河北省石家莊市南董鎮(zhèn)中學2022年高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析

河北省石家莊市南董鎮(zhèn)中學2022年高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=（）x﹣x﹣2的零點所在的區(qū)間為（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）參考答案：A【考點】二分法的定義．【分析】由函數(shù)零點的存在性定理，結合答案直接代入計算取兩端點函數(shù)值異號的即可．【解答】解：f（﹣1）=2+1﹣2=1＞0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，由函數(shù)零點的存在性定理，函數(shù)f（x）=（）x﹣x﹣2的零點所在的區(qū)間為（﹣1，0）故選，：A2.sin45°?cos15°+cos225°?sin15°的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GO：運用誘導公式化簡求值．【分析】先通過誘導公式cos225°=﹣cos45°，再利用正弦兩角和公式化簡即可得出答案．【解答】解：sin45°?cos15°+cos225°?sin15°=sin45°?cos15°﹣cos45°?sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=故答案選C3.設均為復數(shù)，若則稱復數(shù)是復數(shù)的平方根，那么復數(shù)（是虛數(shù)單位）的平方根為（

）A.或

B.或

C.或

D.或

參考答案：A4.橢圓上一點M到焦點的距離為2，是的中點，O為坐標原點，則等于（

）

A．2

B．3

C．4

D．6參考答案：B略5.正方體的全面積為a，它的頂點都在球面上，則這個球的表面積是（）A． B． C．2πa D．3πa參考答案：B【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）；球的體積和表面積；球內接多面體．【分析】設球的半徑為R，則正方體的對角線長為2R，利用正方體的表面積求出與球的半徑的等式，然后求出球的表面積．【解答】解：設球的半徑為R，則正方體的對角線長為2R，依題意知R2=a，即R2=a，∴S球=4πR2=4π?a=．故選B【點評】本題是基礎題，解題的突破口是正方體的體對角線就是球的直徑，正確進行正方體的表面積的計算，是解好本題的關鍵，考查計算能力．6.設雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關于x軸對稱，由滿足條件的直線只有一對，得，由此能求出雙曲線的離心率的范圍．【解答】解：不妨令雙曲線的方程為，由|A1B1|=|A2B2|及雙曲線的對稱性知A1，A2，B1，B2關于x軸對稱，如圖，又∵滿足條件的直線只有一對，當直線與x軸夾角為30°時，雙曲線的漸近線與x軸夾角大于30°，雙曲線與直線才能有交點A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于30°，則無交點，則不可能存在|A1B1|=|A2B2|，當直線與x軸夾角為60°時，雙曲線漸近線與x軸夾角大于60°，雙曲線與直線有一對交點A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于60°，也滿足題中有一對直線，但是如果大于60°，則有兩對直線．不符合題意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴雙曲線的離心率的范圍是．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的性質及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．7.袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的球各2個，無放回的從中任取3個球，則恰有兩個球同色的概率為（） A． B． C． D．參考答案：B【考點】古典概型及其概率計算公式． 【專題】計算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計． 【分析】從紅、黃、藍三種顏色的球各2個，無放回的從中任取3個球，共有C63=20種，其中恰有兩個球同色C31C41=12種，根據(jù)概率公式計算即可． 【解答】解：從紅、黃、藍三種顏色的球各2個，無放回的從中任取3個球，共有C63=20種， 其中恰有兩個球同色C31C41=12種， 故恰有兩個球同色的概率為P==， 故選：B． 【點評】本題考查了排列組合和古典概率的問題，關鍵是求出基本事件和滿足條件的基本事件的種數(shù)，屬于基礎題． 8.如圖，設A是棱長為a的正方體的一個頂點，過從此頂點出發(fā)的三條棱的中點作截面，截面與正方體各面共同圍成一個多面體，則關于此多面體有以下結論，其中錯誤的是()A．有10個頂點B．體對角線AC1垂直于截面C．截面平行于平面CB1D1D．此多面體的表面積為a2參考答案：D

此多面體的表面積S＝6a2－3××a×a＋×a×a×＝a2＋a2＝a2.故選D.9.設函數(shù)f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）A．[） B．[） C．[） D．[）參考答案：D【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；51：函數(shù)的零點．【分析】設g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，問題轉化為存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，求導數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解關于a的不等式組可得．【解答】解：設g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），∴當x＜﹣時，g′（x）＜0，當x＞﹣時，g′（x）＞0，∴當x=﹣時，g（x）取最小值﹣2，當x=0時，g（0）=﹣1，當x=1時，g（1）=e＞0，直線y=ax﹣a恒過定點（1，0）且斜率為a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故選：D10.如圖，三棱錐的底面是正三角形，各條側棱均相等，．設點、分別在線段、上，且，記，的周長為，則的圖象可能是(

)

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面向量，，滿足，，，則的最大值為___________．參考答案：【分析】只有不等號左邊有，當為定值時，相當于存在的一個方向使得不等式成立．適當選取使不等號左邊得到最小值，且這個最大值不大于右邊．【詳解】當為定值時，當且僅當與同向時取最小值，此時，所以．因為，所以，所以所以，當且僅當且與同向時取等號．故答案為：．【點睛】本題考察平面向量的最值問題，需要用到轉化思想、基本不等式等，綜合性很強，屬于中檔題．

12.集合,,且，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：略13.橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則_________；的小大為__________．

參考答案：略14.設函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，為其導函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集為

．參考答案：設，則,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù),故是上的奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，而,;即,當時,不等式等價于,由，得；當時,不等式等價于,由，得,故所求的解集為.15.下圖是某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結果是________．參考答案：1016.等比數(shù)列{}的公比,已知=1，，則{}的前4項和=

參考答案：17.已知集合A={x|x2=4}，B={x|ax=2}．若B?A，則實數(shù)a的取值集合是．參考答案：{﹣1，0，1}【考點】18：集合的包含關系判斷及應用．【分析】由題意推導出B=?或B={﹣2}或B={2}，由此能求出實數(shù)a的取值集合．【解答】解：∵集合A={x|x2=4}={﹣2，2}，B={x|ax=2}，當a=0時，B=?，當a≠0時，B={}，∵B?A，∴B=?或B={﹣2}或B={2}，當B=?時，a=0；當B={﹣2}時，a=﹣1；當B={2}時，a=1．∴實數(shù)a的取值集合是{﹣1，0，1}．故答案為：{﹣1，0，1}．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.若函數(shù)f（x）=ax3﹣bx+4，當x=2時，函數(shù)f（x）有極值為，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3個解，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）先對函數(shù)進行求導，然后根據(jù)f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，進而確定函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)（1）中解析式然后求導，然后令導函數(shù)等于0求出x的值，然后根據(jù)函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系確定單調性，進而確定函數(shù)的大致圖象，最后找出k的范圍．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由題意；，解得，∴所求的解析式為（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴當x＜﹣2時，f′（x）＞0，當﹣2＜x＜2時，f′（x）＜0，當x＞2時，f′（x）＞0因此，當x=﹣2時，f（x）有極大值，當x=2時，f（x）有極小值，∴函數(shù)的圖象大致如圖．由圖可知：．19.已知平面內一動點到點F（1，0）的距離與點到軸的距離的差等于1．（I）求動點的軌跡的方程；（II）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與軌跡相交于點，與軌跡相交于點，求的最小值．參考答案：解析：（I）設動點的坐標為，由題意為化簡得當、所以動點P的軌跡C的方程為（II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為．由，得設則是上述方程的兩個實根，于是．因為，所以的斜率為．設則同理可得：

故當且僅當即時，取最小值16．略20.（本小題滿分12分）解關于x的不等式ax2－2≥2x－ax

(a>－2).參考答案：解：原不等式可化為：1°若，不等式可化為得………………3分

2°若，不等式可化為

相應方程的2根為，顯然

故……7分3°若，則，故………………11分綜上：1°當時，不等式的解集為2°當時，不等式的解集為3°當時，不等式的解集為………………12分（注釋：在綜上之前已寫成解集，不總結，不扣分）略21.已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點A,B。已知點A的坐標為。若，求直線的傾斜角。參考答案：，，解得所以直線的傾斜角為考點：1、離心率、菱形面積公式、橢圓的標準方程；2、直線與橢圓的位置關系，弦長公式、直線斜率的定義，傾斜角的范圍.

略22.（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為的中點．（1）求證:直線平面；（2）若點是棱的中點，求證:平面；（3）若，求二面角的正切值.參考答案：解答：(1)證明：AD∥BC，BC＝AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四