2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)練習(xí)：空間向量及其運算的坐標(biāo)表示（附答案解析）

2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)：1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示

一.選擇題(共5小題)

1.在空間直角坐標(biāo)系中，8(-1,2,3)關(guān)于X軸的對稱點為點片，若點C(l,1,-2)

關(guān)于OXZ平面的對稱點為點。，則ECl=()

A.√2B.√6C.√14D.√30

2.兩平面的法向量分別為益=(0,1,O),n=(0,1,1),則兩平面的夾角為()

A.90°B.60oC.45oD.135°

3.已知點E在正方體ABCZ)-AIBICIol的側(cè)面AAIBIB內(nèi)(含邊界)，尸是AAi的中點，若

DiElCF,貝IJtan/BCE的最小值為()

Vs--?/?

A.—B.Vr2—1C.Vγ3—1D.—

55

4.已知；％是空間直角坐標(biāo)系0-XyZ中X軸、y軸、Z軸正方向上的單位向量,且&=3k,

AB=-7+7-?,則點B的坐標(biāo)為()

A.(1,-1,1)B.(-1,1,1)C.(1,-1,2)D.(-1,1,2)

5.已知Z=(1-Z,1,O),Z=(2,f,力，則值-群的最小值是)

A.1B.√2C.√3D.√5

二.填空題(共4小題)

6.設(shè)空間向量α=(-1,2,m),b=(2,n,-4),若?！?,則|a—b∣=

7.已知Z=(4,3,-√2),b=(0,-2,√2),則向一&=

8.已知空間向量Z=(2,-1,1),b=(1,L2)分別是OA,OB的方向向量，貝IJ值+

b?=；向量；與b的夾角為.

9.己知α=(-2,—1,3),b=(1,-3,2),則COSVα,b>=

Ξ.解答題(共2小題)

10.已知點A(1,-2,0)和向量之=(-3,4,12).

(1)若應(yīng)=會求點8的坐標(biāo)；

(2)若X軸上的一點C滿足VZAO=^,求AC的長.

11.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求AABC的面積；

→→→→

(2)若向量COIl48,且ICDl=√ΣI,求向量CO的坐標(biāo).

2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)：1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示

參考答案與試題解析

選擇題(共5小題)

1.在空間直角坐標(biāo)系中，B(-1,2,3)關(guān)于X軸的對稱點為點F,若點C(l,1,-2)

關(guān)于。XZ平面的對稱點為點C,則EC,1=()

A.?[2B.√6C.√14D.√30

【解答】解：空間直角坐標(biāo)系中，B(-1,2,3)關(guān)于X軸的對稱點為點BY-1,-2,

-3),

點C(l,1,-2)關(guān)于OXZ平面的對稱點為點C(1,-1,-2),

所以∣B'C∣=√(1+l)2+(-l+2)2+(-2+3)2=√6.

故選：B.

2.兩平面的法向量分別為薪=(0,1,O),n=(0,1,1),則兩平面的夾角為()

A.90°B.60°C.45oD.135°

【解答】解：兩平面的法向量分別為薪=(0,1,O),n=(0,1,1),

所以CoS<m,n>=-￥&.=—??-=率，

∣n∣∣m∣1×√22

則兩平面的夾角為45°.

故選：C.

3.已知點E在正方體ABCC-4BICIDl的側(cè)面AAIBlB內(nèi)(含邊界)，F(xiàn)是AAl的中點，若

DiElCF,貝IJtan/BCE的最小值為()

√5--V3

A.—B.Vr2—1C.?γ/?—1D.—

55

【解答】解：在RtZSBEC中，tanNBCE=皆，所以當(dāng)EB取最小值時，tan∕8CE最小.

設(shè)AAl=2,以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則C(2,2,O),F(0,0,1),D?(0,2,2),設(shè)E(x,O,z).

所以C?=(一2,-2,1),D；E=(X,-2,2—2),由條件有鼠-。；￡'=一2刀+2+2=

0,即2χ-z-2=0.

取AB中點M,則E點的軌跡為線段BiM.

當(dāng)時，BE最小，此時BE=備所以tan∕BCE=,=辱

故選：A.

4.己知；1是空間直角坐標(biāo)系OTyZ中X軸、y軸、Z軸正方向上的單位向量,且&=3fc,

A?=-7÷7-fc,則點B的坐標(biāo)為（）

A.(1,-1,1)B.(-1,1,1)C.(1,-1,2)D.(-1,1,2)

【解答】解：由題意可知，OA=（0,0,3),AB=(-1，L-1),

所以√?=0?-&,

設(shè)3(x,y,z),貝∣J(-1,1,-I)=(X,y,z-3),

解得X=-1,y=l，z=2,

故8(-L1,2).

故選：D.

5.已知N=(1-r,LO),b=(2,t,r),則|b—a∣的最小值是()

A.1B.√2C.√3D.√5

【解答】解：Va=(1-6LO),b=(2,t,t),

T→

∕?b—a=(1+6LLt),

：.\b-a?=√(1+￠)2+(t-l)2÷t2

=y∕3t2+2,

，當(dāng)f=0時，Ib-a取最小值￠.

故選：B.

二,填空題(共4小題)

6.設(shè)空間向量i=(-1,2,W,b=(2,/t,-4),若之〃￡則向一Zl=9.

【解答】解：因為空間向量或=(-1,2,∕n),b=(2,/?,-4),?α√h,

所以b=λa,

即(2,m-4)=入(-1,2,m),

2=一λ

可得Ti=22，解得∕n=2,n=-4,

—4=Am

所以Q=(-1,2,2),b—(2,-4,-4),

貝!∣α—b=(-3,6,6),

所以而-b?=J(-3)2+62+62=9.

故答案為：9.

7.已知日=(4,3,-√2),h=(0,-2,√2),則一-Il=7.

【解答】解：Va=(4,3,-√2),h=(0,-2,√2),

：.a-b=(4,5,-2√2),

?'?∣α—h∣=Λ∕16+25+8=7.

故答案為：7.

8.已知空間向量α=(2,-1,1),b=(l,1,2)分別是OA,OB的方向向量，則∣α+b∣=

3V2_；向量J與?的夾角為60°.

【解答】解：根據(jù)題意，空間向量Z=(2,-1,1),b=(l,1,2),

則或+；=(3,0,3),則值+&=V9+0+9=3√Σ,

a?b=2×1+(-1)×1+1×2=3,∣α∣=√4+1+1=√6,?b?=√4+1+1=√6,

TTq1

貝IJcos<α,b>=-r=~~7==?,

√6×√62

又由0°≤<a,fe>≤180o,則<次6>=60°,

故答案為：3√2,60°.

TTTTl

9.已知Q=(―2,—1/3),b—(1/-3/2),則COSVQ,h,>=".

【解答】解：???一=(-2,一1,3),b=(1,一3,2),

?J、hE71

EHbl^?√142

故答案為：?.

2

三.解答題(共2小題)

10.已知點A(1,-2,0)和向量2=(—3,4,12).

(1)若AB=Z求點3的坐標(biāo)；

(2)若X軸上的一點C滿足V；,ΛC>=J,求AC的長.

【解答】解：(1)：點A(1,-2,0)和向量Z=(-3,4,12),AB=a,

：.0B=OA+a=(1,-2,0)+(-3,4,12)=(-2,2,12).

,B點坐標(biāo)為(-2,2,12).

(2)設(shè)C(x,0,0),則A=(χ-1,2,0),

軸上的一點C滿足VZAO=1,

TTO

.,.AC-a=-3(χ-l)+8=0,解得X-I=*

.?.AC的長為：Jg)2+22=苧.

II.己知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1