2024年大學(xué)試題(理學(xué))-數(shù)值分析筆試歷年真題薈萃含答案

2024年大學(xué)試題(理學(xué))-數(shù)值分析筆試歷年真題薈萃含答案（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.參考題庫(共30題)1.設(shè)方程組 （a）考察用雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法解此方程組的收斂性； （b）用雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法解此方程組，要求當(dāng)時迭代終止。2.用改進(jìn)的尤拉方法解初值問題 取步長h=0.1計算，并與準(zhǔn)確解y=-x-z+2ex相比較。3.設(shè)x=（11，0，5，1）T，則=（），=（），=（）。4.用復(fù)化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為0.5×10-5。5.已知x=[0，-1，2]T，求∥x∥∞，∥x∥1，∥x∥2.6.用SOR方法解方程組（分別取松弛因子ω=1.03，ω=1，ω=1.1） 精確解要求當(dāng)時迭代終止，并且對每一個ω值確定迭代次數(shù)。7.已知方程組Ax=b，其中， （1）試討論用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解此方程組的收斂性。 （2）若有迭代公式，試確定a的取值范圍，使該迭代公式收斂。8.設(shè)有函數(shù)值表： 9.假設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，求f（x）的零次最佳一致逼近多項式。10.用列主元消元法解線性方程組作第一次消元后得到的第3個方程（）.A、B、C、D、11.將矩陣A分解為單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，其中，然后求解該方程組。12.令║·║是Rn（或Cn）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實（或復(fù)）矩陣，定義范數(shù)，證明。13.數(shù)值積分公式是否為插值型求積公式，為什么？又該公式的代數(shù)精確度為多少？ 14.利用Gauss變換陣，求矩陣的LU分解。15.如有下列表函數(shù)： 則一次差商f[0.2，0.4]=（）16.迭代過程xk+1=φ（xk）（k=1，2，...）收斂的充要條件是（）。17.設(shè) 求∥A∥∞，∥A|1，∥A∥2及cond（A）∞，cond（A）2。18.畫圖說明牛頓迭代公式的幾何意義。19.給出cosx，0°≦x≦90°的函數(shù)表，步長h=1′=（1/60）°，若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求cosx近似值時的總誤差界。20.已知求解線性方程組Ax=b的分量迭代格式 （1）試導(dǎo)出其矩陣迭代格式及迭代矩陣； （2）證明當(dāng)A是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，時此迭代格式收斂。21.分析下列方程各存在幾個根，并找出每個根的含根區(qū)間： 22.證明下列兩種龍格－庫塔方法是三階的： 23.對方程可建立差分公式 試用這一公式求解初值問題 驗證計算解恒等于準(zhǔn)確解 24.利用初等反射陣將 正交相似約化為對稱三對角陣。25.拉格朗日插值多項式的余項是（）A、f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）B、C、f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）D、26.取步長h=0.1，求解初值問題用改進(jìn)的歐拉法求y（0.1）的值。27.分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分： 28.Jacobi迭代法解方程組Ax=b的必要條件是（）A、A的各階順序主子式不為零B、ρ（A）<1C、aii≠0，i=1，2，...，nD、║A║≤129.用改進(jìn)歐拉方法計算初值問題取步長h=0.1計算到y(tǒng)5.30.用牛頓（切線）法求的近似值。取x0=1.7，計算x1，x2，x3的值，保留五位小數(shù)。第1卷參考答案一.參考題庫1.參考答案: 2.參考答案: 如下所示： 3.參考答案: 17；11；4.參考答案: 如下： 5.參考答案:6.參考答案: 7.參考答案: 8.參考答案:9.參考答案: 設(shè)所求為g（x）=c， 由定理可知g（x）在[a，b]上至少有兩個正負(fù)交錯的偏差點(diǎn)，恰好分別為f（x）的最大值和最小值處，故由 可以解得 即為所求。10.參考答案:D11.參考答案: 如下： 12.參考答案: 13.參考答案: 14.參考答案: 15.參考答案:0.616.參考答案:|φ′（x）|<117.參考答案:18.參考答案: 牛頓迭代公式就是切線與?x?軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以牛頓法是用切線與?x?軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來近?似代替曲線與x?軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 19.參考答案: 如下： 20.參考答案: 21.參考答案:22.參考答案: 如下： 23.參考答案: h=1，xn=n，初值條件等于準(zhǔn)確解，由數(shù)學(xué)歸納法代入差分公式中可得 即差分法求出的解恒等于準(zhǔn)確解。24.參考答案: 由豪斯荷爾德方法得 25.參考答案:B26.參考答案: 改進(jìn)的歐拉法： 所以y（0.1）=y1=127.參考答案: 如下： 28.參考答案:C29.參考答案: 如下： 30.參考答案: 如下： 第2卷一.參考題庫(共30題)1.設(shè)A∈Rn*n，證明當(dāng)ρ（A）<1時，矩陣序列Sk=I+A+L+Ak（k=0，1，2，L）收斂，并求其極限。2.由下列數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（） A、5B、4C、3D、23.用冪法計算下列矩陣的主特征值及對應(yīng)的特征向量： 當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時迭代終止。4.令Tn（x）=Tn（2x-1），x∈[0，1]，求T*0（x），T*1（x），T*2（x），T*3（x）。5.試確定常數(shù)A，B，C和a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為高斯型的？6.對一元2次方程具有5位有效數(shù)字，求其具有5位有效數(shù)字的根。7.3.141580是π的有（）位有效數(shù)字的近似值。A、6B、5C、4D、78.如何選取r，使p（x）=x2+r在[-1，1]上與零偏差最?。縭是否唯一？9.L為階的上三角陣，試計算用回代算法解上三角方程組所需的乘除法運(yùn)算次數(shù)。10.設(shè)x=（1，9，-5，2）T，則=（），=（），=（）。11.已知： 分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f（x）的三次插值多項式P3（x），并求f（2）的近似值（保留四位小數(shù)）。12.設(shè)方程組 證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時收斂或發(fā)散。13.導(dǎo)出如下3個求積公式，并給出截斷誤差的表達(dá)式。 14.試用最小二乘法，求解下列超定方程組： 15.設(shè)A為n階矩陣，如果稱A為對角優(yōu)勢陣。證明：若A是對角優(yōu)勢陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A具有形式 16.對于一階微分方程初值問題，取步長h=0.2，用Euler預(yù)報－校正法求y（0.2）的近似值。17.設(shè) 計算A的條件數(shù)。cound（A）v（v=2，∞）18.插值型求積公式的求積系數(shù)之和=（）。其中x2為權(quán)函數(shù)，19.設(shè)求A的LU分解。20.如果方陣A有aij=0（|i-j|>t），則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè)A滿足三角分解條件，試推導(dǎo)A=LU的計算公式，對r=1，2，...，n。 21.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求誤差<0.05。22.應(yīng)用牛頓法于方程f（x）=xn-a=0和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求 23.若f（x）=a0+a1x+...+an-1xn-1+anxn有n個不同實根x1，x2，...，xn，證明： 24.已知方程x3-2x-5=0在x=2附近有根，下列迭代格式中在x0=2不收斂的是（）。A、B、C、D、25.求證：當(dāng)m≤f（x）≤M時，當(dāng)m≤Bn（f，x）≤M；當(dāng)f（x）=x時，Bn（f，x）=x。26.設(shè)f（0）=0，f（1）=16，f（2）=46，則f[0，1]=（），f[0，1，2]=（），f（x）的二次牛頓插值多項式為（）。27.利用區(qū)間變換推出區(qū)間為[a，b]的伯恩斯坦多項式。28.對于初值問題，證明當(dāng)h29.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，使誤差小于0.05。30.給定f（x）=ex。設(shè)x=0是4重插值節(jié)點(diǎn)，x=1是單重插值節(jié)點(diǎn)，試求相應(yīng)的Hermite插值公式，并估計誤差（x∈[0，1]）。第2卷參考答案一.參考題庫1.參考答案:2.參考答案:D3.參考答案: 4.參考答案: T*0（x）=T0（2x-1）=1， T*1（x）=T1（2x-1）=2z-1， T*2（x）=T2（2x-1）=8x2-8x+1， T*3（x）=T3（2x-1）=32x3-48x2+18x-1， 其中x∈[0，1]。5.參考答案: 6.參考答案:7.參考答案:B8.參考答案: 切比雪夫多項式在[-1，1]上對零偏差最小，所求函數(shù)必為切比雪夫多項式的常數(shù)倍， 9.參考答案:10.參考答案: 17；9；11.參考答案: 如下： 12.參考答案: Jacobi迭代為 其迭代矩陣 13.參考答案:14.參考答案:15.參考答案: 則A2是對角優(yōu)勢陣，故高斯消去法與部分選主元高斯消去法對于對稱的對角優(yōu)勢陣每一步均選取同樣的主元，得出的是同樣的結(jié)果。16.參考答案: Euler預(yù)報－校正法 17.參考答案: 18.參考答案: 19.參考答案: 20.參考答案: 高斯消去法公式中去掉aij=0（|i-j|>t）即可推出該公式。21.參考答案: 如下： 22.參考答案: 如下： 23.參考答案: 由于x1，x2，...，xn是f（x）的n個互異的零點(diǎn)，所以 24.參考答案:C25.參考答案: M≤f（x）≤M，故 當(dāng)