知2－講正弦的定義表達式sinA＝可根據(jù)解題需要變形為

BC＝ABsinA或AB＝余弦的定義表達式cosA＝也可變形為

AC＝ABcosA或AB＝.知2－練【2017·湖州】如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cosB的值是(

)

A.B.C.D.A知2－練【中考·崇左】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

AB＝13，BC＝12，則下列三角函數(shù)表示正確的

是(

)A.B.C.D.A知2－練已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝2，

∠A＝α，則AC的長為(

)A．2sinαB．2cosαC．2tanαD.D知2－練(2016·廣東)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐

標為(4，3)，那么cosα的值是(

)

A.B.C.D.D知3－講3知識點銳角三角函數(shù)的取值范圍銳角三角函數(shù)的取值范圍：

在Rt△ABC中，因為各邊邊長都是正數(shù)，且斜邊邊長

大于直角邊邊長，所以對于銳角A，有tanA＞0，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1.例4如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，

BC＝3，求∠A，∠B的三角函數(shù)值．由已知AC與BC的長可確定∠A與∠B的正切，但要

確定∠A與∠B的正弦與余弦，根據(jù)定義必須確定

斜邊AB的長，這就需要先用勾股定理計算AB的長．知3－講導(dǎo)引：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.∴sinA＝

cosA＝tanA＝sinB＝cosB＝tanB＝知3－講解：總

結(jié)知3－講求一個直角三角形中銳角的三角函數(shù)值時，①若已知兩邊長，先根據(jù)勾股定理求第三邊長，然后根

據(jù)概念直接求；②若已知兩邊的比，則設(shè)輔助未知數(shù)表示出兩邊長，然

后再用方法①求．若α是銳角，sinα＝3m－2，則m的取值范圍是(

)A.

＜m＜1B．2＜m＜3C．0＜m＜1D．m＞如果0°＜∠A＜90°，并且cosA是方程

(x－0.35)＝0的一個根，那么cosA＝_______．知3－練A0.35銳角三角函數(shù)定義：1知識小結(jié)ABC∠A的對邊a┌斜邊c∠A的鄰邊b銳角三角函數(shù)的取值范圍：對于銳角A，有tanA＞0，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1.已知x＝cosα(α為銳角)滿足方程2x2－5x＋2＝0，求cosα的值．易錯點：忽視銳角的余弦值的取值范圍.2易錯小結(jié)方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝

∵0＜cosα＜1，∴cosα＝常見錯解：方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝此時忽略了cosα(α為銳角)的取值范圍是0＜cos

α＜1，而錯得cosα＝2或cosα＝解：第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.230°，45°，60°

角的三角函數(shù)值1課堂講解30°，45°，60°角的三角函數(shù)值由特殊三角函數(shù)值求角同角(余角)三角函數(shù)間的關(guān)系2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升觀察一副三角尺，其中有幾個銳角？它們分別等于多少度？(1) sin30°等于多少？你是怎樣得到的？與同伴進行交流.(2)cos30°等于多少？tan30°呢？做一做(1) 60°角的三角函數(shù)值分別是多少？你是怎樣得到的?(2) 45°角的三角函數(shù)值分別是多少？你是怎樣得到的?(3) 完成下表：sinαcosαtanα 30° 45° 60°三角函數(shù)角α三角函數(shù)值1知識點30°，45°，60°角的三角函數(shù)值1．30°，45°，60°角的三角函數(shù)值如下表：知1－講

30°45°0°sinαcosαtanα1角α三角函數(shù)值三角函數(shù)例1計算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin260°+cos260°—tan45°.

(1)sin30。+cos45。

=(2)sin260°+cos260°-tan45°知1－講（來自教材）解：知1－練（來自教材）在△ABC中，∠C=90°，sinA=BC=20,

求△ABC的周長和面積.

在Rt△ABC中，∵sinA＝，BC＝20，∴AB＝＝＝25.∴由勾股定理得AC＝＝＝15.∴C△ABC＝AB＋BC＋CA＝25＋20＋15＝60，S△ABC＝BC·AC＝×20×15＝150.解：知1－練（來自教材）2計算： (1)sin60?！猼an45。；

(2)cos60°+tan60°；

原式＝－1＝解：解：原式＝＋＝知1－練（來自教材）(3)sin45°+sin60°—2cos45°.解：原式＝×＋－2×

＝＋－

＝.知1－練（來自教材）3 某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30°,高為7m.扶梯的長度是多少？

如圖，BC＝7m，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝14(m)．所以，扶梯的長度是14m.

解：知1－練(2016·天津)cos60°的值等于(

)A.B.1C.D.(中考·濱州)下列運算：sin30°＝

，

＝2，π0＝π，2-2＝-4，其中運算結(jié)果正確的個數(shù)為(

)A．4B．3C．2D．145DD知1－練【中考·包頭】計算sin245°＋cos30°·tan60°，其結(jié)果是(

)A．2B．1C.D.6A知1－練菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，∠AOC＝45°，OC＝

，則點B的坐標為(

)A．(，1)

B．(1，)

C．(＋1，1)

D．(1，

＋1)7C知1－練將寬為2cm的長方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長是(

)A.cmB.cmC.cmD．2cm8B2知識點由特殊三角函數(shù)值求角通過該表可以方便地知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值．它的另一個應(yīng)用：如果已知一個銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個銳角的度數(shù)．例如：若sinθ＝

，則銳角θ＝45°.知2－講知2－導(dǎo)

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=,AC=,求∠A、∠B的度數(shù).

∵tanA=

∴∠A=30°,∠B=60°..知2－講例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝

求∠A，

∠B的度數(shù)．導(dǎo)引：利用特殊角的三角函數(shù)值，查找值所對應(yīng)的角，再

利用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠B.解：∵cosA＝cos30°＝

∴∠A＝30°.∴∠B＝90°－30°＝60°.總

結(jié)知2－講在運用數(shù)形結(jié)合記憶法或增減規(guī)律記憶法記住特殊角的三角函數(shù)值后，很容易確定∠A的度數(shù)，從而可用兩銳角互余的關(guān)系計算∠B.（來自教材）在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB,cosB,tanB.

過點A作AD⊥BC于點D.∵△ABC是等腰三角形，∴BD＝CD＝BC＝3.在Rt△ABD中，∵AD＝＝4，∴sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝.解：知2－練知2－練(中考·慶陽)在△ABC中，若角A，B滿足|cosA－

|

＋(1－tanB)2＝0，則∠C的大小是(

)A．45°B．60°

C．75°D．105°D在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且sinA＝

，

cosB＝

，則△ABC的形狀是(

)A．直角三角形

B．鈍角三角形C．銳角三角形

D．不能確定知2－練3B若(tan

A－1)2＋|2cosB－|＝0，則△ABC是(

)A．直角三角形B．含有60°角的任意三角形C．等邊三角形D．頂角為鈍角的等腰三角形知2－練4D知3－講3知識點同角(余角)三角函數(shù)間的關(guān)系如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，令∠A＝α.(1)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系．①平方關(guān)系：sin2

α＋cos2

α＝1.②商關(guān)系：∵且tanα＝∴＝tanα.(2)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系．

sinA＝cosB．同理cosA＝sinB．

即任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，

任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.

∵tanA＝tanB＝

∴tanA·tanB＝1.

此結(jié)論適用于兩個角互為余角的情況.知3－講例3已知α為銳角，且cosα＝

求的值．運用同角三角函數(shù)的關(guān)系，由cosα的值可求得sinα

及tanα

的值，然后代入計算即可．知3－講導(dǎo)引：由sin2α＋cos2α＝1，sinα＞0，得sinα＝而cosα＝

所以sin

α＝因為＝tan

α，所以tanα＝故知3－講解：已知α為銳角，m＝sin2α＋cos2α，則(

)A．m＞1

B．m＝1C．m＜1D．m≥1在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝

則sinB

的值是(

)A.B.C.D.知3－練BA3在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝

則cosA

的值為(

)A.B.C.D.知3－練C已知α，β都是銳角，如果sinα＝cosβ，那么α與β之間滿足的關(guān)系是(

)A．α＝β

B．α＋β＝90°C．α－β＝90°D．β－α＝90°知3－練4B30°45°60°sinAcosAtanA1特殊角的三角函數(shù)值:1知識小結(jié)如圖，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，∠A＝60°，求BC的長．易錯點：忽視銳角的三角函數(shù)值應(yīng)在直角三角形中求解這一條件而致錯.2易錯小結(jié)在△ABC中，∵＝sinA，∴BC＝AB?sinA＝2sin60°＝2×＝3.錯解的原因是忽略了銳角三角函數(shù)使用的前提是在直角三角形中．本題中沒有明確指出△ABC是直角三角形，因此，不能直接得到

＝sinA，必須通過添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，再利用三角函數(shù)的定義來解決．如圖，過點C作CD⊥AB于點D.錯解：診斷：正解：在Rt△ADC中，∵cosA＝

，sinA＝，∴AD＝AC?cosA＝1×cos60°＝

，CD＝AC?sinA＝1×sin60°＝.在Rt△BDC中，BD＝AB－AD＝2－∴BC＝第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.3三角函數(shù)的計算1課堂講解用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值用計算器求已知三角函數(shù)值的對應(yīng)角用計算器探究三角函數(shù)的性質(zhì)2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升如圖，當?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點A到達點B時，它走過了200m.已知纜車行駛的路線與水平面的夾角為∠α=16°，那么纜車垂直上升的距離是多少？（結(jié)果精確到0.01m)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=ABsin16°.你知道sin16°是多少嗎？我們可以借助科學(xué)計算器求銳角的三角函數(shù)值.怎樣用科學(xué)計算器求三角函數(shù)值呢？1知識點用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值計算器的使用方法：(1)求整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值，在科學(xué)計算器的面

板上涉及三角函數(shù)的鍵有sin，cos和tan，當我們

計算整數(shù)度數(shù)的某銳角的三角函數(shù)值時，可選按這

三個鍵之一，然后再從高位到低位依次按出表示度

數(shù)的鍵，然后按＝鍵，屏幕上就會顯示出結(jié)果．知1－講(2)求非整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值，若度數(shù)的單位是用

度、分、秒表示的，在用科學(xué)計算器計算其三角函數(shù)

值時，同樣先按sin，cos或tan鍵，然后從高位到低位

依次按出表示度的鍵，再按°′″鍵，然后，從高位到

低位依次按出表示分的鍵，再按°′″鍵，然后，從高

位到低位依次按出表示秒的鍵，再按°′″鍵，最后按

＝鍵，屏幕上就會顯示出結(jié)果．知1－講例1用計算器計算:(結(jié)果精確到萬分位)(1)sin26°≈

；(2)sin82°48′15″≈________．已知銳角求三角函數(shù)值，按照正確的按鍵順序按鍵，

將屏幕顯示的結(jié)果按要求取近似值即可．知1－講導(dǎo)引：0.43840.9921總

結(jié)知1－講(1)依次按sin26＝鍵，得到數(shù)據(jù)再精確到萬分位即可；(2)依次按sin82°’”48°’”15°’”＝鍵，得到數(shù)據(jù)再

精確到萬分位即可．例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝23°，斜

邊c＝14，求∠A的對邊a的長．(結(jié)果精確到0.01)．

c是斜邊，而a是∠A的對邊，故可利用∠A的正弦求a.由sinA＝

則a＝c·sinA＝14sin23°，利用計算器

計算得a≈5.47.知1－講導(dǎo)引：解：總

結(jié)知1－講對于不是特殊角的三角函數(shù)，一般只能利用計算器進行計算．注意結(jié)果要符合題目的精確度要求．知1－練（來自教材）1用計算器求下列各式的值：(1)sin56°;(2)cos20.5°；(3)tan44°59'59"; (4)sin15°+cos61°+tan76°.解：(1)sin56°≈0.8290；(2)cos20.5°≈0.9367；(3)tan44°59′59″≈1.0000；(4)sin15°＋cos61°＋tan76°≈4.7544.知1－練（來自教材）2—個人由山底爬到山頂，需先爬坡角為40°的山坡300m，再爬坡角為30°的山坡100m，求山高（結(jié)果精確到0.1m).解：如圖，過點C作CE⊥AE于點E，過點B作BF⊥AE于點F，過點B作BD⊥CE于點D，則BF＝DE.在Rt△ABF中，BF＝ABsin40°；在Rt△CDB中，CD＝BCsin30°.∴CE＝CD＋DE＝CD＋BF＝BCsin30°＋ABsin40°＝100sin30°＋300sin40°≈242.8(m)．所以，山高約242.8m.知1－練【2017·威海】為了方便行人推車過某天橋，市政府在10m高的天橋一側(cè)修建了40m長的斜道(如圖所示)，我們可以借助科學(xué)計算器求這條斜道傾斜角的度數(shù)，具體按鍵順序是(

)A.2ndFsin0·25＝B.Sin2ndF0·25＝C.sin0·25＝D.2ndFcos0·25＝3A知1－練利用計算器求sin30°時，依次按鍵sin30°′″＝，

則計算器上顯示的結(jié)果是(

)A．0.5

B．0.707

C．0.866

D．1A知1－練【中考·威?！咳鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科學(xué)計算器求邊AC的長，則下列按鍵順序正確的是(

)A.5÷tan26＝B.5÷sin26＝C.5×cos26＝D.5×tan26＝5D知1－練用計算器驗證，下列等式正確的是(

)A．sin18°24′＋sin35°36′＝sin54°B．sin65°54′－sin35°54′＝sin30°C．2sin15°30′＝sin31°D．sin72°18′－sin12°18′＝sin47°42′6D2知識點用計算器求已知三角函數(shù)值的對應(yīng)角想一想

為了方便行人推自行車過某天橋，市政府在10m高的天橋兩端修建了40m長的斜道（如圖).這條斜道的傾斜角是多少？知2－講總

結(jié)知2－講（來自教材）如圖,在Rt△ABC中，那么是多少度呢?要解決這個問題，我們可以借助科學(xué)計算器.知2－講1．已知三角函數(shù)值，用計算器求角度，需要用到sin，cos，tan鍵的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和SHIFT鍵．2．具體操作步驟是：先按SHIFT鍵，再按sin，cos，tan鍵之一，再依次輸入三角函數(shù)值，最后按＝鍵，

則屏幕上就會顯示出結(jié)果．知2－講例3根據(jù)下列條件求銳角A的度數(shù)：(結(jié)果精確到1′)(1)sinA＝0.7321；(2)cosA＝0.2187；(3)tanA＝3.527.導(dǎo)引：利用sin，cos，tan鍵的第二功能計算，即先按SHIFT

鍵，再按sin或cos或tan鍵，然后輸入三角函數(shù)值，最

后按＝鍵，即可顯示結(jié)果．

知2－講解：(1)先按SHIFT

sin0.7321＝鍵，顯示：47.06273457，再

按°’”鍵，即可顯示47°3′45.84″，所以∠A≈47°4′.(2)先按SHIFTcos0.2187＝鍵，顯示：77.36731078，再

按°’”鍵，顯示77°22′2.32″，所以∠A≈77°22′.(3)先按SHIFTtan3.527＝鍵，顯示：74.17053081，再

按°’”鍵,顯示74°10′13.91″，所以∠A≈74°10′.總

結(jié)知2－講由值求角，計算器顯示的角度的單位是“度”，一般需要化為用“度、分、秒”表示的形式，用°’”鍵可實現(xiàn)兩者間的轉(zhuǎn)換．知2－練（來自教材）1已知sinθ=0.82904,求銳角θ的度數(shù).解：∵sinθ＝0.82904，∴θ≈56°0′1″.2一梯子斜靠在一面墻上?已知梯長4m，梯子位于地面上的一端離墻壁2.5m,求梯子與地面所成銳角的度數(shù).解：設(shè)梯子與地面所成的銳角為∠α，則cosα＝

＝

＝0.625.∴∠α≈51°19′4″.所以，梯子與地面所成的銳角的度數(shù)約為51°19′4″.已知sinα＝

，求α，若用科學(xué)計算器計算且結(jié)果以“度、分、秒”為單位，最后按鍵(

)A．AC/ONB.SHIFTC．MODE

D.°′″知2－練3D已知α為銳角，且tanα＝3.387，下列各值中與α最接近的是(

)A．73°33′

B．73°27′C．16°27′

D．16°21′在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科學(xué)計算器求∠A約等于(

)A．24°38′

B．65°22′C．67°23′D．22°37′知2－練45AD【中考·陜西】如圖，有一滑梯AB，其水平寬度AC為5.3m，鉛直高度BC為2.8m，則∠A的度數(shù)約為________(用科學(xué)計算器計算，結(jié)果精確到0.1°)．知2－練627.8°知3－講3知識點用計算器探究三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)值的大小有銳角的度數(shù)決定，與其在哪個直角三角形中無關(guān)，具體來說：(1)tanA隨著∠A的增大而增大，∠A越接近90°，tan

A的值就增加得越快，tanA可以等于任何一個正數(shù)．(2)sinA的值隨著銳角A的增大而增大；cosA的值隨著

銳角A的增大而減?。?已知α，β為銳角，且cosα是方程2x2＋5x－3＝0的一

個根，cosβ≥cosα，試求α的度數(shù)及β的取值范圍．先求出方程2x2＋5x－3＝0的根，從而得到cosα的值，

再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出α的度數(shù)，最后根據(jù)

銳角三角函數(shù)的增減性確定β的取值范圍．知3－講導(dǎo)引：解方程2x2＋5x－3＝0，得x1＝－3，x2＝∵0＜cosα＜1，且cosα是方程2x2＋5x－3＝0的一個根，∴cosα＝∵cos60°＝

∴α＝60°.∵β為銳角，cosβ≥cosα，∴cosβ≥cos60°.又∵銳角的余弦值隨角的度數(shù)的增大而減小，∴0°＜β≤60°.知3－講解：總

結(jié)知3－講解方程，由特殊角的三角函數(shù)值可知α的度數(shù)，再利用銳角與其余弦值的關(guān)系，通過比較得到β的取值范圍.1在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正確

的是(

)A．sinA＝sinB

B．tanA＝tanBC．sinA＝cosB

D．cosA＝cosB知3－練C用計算器比較tan25°，sin27°，cos26°的大小關(guān)系是(

)A．tan25°<cos26°<sin27°B．tan25°<sin27°<cos26°C．sin27°<tan25°<cos26°D．cos26°<tan25°<sin27°知3－練2C用計算器求sin15°，sin25°，sin35°，sin45°,sin55°，sin65°，sin75°，sin85°的值，研究sinα的值隨銳角α變化的規(guī)律，根據(jù)這個規(guī)律判斷：若

<sinα<

，則(

)A．30°<α<60°B．30°<α<90°C．0°<α<60°D．60°<α<90°知3－練3A1．利用計算器可求銳角的三角函數(shù)值，按鍵順序為：

先按

鍵或

鍵或

鍵，再按角度值，

最后按

鍵就可求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．2．已知銳角三角函數(shù)值也可求相應(yīng)的銳角，按鍵順

序為：先按

鍵，再按

鍵或

鍵或

鍵，然后輸入三角函數(shù)值，最后按

鍵

就可求出相應(yīng)角度．sinsincoscostantan2ndF==1知識小結(jié)用計算器求sin35°29′的值(結(jié)果精確到0.001)．易錯點：不區(qū)分35°29′與35.29°而導(dǎo)致錯誤.2易錯小結(jié)sin35°29′≈0.580.解：第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.4解直角三角形1課堂講解已知兩邊解直角三角形已知一邊及一銳角解直角三角形已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解直角三角形2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升(2)兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°(3)邊角之間的關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系A(chǔ)BabcC在直角三角形中，我們把兩個銳角、三條邊稱為直角三角形的五個元素.圖中∠A，∠B，a，b，c即為直角三角形的五個元素.銳角三角函數(shù)ABabcC什么是解直角三角形解直角三角形：

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程，叫做解直角三角形．

一個直角三角形中，若已知五個元素中的兩個元素(其中必須有一個元素是邊)，則這樣的直角三角形可解.1知識點已知兩邊解直角三角形在Rt△ABC中，如果已知其中兩邊的長，你能求出這個三角形的其他元素嗎？知1－講(1)三邊之間的關(guān)系；(2)兩銳角之間的關(guān)系；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝

＝cosB，

cosA＝

＝sinB，

tanA＝知1－講知1－講應(yīng)用勾股定理求斜邊，應(yīng)用角的正切值求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．一般不用正弦或余弦值求銳角，因為斜邊是一個中間量，如果是近似值，會影響結(jié)果的精確度．已知斜邊和直角邊：先利用勾股定理求出另一直角邊，再求一銳角的正弦和余弦值，即可求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．已知兩直角邊：已知斜邊和直角邊：例1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所對的邊

分別為a,b,c，且a=

b=求這個三角形的其

他元素.在Rt△ABC

中，a2+b2=c2，

在Rt△ABC

中，sinB=

∴∠B

=30°.∴∠

A

=60°.知1－講（來自教材）解：例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C

的對邊分別為a，b，c，且c＝5，b＝4，求這個三角

形的其他元素．(角度精確到1′)

求這個直角三角形的其他元素，與“解這個直角三角

形”的含義相同．求角時，可以先求∠A，也可以先

求∠B，因為

＝sinB＝cosA.知1－講導(dǎo)引：由c＝5，b＝4，得sinB＝

＝0.8，∴∠B≈53°8′.∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.由勾股定理得知1－講解：例3

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對

邊分別為a，b，c，且a＝1，b＝2.求這個三角形的

其他元素．(角度精確到1′，邊長精確到0.01)

已知兩邊，根據(jù)勾股定理可求出第三邊．求銳角，

需要由邊的比值，運用三角函數(shù)求得．知1－講導(dǎo)引：由勾股定理得由tanA＝＝0.5，得∠A≈26°34′，∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.知1－講解：知1－練在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，則∠A的度數(shù)為(

)A．90°

B．60°C．45°

D．30°（來自《典中點》）1D2在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，最適宜的做法是(

)A．計算tanA的值求出B．計算sinA的值求出C．計算cosA的值求出D．先根據(jù)sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出知1－練（來自《典中點》）C知1－練【中考·蘭州】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，則cosA＝(

)A.

B.

C.

D.（來自《典中點》）3D知1－練如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，則tanB＝(

)A．

B．

C.D.（來自《典中點》）4B2知識點已知一邊及一銳角解直角三角形知2－導(dǎo)已知直角三角形的一邊和一銳角，解直角三角形時，若已知一直角邊a和一銳角A：①∠B=90

°-

∠A；②c=若已知斜邊c和一個銳角A：①∠B=90°-

∠A；②a=c·sinA;③b=c·cosA.知2－講解：總

結(jié)知2－講在直角三角形的6個元素中，直角是已知元素，如果再知道一條邊和第三個元素，那么這個三角形的所有元素就都可以確定下來.知2－講例5在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分

別為a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求這個三角形

的其他元素．(長度精確到0.01)

已知∠A，可根據(jù)∠B＝90°－∠A得到∠B的大?。?/p>

已知斜邊，必然要用到正弦或余弦函數(shù)．

∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，

∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.由sinA＝得a＝c·sinA＝100·sin26°44′≈44.98.由cosA＝

得b＝c·cosA＝100·cos26°44′≈89.31.解：導(dǎo)引：在Rt△ABC中，由勾股定理得c＝＝.∵sinA＝＝＝，∴∠A≈27°.∵∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A≈63°.知2－練（來自教材）1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a,b,c，根據(jù)下列條件求出直角三角形的其他元素（角度精確到1°):

(1)已知a=4,b

=8;

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，

∴∠A＝30°.∵sinB＝，b＝10，∴c＝＝＝.由勾股定理得a＝＝.知2－練（來自教材）

(2)已知b

=10，∠B＝60°;

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.∵sinA＝，c＝20，∴a＝c·sinA＝20×sin60°＝20×＝.由勾股定理得b＝＝10.知2－練（來自教材）

(3)已知c

=20，∠A＝60°;

解：知2－練(2016·沈陽)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，則BC的長是(

)A.B．4C．8D．4（來自《典中點》）2D知2－練3在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，

則a等于(

)A.B.C．6D.（來自《典中點》）B知2－練【2017·益陽】如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB＝α，則拉線BC的長度為(A，D，B在同一條直線上)(

)A.B.C.D．h·cosα（來自《典中點》）4B知2－練【2017·濱州】如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點D是CB延長線上的一點，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為(

)A．2＋

B．2C．3＋

D．3（來自《典中點》）5A知3－講3知識點已知一邊及一銳角的三角函數(shù)解直角三角形例6如圖，在△ABC中，AB＝1，AC＝

sinB＝

求BC的長．要求的BC邊不在直角

三角形中，已知條件中

有∠B的正弦值，作BC邊上的高，

將∠B置于直角三角形中，利用解直角三角形就可

解決問題．導(dǎo)引：如圖，過點A作AD⊥BC于點D.∵AB＝1，sinB＝∴AD＝AB·sinB＝1×＝∴BD＝

CD＝∴BC＝知3－講解：總

結(jié)知3－講通過作垂線(高)，將斜三角形分割成兩個直角三角形，然后利用解直角三角形來解決邊或角的問題，這種“化斜為直”的思想很常見．在作垂線時，要結(jié)合已知條件，充分利用已知條件，如本題若過B點作AC的垂線，則∠B的正弦值就無法利用．1(2016·蘭州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，

BC＝6，則AB＝(

)A．4B．6C．8D．10知3－練D2(2016·西寧)如圖，在△ABC中，∠B＝90°，tanC＝

AB＝6cm.動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s

的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s

的速度移動．若P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，

在運動過程中，△PBQ的最大面積是(

)A．18cm2

B．12cm2