四川省遂寧市射洪中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

射洪中學(xué)高2022級(jí)強(qiáng)基班高二上期第三次學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷(選擇題)一、單選題1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即得.【詳解】復(fù)數(shù)，所以.故選：A2.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，其中3個(gè)事件的概率分別為0.2，0.3，0.5，則下列說法中正確的是（）A.與是互斥事件，也是對(duì)立事件 B.是必然事件C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件可知，事件不一定是互斥事件，然后逐項(xiàng)求解即可.【詳解】由已知條件可知，一次隨機(jī)試驗(yàn)中產(chǎn)生的事件可能不止事件這三個(gè)事件，故，從而AB錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.3.等比數(shù)列{an}中，a1+a4+a7=6，a3+a6+a9=24．則{an}的公比q為（）A.2 B.2或 C. D.3【答案】B【解析】【分析】由，代入即得解詳解】由題意，故選：B4.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則直線與圓C的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，則，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離.故選：C5.如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（）A. B. C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】A【解析】【分析】由可得，兩式相減可證明數(shù)列從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減得，即，因?yàn)?，所以，所以?shù)列中，從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列，所以，所以．由得，所以，得，所以，故選：A．7.已知圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知圓的圓心到直線的距離小于或等于2，進(jìn)而可得.【詳解】由題意可知，由得，圓心為，半徑為因，故根據(jù)題意圓的圓心到直線即的距離小于或等于2，所以得，即得，可得，故選：D8.如圖所示，雙曲線與拋物線有公共焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)與拋物線相交于點(diǎn)，若，雙曲線的離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，由知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，從而得到長(zhǎng)，根據(jù)在拋物線上可表示出的坐標(biāo)，也就得到的坐標(biāo)，代入漸近線方程可建立的關(guān)系求得.【詳解】根據(jù)題意，如圖：因?yàn)殡p曲線和拋物線共焦點(diǎn)，故可得，又到的距離，即，又，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，由拋物線定義知，解得；由可得，則由等面積可知：，解得，則，則，又點(diǎn)在漸近線上，即，即，又，聯(lián)立得，即，解得，故故選：B.【點(diǎn)睛】對(duì)于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率,本題關(guān)鍵是求出的坐標(biāo)代入漸近線方程建立方程求解.二、多選題9.關(guān)于，的方程(其中)表示的曲線可能是（）A.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 B.圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的圓C.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 D.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)各曲線的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證參數(shù)的取值即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A：若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，無解，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若曲線表示圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)的圓，則，解得，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，所以或，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：若曲線表示長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，則，，則或，無解，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體4個(gè)表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件M為“第一次向下的數(shù)字為3或4”，事件N為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.事件M發(fā)生的概率為 B.事件M與事件N互斥C.事件M與事件N相互獨(dú)立 D.事件發(fā)生的概率為【答案】AC【解析】【分析】A應(yīng)用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定義，結(jié)合題設(shè)描述判斷；C判斷是否成立即可；D應(yīng)用對(duì)立事件的概率求法求發(fā)生的概率即可判斷.【詳解】由題設(shè)知：，A正確；由：“第一次向下的數(shù)字為3或4”與：“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，而發(fā)生同時(shí)也有可能發(fā)生，故不是互斥事件，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，而，故，即事件M與事件N相互獨(dú)立，C正確；，表示“第一次向下的數(shù)字為1或2”且“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，故，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.下列關(guān)于等比數(shù)列單調(diào)性的結(jié)論不正確的是（）A.若數(shù)列是遞增數(shù)列,則公比B.若公比,則數(shù)列一定是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列C.若,則數(shù)列是遞減數(shù)列D.若,則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式結(jié)合與的關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)且時(shí),數(shù)列也是遞增數(shù)列,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),數(shù)列是常數(shù)列,不是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)?即,整理得且,所以,則,所以數(shù)列是遞減數(shù)列,故C正確;對(duì)于D,令且,則,,,,,此時(shí)成立,但數(shù)列不是遞增數(shù)列,故D錯(cuò)誤.故選:ABD.12.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點(diǎn)到軸的距離為B.過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條C.是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則D.【答案】CD【解析】【分析】首先根據(jù)拋物線的幾何意義，求出拋物線方程，根據(jù)焦半徑公式判斷A；對(duì)所求的直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，根據(jù)直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求出直線的方程，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)三角形相似判斷C，首先證明，再利用基本不等式判斷D.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，則拋物線，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)、，則，解得，又為線段的中點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到軸的距離為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若過點(diǎn)的斜率不存在時(shí)，則該直線為軸，由圖可知，軸與拋物線相切，若過點(diǎn)的直線的斜率為零，此時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線的斜率存在且不為零，設(shè)該直線的方程為，考慮直線與拋物線相切，聯(lián)立，可得，則，解得，即直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，故滿足條件的直線共有三條，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，垂足為，則，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，則，則，所以，即，所以，則，故C正確；對(duì)于D：依題意過點(diǎn)的直線的斜率不為，設(shè)過點(diǎn)的直線為，由，消去得，顯然，所以，，則，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．第II卷(非選擇題)三、填空題13.拋物線，過焦點(diǎn)的弦AB長(zhǎng)為8，則AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為____.【答案】2【解析】【分析】利用梯形中位線定理，結(jié)合拋物線的定義，先求出弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，最后求出弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】拋物線的準(zhǔn)線的方程為：，焦點(diǎn)為,分別過，作，垂足為，在直角梯形中，，由拋物線的定義可知：，因此有，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為：2.14.已知是雙曲線上的點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知求出的值.結(jié)合圖象可知點(diǎn)應(yīng)在雙曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的定義可得.結(jié)合圖象，以及兩點(diǎn)間的距離公式，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，，，.如圖，設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支內(nèi)部，要使最小，則點(diǎn)應(yīng)在雙曲線的右支上.根據(jù)雙曲線的定義可得，，所以，.所以，.由圖象可知，當(dāng)三點(diǎn)共線且如圖示位置時(shí)，有最小值.又，所以，所以，有最小值，即有最小值.故答案為：.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，若，且是整數(shù)，則的值為______.【答案】15【解析】【分析】先得到，設(shè)等差數(shù)列的公差分別為，利用和得到方程組，求出，進(jìn)而表達(dá)出為整數(shù)，設(shè)，求出，由求出的取值范圍，從而得到答案.【詳解】由題意得，設(shè)等差數(shù)列的公差分別為，，，故，故，又，故，即，，又，，即，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，解得又是整數(shù)，即是整數(shù)，設(shè)，故，即，解得，令，解得，且，當(dāng)時(shí)，滿足要求，當(dāng)時(shí)，不合要求，當(dāng)時(shí)，不合要求，當(dāng)時(shí)，不合要求，當(dāng)時(shí)，不合要求，綜上，的值為15.故答案為：1516.已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)A，B及動(dòng)點(diǎn)P，若（且），則點(diǎn)P的軌跡是圓．后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，直線：，直線：，若P為，的交點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】先通過直線和過定點(diǎn)以及垂直關(guān)系求出點(diǎn)軌跡，然后根據(jù)阿波羅尼斯圓的特點(diǎn)找到使恒成立的點(diǎn)，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最小值即可.【詳解】直線：即，過定點(diǎn)直線：即，過定點(diǎn)又，故，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，即點(diǎn)的軌跡為，即，假設(shè)存在點(diǎn)，使恒成立，設(shè)則，整理得，與的軌跡對(duì)照得，解得，即存在點(diǎn)，使，即，所以，即的最小值為.故答案為：.四、解答題17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）用和表示即可求解；（2）由（1）給出的表達(dá)式，再用和表示即可求解.【小問1詳解】證明當(dāng)時(shí)，由得，所以，又，所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不符合故18.已知雙曲線M：與拋物線有相同的焦點(diǎn)，且M的虛軸長(zhǎng)為4.（1）求M的方程；（2）是否存在直線l，使得直線l與M交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為？若存在，求l的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】1819.不存在，詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列方程，解方程即可得到雙曲線的方程；（2）根據(jù)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)得到斜率，然后聯(lián)立直線和雙曲線方程來判斷直線與雙曲線是否相交.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，依題意可得，解得，，故M方程為.【小問2詳解】設(shè)，，則兩式相減得.依題意可得所以.所以直線:，即，聯(lián)立得，，所以直線l與M不相交，故不存在直線l.19.在一次射擊游戲中，規(guī)定每人最多射擊3次；在A處擊中目標(biāo)得3分，在B，C處擊中目標(biāo)均得2分，沒擊中目標(biāo)不得分；某同學(xué)在A處擊中目標(biāo)的概率為，在B，C處擊中目標(biāo)的概率均為，該同學(xué)依次在A，B，C處各射擊一次，各次射擊之間沒有影響，求在一次游戲中：（1）該同學(xué)得4分的概率；（2）該同學(xué)得分不超過3分的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析該同學(xué)得4分的情況，利用獨(dú)立事件的概率公式即可得解；（2）利用獨(dú)立事件的概率公式，依次求出該同學(xué)得0分、2分，3分的概率，從而得解.【小問1詳解】設(shè)該同學(xué)在A處擊中目標(biāo)為事件A，在B處擊中目標(biāo)為事件B，在C處擊中目標(biāo)為事件C，事件A，B，C相互獨(dú)立，依題意，則該同學(xué)得4分的概率為.【小問2詳解】該同學(xué)得分不超過3分的情況為得0分、2分，3分，該同學(xué)得0分的概率為；得2分的概率為；得3分的概率為；則該同學(xué)得分不超過3分的概率為.20.已知圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為1且過點(diǎn)的直線與圓相切，圓：.（1）若圓與圓相交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；（2）若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，使得.【解析】【分析】（1）斜率為1且過點(diǎn)的直線方程為，由其與圓相切結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得圓的半徑，從而可得圓的方程.圓的方程減去圓的方程，可得所在的直線方程為，根據(jù)垂徑定理可求；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，可得三點(diǎn)共線，根據(jù)斜率公式求出，由垂直關(guān)系可得，從而可求的值，再驗(yàn)證直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)即可.【小問1詳解】斜率為1且過點(diǎn)的直線方程為，即.則到直線的距離為，即為圓的半徑，所以圓的方程為.由圓的方程減去圓的方程，可得，即.因?yàn)閳A與圓相交于，兩點(diǎn)，則所在的直線方程為.到的距離為，所以.【小問2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所?又，所以三點(diǎn)共線.圓：的圓心為,半徑為3，故，所以，即.因?yàn)橹本€：，所以，解得,此時(shí)直線：.圓心到直線的距離為，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得.21.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為為的中點(diǎn).將沿折起，使到達(dá)，連接，得到四棱錐.（1）證明：；（2）當(dāng)二面角的平面角在內(nèi)變化時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解線面角，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【小問1詳解】由題意證明如下，在菱形中，為的中點(diǎn)，，是等邊三角形，，在翻折過程中，恒有，又平面，平面，平面，；【小問2詳解】由題意及（1）得，為二面角的平面角，記其為，則，以的方向?yàn)檩S的正方向，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系