八章空解與向量代數(shù)曲面方程

2012-2-24第3次課四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束曲面及其方程一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說(shuō)明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問(wèn)題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故所求方程為例1.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:說(shuō)明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過(guò)配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個(gè)球面,或點(diǎn),或虛軌跡.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、柱面引例.

分析方程表示怎樣的曲面.的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過(guò)此點(diǎn)作柱面.對(duì)任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義3.若一動(dòng)直線l沿定曲線C

移動(dòng),且始終與某一的直線l’平行，則這樣形成的軌跡叫做柱面.

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.

z

軸的平面.

表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xoy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線

yoz面上的曲線l2.母線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號(hào))(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞

z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.(p,q同號(hào))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束雙曲線:虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束相交直線:雙曲線:(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束圖形4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線.①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.

空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束本節(jié)重點(diǎn):(2)熟悉常用的二次曲面:圓柱面,拋物柱面,馬鞍面圓錐面,球面,橢球面,橢圓拋物面,旋轉(zhuǎn)拋物面.已知曲面方程,會(huì)用截痕法分析其是哪一種曲面,并畫出草圖.(1)會(huì)根據(jù)已知條件建立軌跡方程.斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面思考與練習(xí)1.指出下列方程的圖形:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.P31題

10機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束題10答案:在xoy

面上作業(yè)P311;2;4;5;7第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2011-2-28第4次課

第8章一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第四節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度,稱為螺距

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線C的一般方程為消去

z

得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,在xoy面上的投影曲線方程為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又如,所圍的立體在xoy

面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy面上的投影曲線所圍之域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)

空間曲線三元方程組或參數(shù)方程

求投影曲線(如,圓柱螺線)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)P37題

1，2，7（展示空間圖形）P37題1

(2)(1)答案:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束P37題2(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:交線情況如何?交線情況如何?P37題2(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束