江蘇省南通市如皋市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省南通市如皋市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月

月考數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）

1.已知集合人={—2,e』3},fi={x||x-l|<2},則AB=（）

A-{-2,3}B.C.D.{3}

【答案】C

［解析］由題意A={—2,eTn3}=1_2,；1,

B={x（x—<2j={x|-2<x-l<2}={x|-l<x<3）,所以AcB=.

故選：c.

2.若角e終點(diǎn)上一點(diǎn)P（—3,a）,且sina=g，則a=（）

A.-4B.-3C.4D.±4

【答案】C

【解析】由題意得：點(diǎn)P（—3,a）在角a的終邊上，且sina=g,

,a4

所以：sina=.=—,解得：〃=4,〃=T（舍），故C項(xiàng)正確.

V9+a25

故選：c.

3.已知a=log20.3,b=*3,c=sin2,則Q,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【解析】因?yàn)椤?log20.3vlog21=。，b=20,3>2°=B

兀

而一<2<兀,所以0vsin2vl,所以avcvb.

2

故選：D.

"2

4.已知函數(shù)/(%)=sin%尤e［0,兀］,則的最大值為（

l2

1

A.2B.一C.OD.顯

44

【答案】B

【解析】/(x)=sinx1+cosx+—=sinx(l-sinx)=sinx-sin2x,

_I2人

令方=sinx,由x￡[0,兀],故即"了)=~5

當(dāng)"工時(shí)，/（%）=-,故其最大值為L(zhǎng)

244

故選：B.

5.將〉=5由［2彳-］］圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到

y=g（x）的圖象，則g（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（）

【答案】A

【解析】＞=sin圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得至小

g（x）=sin［x-；J,令=（左eZ）,解得x=?+bi,

所以g（x）的對(duì)稱(chēng)中心為g+械0）（左eZ）,

對(duì)于A：令:+也=苧，解得左=1,所以11，°］是8⑴的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，A正確;

對(duì)于B：令：7+rEl=ig,解得左1,B錯(cuò)誤；

488

對(duì)于C：令;+E=—解得上=—，，C錯(cuò)誤；

442

TYTT5

對(duì)于D：令—Ffar=---,解得左=----,D錯(cuò)誤.

41616

故選：A.

6.已知函數(shù)〃力=為2-以+4在(1,2)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(

A.[8,10)B.(8,10)C.[4,5)D,(4,5)

【答案】D

【解析】①當(dāng)/⑴〃2)<0時(shí)在(1,2)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)(5-4)(8-2")<0,解得4<a<5；

②當(dāng)/(1)=0時(shí)解得a=5,此時(shí)函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)為1和4均不在區(qū)間(1,2)內(nèi)，矛盾；

③當(dāng)/(2)=0時(shí)解得a=4,此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)為2不在區(qū)間(L2)內(nèi)，矛盾，

綜上可知4<a<5.

故選：D.

7.己知/(x)=2sin[0x+5](0〉O)在上單調(diào)遞增，則0的取值范圍是()

A.(0,4]BJ。，；CI。'1D.(0,1]

【答案】B

(2兀、71(7127171)

【解析】因?yàn)闊o(wú)￡[0,力->69>0,所以④X++§J,

要使得了(X)在[o,g]上單調(diào)遞增，則+解得

又由題意可知。>0,所以

4

故選：B.

8.己知定義在(0,+")上的函數(shù)/(%),滿(mǎn)足/'(盯)+l=/(x)+/(y)，且/'bo,則

A.1B.10C.11D.1024

【答案】C

【解析】根據(jù)題中的條件，令x=y=l,

則/(1)+1=/(1)+/(1),所以=

令則dJ+i=/（x）+/1

又=所以/（x）=/["|]+l'

則/（2'=〃29）+1="28）+2--=/（2）+9=Al）+10=ll.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）

9.下列代數(shù)式的值為1的是（）

A"X9-2B.log62+log369

.25兀（4兀、J1+2sin20。sin70。

C.sin---+cos----D.---------,=

6V3Jsin20o+Vl-sin2160o

【答案】BD

/3111Q

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：V43xr2=42x—=23x—=8x—=—,故不選A；

81818181

,2

對(duì)于選項(xiàng)B：Iog62+log369=log62+log623=log62+-log63,

=log62+log63=log6（2x3）=log66=1,故B正確；

,3..25K/4兀、.（.兀）（,2兀）

對(duì)于選項(xiàng)C：sin———FcosI——I—sinI471+—I+cosI—2兀H——I,

.兀2兀1兀11c與丁3一

=sin—+cos——=——cos—=----=0,故不選C；

632322—

工…HJ1+2sin20°sin70°Vsin220°+cos220°+2sin20°cos20°

對(duì)于選項(xiàng)D：-------/=----------------,-------,---------,

sin20°+Vl-sin2160°sin20°+|cosl60°|

=J(sin200+cos200『sin20°+cos20°…故口正確.

sin20°+cos20°sin20°+cos20°

故選：BD.

10.下列命題正確的有()

A.存在正實(shí)數(shù)使得log2(M+N)=log2M+log2N

B.對(duì)任意的角a,都有cos(兀+c)=cosa

C.tan。=tan乃是a與尸終邊在同一條直線(xiàn)上的充要條件

D.函數(shù)”X)為奇函數(shù)是函數(shù)/(2x)為奇函數(shù)的充要條件

【答案】AD

【解析】對(duì)于A：因?yàn)閘og2“+log2N=log2〃N,

所以要使得log?(M+N)=log2M+log2N,則log?(M+N)=log2MN,

'M+N=MN

所以《般〉0,當(dāng)M=2,N=2時(shí)滿(mǎn)足，

N〉0

所以存在正實(shí)數(shù)M,N使得log2(Af+N)=log2M+log2N,A正確；

對(duì)于B：由誘導(dǎo)公式可知cos(7i+a)=—cosa,而-cose=cosa不恒成立，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：當(dāng)tantz=tan，時(shí)，=tz+E,此時(shí)a與力終邊在同一條直線(xiàn)上，

所以是充分條件，當(dāng)&與萬(wàn)終邊在同一條直線(xiàn)上時(shí)，

7?TT

若a=—,0=—,此時(shí)tan1與tan力不存在，

22

所以tana=tan,不成立，所以不是必要條件，所以c錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若了(尤)是奇函數(shù)，設(shè)了(X)定義域?yàn)閰^(qū)間

則/(-x)=-/(%)且M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

以2x替代x可得〃-2x)=_〃2x),此時(shí)定義域?yàn)閧x|2xeM},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以/(2x)是奇函數(shù)，所以是充分條件，

當(dāng)〃2力是奇函數(shù)時(shí)，設(shè)y(2x)定義域?yàn)镹,則〃-2x)=-/(2x)且N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

以x替代2x可得/(f)=-/(x),此時(shí)定義域?yàn)椋?尤,6陰，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以/(X)是奇函數(shù)，所以是必要條件，D正確.

故選：AD.

11.已知實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a>尸+1，則下列不等關(guān)系一定正確的是()

A.a>2bB.a>2Z?+1

C.a>b-lD.2a>b2-Z?+l

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A：因Z72+1-2ZJ=(Z?-1)2>0,所以Z?2+G2"

又a>/+i，所以a>2Z?,A正確；

對(duì)于B：因?yàn)樨?1一國(guó)+1)=后一2>，當(dāng)Z?e(O,2)時(shí)/一26<0，

此時(shí)〃+I<26+1，所以不能得到a>2Z?+l,

例如當(dāng)。=31=1時(shí)滿(mǎn)足口>尸+1，此時(shí)不滿(mǎn)足a>2Z?+l,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：b2+\-(b-\)=b1-b+2=[b-^+:

所以匕2+1>匕一1，

又a>/+l，所以—C正確;

力271

對(duì)于D：2a>b2+a>---------------b—,

222

b2

而*1(b1]6一2bli+|>。，所以/

而6+1-----------+—=—+-I

2222-2222

A2h1

又a>/+i，^a>---+-,即2a>~+l，D正確.

故選：ACD.

■\/l—X+'y/l+x,-1<X<1,

12.己知/(x)=則下列結(jié)論正確的是(

/(x-2),x>l,

A./(12)=2B./(x)的最大值為2

C.的增區(qū)間為［2左一1,2對(duì)(左eN)D.7?(/?(2I))=2/eN)

【答案】ABC

【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)了>1時(shí)，/(x)=/(x-2),即周期為2,

故/(12)=/(0)=#^+7175=2,A正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)-LWxWl時(shí)，

/2(%)=1-x+l+x+2。1-尤,J1+*W2+(l-X+1+*)=4,

當(dāng)且僅當(dāng)l+x=l—x,即x=0時(shí)，等號(hào)成立，故/(x)W2,

結(jié)合函數(shù)的周期為2,故/(X)W2在R上恒成立，故B正確;

C選項(xiàng)，當(dāng)—1＜%＜1時(shí)，/(%)=J1-尤+Jl+x，

又/(-%)=J1+X+\jl-x=/(%),

故/(司=+Mi在-L1］上為偶函數(shù)，

當(dāng)-LWxWO時(shí)，任取石,當(dāng)G［T。］且王＜工2，

故/(%)一/(工2)=也-X[+J1+%-yjl-x2-sjl+x2

-工2)+(1+%)-(1+%)_尤2U|%2-%

Jl-%+J1-々Jl+%+Jl+%2J】-％+J-X2J1+9+Jl+%2

因?yàn)樗帲?2，所以/(%)—/(々)=(々一再)<0,

故/(X)在［—1,0］單調(diào)遞增,

結(jié)合函數(shù)的周期可知，/(%)的增區(qū)間為12左一1,2對(duì)(左eN),C正確;

D選項(xiàng),當(dāng)一1〈無(wú)＜1時(shí)，/(九)=J1-尤+J1+%,

當(dāng)1<XV3時(shí)，—l<x—2<1,

故/（x）二/（x-2）=J1-x+2+J1+%-2=，3-x+y/x—1,

其中后，f（l）=母,而/"）=’3-&+，/屋1W2,

故/'（小。左—1））=2（左eN）錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.）

13.已知扇形的面積為4,半徑為2,則扇形的圓心角為弧度.

【答案】2

1,

【解析】設(shè)扇形的圓心角為a,由題意得，一ax2-=4,解得a=2,

2

所以扇形的圓心角為2弧度.

故答案為：2.

14.己知幕函數(shù)〃尤）=--2，”-3（其中，加仁％）為偶函數(shù)，且“X）在（0,+功上單調(diào)遞

減，則，〃的值為.

【答案】1

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)募函數(shù)/（X）在（0,+。）上單調(diào)遞減，

所以加2—2m—3<0，解得一1〈根<3,

又meZ,所以加=0或1或2,

當(dāng)機(jī)=0或2時(shí)，/（%）=婷=±定義域?yàn)閲?guó)尤#0},

且〃-x)==—7=—/（x）,此時(shí)函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，不符合題意;

Ji

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，/(%)=—=1定義域?yàn)閧x\xwO},

且=—I=i=/（%），此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù),

符合題意;

綜上所述，m-\.

故答案為：1.

15.希羅平均數(shù)（Heroniammean）是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的一種平均，若a,b是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),

則它們的希羅平均數(shù)8="巫記人=*，G=J法，則A,G,H從小到大的

32

關(guān)系為.（用連接）

【答案】G<H<A

【解析】由。之0,b>0,

HA="M+ba+b：（G間則我少,

326

*仃=。+瓢+憶癡咽2則〃之G,

33

故GWHWA.

故答案為：G<H<A.

16.已知sina+cosa=避°，貝Usin,a+cos,a=

,若。6（一兀,0）,貝ijtantz=

5

41

【答案】

503

【解析】由題意:sina+costz=-得：sin2tz+cos2?+2sin?cos?=-

55

.3

所以:sinacosa=-----,

10

29241

所以:si.n44a+cos4a=/{sm?2a+cos2aI-2sinacosa=l-2x

50

因?yàn)?ae(-71,0),所以：sincr<0,

J］。

又因?yàn)椋簊ina+cosa=-----，得：cosa>0

5

所以：(sina-cosa『二sin2tz+cos2tz-2sin6zcosa=§,得：sina-cosa=

v755

3710

又因?yàn)椋簊ina+cosa=，所以：sina=-----cosa=------

51010

TIP

~,sinain1

所以：tanct=-------=—T=-

COS6Z3A/103

10

故答案為：—

四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)

明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17.某同學(xué)在研究函數(shù)〃x）=sin（（yx+。）。＞0,0＜。＜_|的圖象與性質(zhì)時(shí)，采用“五點(diǎn)

法”畫(huà)簡(jiǎn)圖列表如下:

71兀

X

~~6I%%3

兀3兀

a)x+(p0兀2兀

2T

/(x)010-i0

（1）根據(jù)上表中數(shù)據(jù)，求出。，。及石,馬,%的值;

（2）求函數(shù)/（%）的單調(diào)遞減區(qū)間.

71

解：（1）由表格數(shù)據(jù)知：“X）的最小正周期T=2x=兀，.?.啰=a=2,

6T

sinl-1+^ko,J~^+(p=kn[kGZ),解得：(p=kn+^^keZ),

DC兀兀

又0＜夕＜5，(p=—

令2嗚.，解得:*靖

人/＞兀3兀,.77r

令2%—=—，斛倚：%=—

3212

7T5兀

令—=2兀,解得：X-J——

36

(2)由(1)知：/(x)=sin2x+1

冗

人兀?兀，3兀JT7

令一+2kn<2x+—<----F2E(左eZ),解得:\-hi<x<----\-hi(kGZ),

23212------------12-------v7

JT7九

\/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為—+far,—+fat(keZ).

18.已知函數(shù)/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，/(x)=4t-3x2x+1.

(1)求/(力的解析式；

(2)求方程〃x)=-8的解集.

解：⑴因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，則〃力寸廿x),

當(dāng)x?0時(shí)，f(x)=4x-3x2x+1,

則當(dāng)x<0時(shí)，—x>0,f(-x)=4-x-3x2-x+1=f(x),

SPf(x)=4-x-3x2-x+1,

4T-3x2e\x<0

所以/(%)=<

4A-3x2x+1,%>0

(2)當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=4^-3x2-x+1=-8,

令2一工=加(加＞1),則4r=m2,

即m2—6m=—8，解得機(jī)=2或m=4,

則2r=2或2r=4，即m一1或x=—2,

當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=4r-3x2x+'=-8,

令則4工=〃2,

即-6〃=一8，解得“=2或〃=4,

則2*=2或2、=4，即x=l或x=2,

綜上所述，方程〃x)=-8的解集為{—2,-1,1,2}.

19.已知函數(shù)/（%）二由一2（其中meR）,且"3）=0.

（1）判斷函數(shù)/（X）在（0,+e）上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

⑵解不等式：/（a2+l）+/（-|a|-l）＜0.

解：⑴結(jié)合題意：因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=x'"—2（其中加eR）,且"3）=0,

oo

所以〃3)=3"'__=0,解得：m=l,故〃x)=x—‘，

3x

“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，證明如下:

任取七,占e（0,+co）,且石＜X2,

99

/(玉)一/(%)=再X2=(再

石IX2J

因?yàn)槭?％24°，+8），且玉＜X2，所以占一％2＜0，易得：指丁+1＞0,

（9、

所以/（%）—1（%）=（%一％2）---+1＜。，即/（%）＜/（當(dāng)）,

XX

\127

所以“X）在（0，+"）上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)?（x）=x—2的定義域?yàn)閧%K00},定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

9/9、Q

所以=r+—=TX；=-/（x）,所以為奇函數(shù)，

%I犬/X

因?yàn)?1）+/（一同—1）＜0,所以+1）＜_/（-問(wèn)-1）=/（問(wèn)+1）,

因?yàn)椤?+1＞0,同+1＞0,

結(jié)合（1）知，函數(shù)/（x）=x—2在（0,+“）上單調(diào)遞增，

X-

-2

所以片+1＜向+1,整理可得：a2（a2-l）＜0,即，

11v7p-l＜0

解得：ae（-l,0）o（0,1）.

20.已知函數(shù)/(6)=(1311夕+1)852夕

1

(1)證明:cos290------------

1+tan20

⑵當(dāng)0,外時(shí)，求函數(shù)/⑻的最大值.

解：(1)證明：因?yàn)閠anen，1一,

cos3

1_1]

=cos20

所以1+tai??！猻ir?。cos26^+sin26^

1+—丁

cos20cos20

]

故cos20-

1+tan20

(2)由/(。)=(tan8+l)cos2。=+1|cos20=sin^cos^+cos20

cos。)

=-sin26)+-cos26)+-=—sin|26)+-|+-,

2222I2

因?yàn)?。€，鼻，得2。+臺(tái)二爺，

jrjrTT

所以，當(dāng)。=—時(shí)，即2。+—=—,

842

/⑻有最大值，部圣心＞』.怨,

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(e)的最大值為叵已.

21.如圖，點(diǎn)A,B,C在函數(shù)/(X)=Asin(o>x+0),(A>0,&>>0<。<0兀)圖象

(1)若?，,一2),,0j,求函數(shù)/(%)的解析式；

⑵若兀,—2),C(O,1),且其中求/的值.

解：(1)由已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)A1|&—2),A>0,可知A=2,

又函數(shù)過(guò)點(diǎn)⑶[—1,。],則~一[―1)=3兀，即7=4兀，

2兀_2兀_1

又0>0,所以外二

T-47i-2

所以/(x)=2sin[gx+°],代入點(diǎn)A(|&-2

口C.68兀JT

即2sml—?—+=-2,解得"=—+2kn,keZ,

6

TT

又0<。<兀，所以。=:,

6

所以/(x)=2sin[gx+《

(2、23

(2)由函數(shù)過(guò)點(diǎn)AI—71,—2I,A＞0,則A=2,且-^-G+0=工~+2左]兀，k、eZ,

又函數(shù)過(guò)點(diǎn)C(o,l),則/(o)=2sin(?-o+^)=2sin^=l,

,71

結(jié)合圖形可得°=—+2而，keZ,

6

71

又。＜夕＜兀，所以左=0,(p=—,

6

2兀TT3兀

所以一?＞+—=一+2k]兀,k[￡Z,即0=2+3%,占eZ,

36