2023年九年級中考數(shù)學(xué)二輪壓軸培優(yōu) 二次函數(shù)與直角三角形問題

中考數(shù)學(xué)二輪壓軸培優(yōu)專題

二次函數(shù)與直角三角形問題

L如圖，拋物線y=-x,+bx+c經(jīng)過A(-1,O),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=Jx

乙

+1與X軸交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P為拋物線上的點(diǎn)，連接OP交直線DE于Q,當(dāng)Q是OP中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)M在直線DE上，當(dāng)aCDM為直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.如圖，拋物線y=∕+2χ-8與X軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)

D在直線AC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作y軸的平行線交AC于點(diǎn)E.

⑴求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求線段DE的最大值；

(3)當(dāng)點(diǎn)F在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)A,C,F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，直接寫

出點(diǎn)F的坐標(biāo).

備用圖

3.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aχ2+bx+c與X軸交于A(-1,O),B(3,0),與

y軸交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的解析式.

(2)若點(diǎn)M是拋物線上B,C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MN,當(dāng)點(diǎn)N

恰好落在y軸上時(shí)，求點(diǎn)M,點(diǎn)N的坐標(biāo).

(3)如圖2,若點(diǎn)E坐標(biāo)為(2,0),EF_LX軸交直線BC于點(diǎn)F,將ABEF沿直線BC平移得到4

B'E'F',在aB'E'F'移動(dòng)過程中，是否存在使aACE'為直角三角形的情況？若存在，請直接寫

出所有符合條件的點(diǎn)E'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.拋物線y∣=ax°-2ax+c(a<2且a≠0)與X軸交于A(-1,0),B兩點(diǎn)，拋物線的對稱軸與X

軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)M(m,n)在該拋物線上，點(diǎn)P是拋物線的最低點(diǎn).

(1)若m=2,n=-3,求a的值；

⑵記aPMB面積為S,證明：當(dāng)l<m<3時(shí)，S<2；

(3)將直線BP向上平移t個(gè)單位長度得直線y2=kx+b(kWO),與y軸交于點(diǎn)C,與拋物線交

于點(diǎn)E,當(dāng)XV-I時(shí)，總有y∣>%?當(dāng)-KxVl時(shí)，總有y∣Vy2.是否存在t?4,使得ACDE

是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.

5.如圖，拋物線y=ax'+bx-交y軸于點(diǎn)A,交X軸于B(-1,O),C(5,0)兩點(diǎn)，拋物線

的頂點(diǎn)為D,連接AC,CD.

(1)求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑶過點(diǎn)D作X軸的垂線交AC于點(diǎn)G,點(diǎn)H為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接GH,將aDGH沿GH翻折

到AGHR(點(diǎn)R,點(diǎn)G分別位于直線CD的兩側(cè))，GR交CD于點(diǎn)K,當(dāng)AGHK為直角三角形時(shí).

①請直接寫出線段HK的長為；

②將此RtaGHK繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<a<180°),得到AMHN,若直線MN

分別與直線CD,直線DG交于點(diǎn)P,Q,當(dāng)ADPQ是以PQ為腰的等腰三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P

的縱坐標(biāo)為.

備用圖

6.已知二次函數(shù)y=x'+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，BC垂直X軸于點(diǎn)C,且A(-l,O),C(4,0),

AC=BC.

(1)求拋物線的解析式；

⑵請畫出拋物線的圖象；

(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P,使三角形ABP為直角三角形？若

24

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-鼻x'+ax+2與X軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B

??

的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

⑴求直線BC的解析式；

⑵過點(diǎn)A作AD〃BC交拋物線于D,連接CA,CD,PC,PB,記四邊形ACPB的面積為S”ΔBCD

的面積為S2,當(dāng)SLSZ的值最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)和S「，的最大值；

(3)如圖2,將拋物線水平向右平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)O,G為平移后的拋物線的對

稱軸直線1上一動(dòng)點(diǎn)，將線段AC沿直線BC平移，平移過程中的線段記為A,C'(線段A,C,始終

在直線1左側(cè))，是否存在以A',C',G為頂點(diǎn)的等腰直角aA'C'G?若存在，請寫出滿足要求

的所有點(diǎn)G的坐標(biāo)并寫出其中一種結(jié)果的求解過程，若不存在，請說明理由.

8.已知拋物線y=ax2+bx+c與X軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點(diǎn)M,當(dāng)里最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及更

AMAM

的最大值；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作X軸的垂線1,在1上是否存在點(diǎn)D,使ABCD是直角三角形,

若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.如圖，直線y=x-3與X軸，y軸分別交于B、C兩點(diǎn).拋物線y=x°+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、C,

與X軸另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t秒.

①點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，若NCBP=I5°,求t的值；

②當(dāng)t為何值時(shí)，以P,A,C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？求出所有符合條件的t值.

10.如圖，拋物線y=x'+bx+12(b<0)與X軸交于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，且0B=30A.

⑴請直接寫出b=,A點(diǎn)的坐標(biāo)是，B點(diǎn)的坐標(biāo)是

⑵如圖(1),D點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位長度/秒，直線BD交拋物

線于點(diǎn)E,若BE=5DE,求D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

⑶如圖(2),F點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)，過點(diǎn)F作X軸平行線MN,點(diǎn)C是對稱軸右側(cè)的拋物線上的一

定點(diǎn)，P點(diǎn)在直線MN上運(yùn)動(dòng).若恰好存在3個(gè)P點(diǎn)使得aPAC為直角三角形,請求出C點(diǎn)坐標(biāo)，

并直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).

答案

L解:⑴?.?拋物線y=-χ2+bx+c經(jīng)過A(-l,O),B(3,0)兩點(diǎn),

...,-l-b+c=0,解得：(b=2,

-9+3b+c=0?c=3

.?.拋物線的解析式是y=-X2+2X+3;

(2)令X=0,則y=[x+l=l,

ΛOD=1,

如圖，作PHLOB,垂足為H,交ED于F,

則NCOA=NPHO=90°,

.?.PH"OC,

ΛZ0PF=ZD0Q,ZPFQ=ZODQ,

又Q是OP中點(diǎn)，

ΛPQ=OQ,

ΛΔPFQ^ΔODQ(AAS),

/.PF=OD=I

設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為X,則-x'+2x+3-(；x+l)=1,解得：xl=2,x2=-?,

17

-叱y_-

當(dāng)x=2時(shí)，y=3,當(dāng)X=2一4

17

1\

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,3)或(-2-4-7

(3)令x=0,貝IJy=-X'+2x+3=3,

.?.0C=3,

ΛCD=OC-0D=2,

設(shè)M(a,?a+1),

ΛCM2=a2+(3-?a-1)2=?'-2a÷4,DM2=a2+(^a÷l-l)2=-a2,

zZ

Ziι乙i

①當(dāng)NCMD=90。時(shí)，

/.CD2=CM2+DM2,

554

Λ22=τa2-2a÷4+τa2,解得：a2=0(舍去)，

445

41747

當(dāng)a=工時(shí)，^a+I=F?β?M(-,-)；

O??

②當(dāng)NDCM=90。時(shí)，

55

.e.22+^a2-2a÷4="a2,解得：a=4,

當(dāng)a=4時(shí),Ja+1=3,

乙

ΛM(4,3)；

47

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為(mE)或(4,3).

55

2.解：(1)在y=x'+2x-8中，令x=0,得y=-8,

ΛC(0,-8),

令y=0,得χ'+2x-8=0,

解得：Xi=-4,x2=2,

.?.A(-4,0),B(2,0),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

則「4k+b=O,解得：Ik=-2,

lb=-8lb=-8

.?.直線AC的解析式為y=-2x-8；

⑵設(shè)D(m,m2+2m-8),則E(m,-2m-8),

Y點(diǎn)D在點(diǎn)E的下方，

.*.DE=-2m-8-(∏τ+2m-8)=-Dr-4m=-(m+2)^+4,

?.?-KO,

.?.當(dāng)m=-2時(shí)，線段DE最大值為4；

(3)?.?y=x-+2x-8=(x+l)--9,

.?.拋物線的對稱軸為直線x=-l,

設(shè)F(-1,n),又A(-4,O),C(0,-8),

ΛAF2=32+n2=n2+9,AC2=42+82=80,CF2=I2+(n+8)2=n2+16n+65,

①當(dāng)NAFC=90。時(shí)，

VAF2+CF2=AC2,

22

Λn+9+n+16n+65=80,解得：nl=-4-√19,n2=-4+√19,

.?.F(-1,-4-標(biāo))或(-1,-4+√19);

②當(dāng)NCAF=90。時(shí)，

VAF2+AC2=CF2,

3

Λnj+9÷80=nj+16n÷65,解得：n=->

.?.F(-1,|)；

③當(dāng)NACF=90°時(shí)，

VCF2+AC2=AF2,

17

Λn2+16n+65÷80=nj÷9,解得：n=-

F(-1,-?)；

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,-4-4B)或(-1,-4+，麗或(-1,也或(-1,-?).

3解:⑴將A(-l,0),B(3,0),C(0,-3)代入y=a∕+bx+c,

a-b+c=0,

?'?,9a+3b+c=0>?'?]a?，

_Qlb=-2

c-d

Λy=x2-2x-3；

⑵過點(diǎn)M作HG〃y軸，交X軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)N作NG，HG交于點(diǎn)G,

ΛZAMH+ZNMG=90°,

VZAMH+ZMAH=90°,

：.ZNMG=ZMAH,

VAM=MN,

Λ?ΛMH^?MNG(AAS),

ΛAH=MG,HM=NG,

設(shè)M(t,t2-2t-3),

ΛHM=-t2+2t+3,NG=t,

.?.-t"+2t+3=t,

?,?,v??

??t-2i2'

Y點(diǎn)M是拋物線上B,C之間，

Λ0<t<3,

V133√13

ΛAH=1÷~

乙222

W+呼+舁羋=2+√Ti

ΛN(O,-2-√13)；

(3)存在使AACE'為直角三角形，理由如下:

VOB=OC,

/.ZOBC=45°,

設(shè)aBEF沿X軸方向平移t個(gè)單位長，則沿y軸方向平移t個(gè)單位長,

VE(2,O),

ΛE,(2+t,t),

①如圖2,當(dāng)NACE'=90°時(shí)，過點(diǎn)E'作E'H_Ly軸交于點(diǎn)H,

ΛZACO+ZE,CH=90o,

VZAC0+ZCA0=90o,

：.ZE,CH=ZCAO,

ΛΔACO^?CE,H,

?_AQ=CQ

"CHE7-H)

VAO=1,C0=3,CH=-3-t,E'H=-2-t,

???1------3------,

-3-t-2-t

737

解得t=-/,ΛE,(---)；

②如圖3,當(dāng)NCAE'=90°時(shí),

過點(diǎn)A作MN_LX軸，過點(diǎn)C作CN_LMN交于N點(diǎn)，過點(diǎn)E'作E'MLMN交于M點(diǎn),

ΛZMAE,+ZNAC=90°,

TNMAE'+NME'A=90°,

：.NNAC=NME'A,

ΛΔAME,SACNA,

?AM=ME':

*'NCAN

VNC=1,AN=3,AM=t,ME'=3+t,

.」=入,

13

373

解得t=-,.,.E,(-,-)；

當(dāng)E'點(diǎn)與N重合時(shí)，AACE'為直角三角形，

.?.E'(-1,-3)；

③如圖3,當(dāng)NAE'C=90°時(shí),

過點(diǎn)E'作STlx軸交于S點(diǎn)，過點(diǎn)C作CTlST交于T點(diǎn)，

ΛZAE,S+ZCE,T=90o,

VZΛE,S+ZE,AS=90o,

：.ZCE,T=ZE,AS,

ΛΔASE,SAE'TC,

?AS=SE':

''E,TCT

VAS=3+t,SE'=-t,CT=2+t,E,T=t+3,

.?.3Lt=二L,解得t=-l,

3+t2+t

ΛE,(1,-1)；

?77?

綜上所述：E'的坐標(biāo)為(-*-5)或$或(1,-1)或(-1,-3).

乙乙乙乙

/.a+2a+c—0,

??c=一3a,

J拋物線yι=ax"-2ax-3a.

當(dāng)m=2,n=-3時(shí)，M(2,-3),

.?.4a-4a-3az=-3,角不得a=l；

⑵證明：過點(diǎn)M作X軸的垂線，交直線BP于點(diǎn)Q,

2

。點(diǎn)P為yl=ax-2ax-3a的最低點(diǎn),

.?.P(a,-4a),

令y∣=ax2-2ax-3a=0,解得X=-1或x=3,

ΛB(3,0),

二直線BP的解析式為：y=2ax-6a,

設(shè)M(m,am2-2am-3a),

.?.Q(m,2am-6a),

ΛQM=2am-6a-(amJ-2am-3a)=-am'+4am-3a,

.,.S=/IXB-XpI?QM=-am'+4am-3a=-a(m-2)+a,

?.?-a<0,開口向下，

.?.當(dāng)m=2時(shí)，S的最大值為a,

Va<2,

當(dāng)IVmV3時(shí)，S=a<2.

⑶解：Y當(dāng)XV-I時(shí)，總有y<yz,

.?.直線1必經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0),

將點(diǎn)A代入直線1：y2=kx÷b,

.?.-k÷b=O,

Y直線1：yz=kx+b由直線PB:y=2ax-6a向上平移t個(gè)單位長度得至!],

Λk=b=2a,b=-6a÷t=2a,

Λt=8a,

.?.y2=2ax+2a,點(diǎn)C(0,2a),

令2ax+2a=ax2-2ax-3a,解得x=-1或x=5,

ΛE(5,12a).

①當(dāng)NECD=90°時(shí)，過點(diǎn)E作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)F,

ΛEF:OC=CF:0D,即5：2a=10a:LΛa=?a=-∣(?);

乙乙

?'?t=8a=424,符合題意；

②當(dāng)NCDE=90?？诖纾^點(diǎn)E作X軸的垂線于點(diǎn)F,

.*.EF：OD=DF:OC,即12a：1=4：2a,解得a=*或a=-骼（舍）,

.?.t=8a=生/苣＜型?=4,不符合題意；

33

③當(dāng)NCED=90°時(shí)，顯然不存在.

綜上，存在，且t的值為;.

5.解：（D設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+c,

2020

?.?拋物線y=ax'+bx-豆，交y軸于點(diǎn)A,，A（0,-?）,

將A(0,-當(dāng)，C(5,0)分別代入y=kx+c,

,(4

得：c9，解得：,，

L?20

5k+c=0c=-ξ-

420

，直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y=ξx-—,

20

⑵拋物線y=ax'+bx-過B(-1,0),C(5,0)兩點(diǎn),

--?-=o4

aba節(jié)

CC,解得：

20,16

25a+5b-詈=0b=

yT

???拋物線的解析式為y=宗一拳卷

4,1620￡、2

'??y=gχ--豆X-g=](χ-2)--4,

，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-4)；

⑶①如圖1,?；AGHK為直角三角形，且點(diǎn)R,點(diǎn)G分別位于直線CD的兩側(cè),

ΛZGHK=90°或NHGK=90°或NGKH=90°，

當(dāng)NGHK=90°時(shí)，NGHD=90°,點(diǎn)R落在直線DC上，不符合題意，

當(dāng)NHGK=90°時(shí)，NDGH=∕HGK=90°,點(diǎn)R,點(diǎn)G位于直線CD的同側(cè)，不符合題意,

當(dāng)NGKH=90°時(shí)，點(diǎn)R,點(diǎn)G分別位于直線CD的兩側(cè)，符合題意，

.,.ZGKH=90o,ZDGH=ZRGH,

過點(diǎn)H作HL±DG于點(diǎn)L,則HL=HK,

VD(2,-4),DGLX軸，

4

ΛG(2,--),F(2,0),

O

4/、8

ΛDG=---(-4)=-,CF=5-2=3,DF=4,

OO

ΛCD=5,

VZDFC=ZGKH=90o,ZGDK=ZCDF,

ΛΔGDK^?CDF,

8,

?GK-DK-DGg∏GK-DK-T

CFDFDC345

ΛGK=?,DK=32,

515

?S?GKH+SΔGWI=SAGDK，

ΛA×J.XHK+A×.S×HL=A×-§.x-22j

25232515

4

故答案為：e;

②?.?^DPQ是以PQ為腰的等腰三角形，

.?.PQ=DQ或PQ=DP,

當(dāng)PQ=DQ時(shí)，如圖2,由旋轉(zhuǎn)知：點(diǎn)H到PQ、DQ的距離相等,

ΛQH±DP,DH=HP,

4

由①知HL=HK=-,

5

VHL√CF,

?

.".DL=坦.，即旦±

DFCF43

.?.DL=K,

15

.?.L的縱坐標(biāo)為西-4=-11,即H的縱坐標(biāo)為-絲，

151515

?.?H為D、P的中點(diǎn)，

.?.P的縱坐標(biāo)為-毀，

15

當(dāng)PQ=DP時(shí)，如圖3,點(diǎn)P為DQ的垂直平分線與CD的交點(diǎn)，

?.?H（旦-絲），

55

44

,經(jīng)過點(diǎn)H平行MN的直線為y=-QX÷7,

eO

4

Y點(diǎn)H到直線MN的距離為一

5

48

.*?直線MN的解析ι式為y=--χ-—,

Ol?

420

???直線CD的解析式為y=.x-丁，

?O

.?.P(23,-l?);

105

綜上所述，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-歿或-28.

515

6.解:(1);點(diǎn)A(-L0),C(4,0),

ΛΛC=5,0C=4,

VAC=BC=5,

ΛB(4,5),

把A(-l,0)和B(4,5)代入二次函數(shù)y=∕+bx+c中得:

廣b+c=0,解得戶=-2,

I16+4b+c=5(c=-3

二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x-3；

⑵由函數(shù)的表達(dá)式，取值列表如下：

-10124

y5-34-35

根據(jù)表格數(shù)據(jù)，繪制函數(shù)圖象如下:

⑶存在，y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

二設(shè)P(Lm),

分三種情況：

①以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2,

Λ(4-1)2+(m-5)+(4+1)~+52=(1+1)^+m2,解得：m=8,

.?.P(1,8)；

②以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2,

Λ(l+l)2+m2+(4+1)2+52=(4-I)2+(m-5)2,解得：m=-2,

.?.P(1,-2)；

③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：PB2+PA2=BA2,

(l+l)2+m2+(4-I)2+(m-5)2=(4+l)2+52>解得：m=6或T,

.?.P(1,6)或(1,-1)；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,8)或(1,-2)或(1,6)或(1,-1).

24

7.解：(D對拋物線y=-`χ2+^χ+2,

??

當(dāng)X=O時(shí)，y=2,

ΛC(0,2),

24

當(dāng)y=0時(shí),--X2÷TX÷2=0,解得：Xi=-Lx=3,

?O2

ΛA(-1,0),B(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b(k≠0),

把點(diǎn)C(0,2),B(3,0)代入得：

產(chǎn)2,解得」k二卷

自+b=。|b=2

2

???直線BC的解析式為：y=--χ+2.

?

2

(2”??AD〃BC,直線BC的解析式為：y=--χ+2.

?

2

設(shè)AD的解析式為，y=--χ+m,

?

9

把點(diǎn)A(-1,0)代入得：解得：m=

O

22

JAD的解析式為：y=-?∑x-

OO

y=~∣√壹+2解得一XI=-I×2=4

由10'

22Yi=Oy2=~

?,.D(4,-歲,

4

.?.直線CD的解析式為：y=--χ+2,

O

43

當(dāng)y=0時(shí)，-鼻x+2=0,解得：X=-,

oZ

記直線CD與X軸交于點(diǎn)N,則:

33

N(-0),BN=3--=1.5,

乙乙

24

過點(diǎn)P作PM_LAB交Be于點(diǎn)M,設(shè)P(a,--a2+-a+2),

?O

,2、

.?.M(a,-τ^a÷2),

?

22.

.?PM=-τ,a-+2a,

O

2

??Si=SZ^ABC+SZ?PCM+SaPBM=-a+3a+4,

Sz=SaBNc+SABND=4,

39

22

.?.S]-S2=-a÷3a÷4-4=-a÷3a=-(a-

39

???當(dāng)a=］時(shí),S「S2的最大值為%,

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（05）.

94

⑶拋物線產(chǎn)-甘+3+2的對稱軸為：x=l,

??

?.?拋物線向右平移后經(jīng)過點(diǎn)0,即：拋物線向右平移1個(gè)單位，

...直線1為：x=2,

（。當(dāng)?shù)妊切我?八'（；飛|=90°,8（；'=（：飛|時(shí)，如圖，過點(diǎn)C'作C'HLl于點(diǎn)H,過點(diǎn)A'

作A'Q_LC'H于點(diǎn)Q,

VZHC5Gι+ZQC,A,=90°，NQC'A'+NQA'C'=90°,

ΛZHCG1=ZQAC,

又YNA'QC'=/C'HG產(chǎn)90°，A'C'=C'G∣,

ΛΔA,QC,^ΔC,HG,

,

.?.QA'=C'H,HGl=QC,

224

-a+-a+^

?.?AC"A'C',設(shè)點(diǎn)A'(a,3-(a30

.?.CH=2-a,A'Q=2,HG1=CQ=I,

.?.2-(a+1)=2,解得:a=-1,

.?.C'(0,2),H(2,2),

ΛG1(2,1),

(ii)當(dāng)?shù)妊切我訬C'A'Gz=90°,A'C'=A'0時(shí)，

如圖，過點(diǎn)A'作A'FLl于點(diǎn)F,過點(diǎn)C'作C'E,A'F于點(diǎn)E,

,,,

同(i)理可證：?CAE^?AG2F,

2224

設(shè)點(diǎn)A'(a,--a-,C,(a÷1,-τa+-)，

????

1,

ΛG2F=AE=I,FA=2-a=2,Ja=O,

,2、/2、/5、

.?.A'z(0,--),ΛF(2,--),.'B⑵-鼻)，

??O

(打。當(dāng)?shù)妊切我?06次'=90°,C'Gs=A'Gs時(shí),如圖，過點(diǎn)A'作A'QJ_1于點(diǎn)Q,過點(diǎn)

C'作C'P_LI于點(diǎn)P,

,,

同(i)理可證：ΔCPG3^ΔG3AQ,

2224

設(shè)點(diǎn)A'(a,-?a-,C,(a+1,-ra+-),

???O

.?.A'Q=GF=2-a,CP=QG3=I-a,PQ=2,

.*.2-a+1-a=2,

解得：a=0.5,

.?.C'(1.5,1),G3P=2-0.5=1.5,

ΛG3(2,-0.5),

5

綜上所述：存在點(diǎn)&(2,1),G(2,--),G(2,-0.5),

2?3

使得以A',C),G為頂點(diǎn)的等腰直角4A'C'G.

1

?'?y=?χ^2-X-3；

⑵如圖1,過點(diǎn)A作AE_LX軸交直線BC于點(diǎn)E,過P作PF_LX軸交直線BC于點(diǎn)F,

ΛPF?zΛE,

???MP=PF,

AMAE

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d,

6k+d=0K

d=-3

d=-3

1

Λy=-χ-3,

設(shè)P(t,?t`-t-3),則F(t,?t-3),

11,,,1.,,3

ΛPF=-t-3-7f÷t÷3=-7t^÷77t,

2442

VA(-2,O),

ΛE(-2,-4),

ΛAE=4,

ΛMP=PF=?!?=_J_V+3t=_J_(t_3)%J_,

AMAE41681616

.?.當(dāng)t=3時(shí)，里有最大值_L,

AM16

ΛP(3,-γ);

(3)VP(3,-γ),D點(diǎn)在1上,

如圖2,當(dāng)NCBD=90°時(shí)，

過點(diǎn)B作GHLX軸，過點(diǎn)D作DGLy軸，DG與GH交于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CH_Ly軸，CH與GH交

于點(diǎn)H,

ΛZDBG+ZGDB=90o,ZDBG+ZCBH=90o,

ΛZGDB=ZCBH,

ΛΔDBG^ΔBCH,

?DG=BG即3=毀，

BHCH36

ΛBG=6,

ΛD(3,6)；

如圖3,當(dāng)NBCD=90°時(shí)，

過點(diǎn)D作DK±y軸交于點(diǎn)K,

VZKCD+ZOCB=90o,ZKCD+ZCDK=90°,

ZCDK=ZOCB,

Λ?OBC^?KCD,

.*.??.=?ɑ,即且=3,

KCKDKC3

.?.KC=6,

ΛD(3,-9)；

如圖4,當(dāng)NBDC=90°時(shí),

3

線段BC的中點(diǎn)T(3,--),BC=3√5,設(shè)D(3,m),

乙

VDT=∣BC,Λ∣m+∣∣=∣√5,

3

或m=

2,

??.D(3,∣√^-∣)或D(3,-∣√5-1)；

綜上所述：ABCD是直角三角形時(shí),

D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,6)或(3,-9)或(3,-∣√^-∣)或(3

9.解：(1)令y=x-3=0,x=3,

.?.B的坐標(biāo)為(3,0),

令x=0,y=0-3=-3,

,C的坐標(biāo)為(0,-3),

將B、C代入y=x°+bx+c,

得：1=C，解得：Qi,

I0=9+3b+cIc=-3

拋物線的解析式為：y=x2-2x-3；

⑵由⑴知,0B=0C=3,

ΛZOBC=Z0CB=45o,

記拋物線對稱軸交X軸于E,

Vy=x2-2x-3=(x-D2-4,

.?.拋物線對稱軸為直線x=l,

ΛEB=2,

.?.頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4),

若NCBP=I5°,則分兩種情況,

①如圖，當(dāng)P在直線BC下方時(shí),

ΛtanZEBP=?∕3,

ΛEP=2√3,

ΛDP=4-2√3,

Λt=4-2√3,

tanNEBP=里=返，

EB3

.W=零.?.DP=4一平,.?.t=4-學(xué),

綜上，t=4-2Λ∕5或4-

②設(shè)P的坐標(biāo)為(1,n),令y=χ2-2x-3=0,x=3或-1,

ΛA的坐標(biāo)為(-1,0),

此時(shí)PC2=1+(n+3)2=n2+6n+10,

PA2=(1÷1)2÷n2=4÷n2,

AC2=1+32=1O,

當(dāng)NPCA=90°時(shí),PC2+AC2=AP2,

8

n2+6n+10+10=4÷n2,解得：n=-^,

O

；.P的坐標(biāo)為(1,-?,DP=4-

???

4

?'t=3,

當(dāng)NAPC=90°時(shí)，AP2+PC2=AC2,

4÷n2÷n2÷6n÷10=10,解得：n=-1或-2,

.?.P的坐標(biāo)為(1,-1)或(1,-2),

DP=4-1=3或DP=4-2=2,

Λt=3或2,

當(dāng)NPAC=90°時(shí)，PA2+AC2=CP2,

2

n2+4÷10=n2÷6n÷10,解得：n=~,

O

2

???P的坐標(biāo)為(L-),

?

,21414

DP=4÷?~=?-O??t=-,

414

綜上，t=g或3或2或?γ.

10.解:(1)根據(jù)題意，設(shè)A(m,0),B(3m,0),

y=(x-m)(x-3m)=x'-4mx+3m',

Λ3m2=12,

解得：m=±2,

Vm>0,

Λm=2,3m=6,

Λb=-4m=-8,A(2,O),B(6,O),

故答案為：-8,(2,0),(6,0)；

(2)由(1)知，拋物線解析式為y=χ2-8x+12,0B=6,

令x=0,得y=12,

ΛC(O,12),

Λ0C=12,

設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OD=2t,

①當(dāng)t≤6時(shí)，點(diǎn)D在線段OC上，如圖(1),過點(diǎn)E作EK〃x軸交y軸于點(diǎn)K,

VEK√OB,

?DK=EK=DE,

,ODOBBD,

VBE=5DE,

ΛBD=DE+BE=6DE,

.-.DK=EK=I,

OD66

Λ0D=6DK,EK=L

1

:?DK=τt,

?

15

ΛOK=OD-DK=2t-τt=τt,

OO

/5、

.,.E(1,-t),

?

5,

.?-t=l2-8X1+12,

?

.?.t=3,

②當(dāng)t>6時(shí)，點(diǎn)D在線段OC的延長線上，如圖(1'),

過點(diǎn)E作EK〃OB交y軸于點(diǎn)K,

VBE=5DE,

.,.BD=BE-DE=4DE,

VEK√OB,

λEK=DK=DE,即至=眸辿L=L

OBODBD62t4DE4

31

EK=-,DK=~t,

,,15

0K=0D÷DK=2t+-t=~t,

,35、

?,.E(--乙,-乙t),

.,.∣t=(-|)2-8×(-1)+12,解得：t=?y,

21

綜上所述，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒或5秒；

(3)*.*y=x2-8x+12=(x-4)2-4,

.?.頂點(diǎn)F(4,-4),

?；MN〃x軸且經(jīng)過點(diǎn)F(4,-4),

二直線MN為y=