A1從歐氏幾何到解析幾何(第一次課)

從歐氏幾何到解析幾何

湖南大學(xué)

數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院前言幾何學(xué)的起源

幾何學(xué)的起源十分久遠(yuǎn)，它產(chǎn)生于早期人類(lèi)的社會(huì)實(shí)踐，從人類(lèi)對(duì)實(shí)物形狀的認(rèn)識(shí)開(kāi)始。而促進(jìn)幾何學(xué)產(chǎn)生的直接原因與土地測(cè)量及天文活動(dòng)有關(guān)。在古埃及，由于尼羅河每年泛濫一次，每次泛濫，洪水會(huì)淹沒(méi)兩岸的土地，一旦洪水退卻，需要重新測(cè)量土地。因此便逐漸產(chǎn)生了關(guān)于幾何形體的概念、性質(zhì)及其度量方面的知識(shí)。埃及人在劃分土地時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多不同形狀的農(nóng)田，都可以分割為幾塊較細(xì)小的三角形農(nóng)田，例：

長(zhǎng)方形農(nóng)田兩塊面積相等的三角形農(nóng)田梯形農(nóng)田三塊三角形農(nóng)田埃及數(shù)學(xué)文獻(xiàn)“莫斯科紙草書(shū)”與“蘭德紙草書(shū)”中計(jì)有110個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中有26個(gè)屬于幾何問(wèn)題，主要是計(jì)算土地面積、谷物體積等公式。由此可見(jiàn)，埃及人當(dāng)時(shí)已掌握了圓周長(zhǎng)、面積的近似公式，還知道三角形、圓柱體的求積公式。這些知識(shí)也在其它古老文明中出現(xiàn)，巴比倫人在公元前2000年—前1600年，已熟悉計(jì)算長(zhǎng)方形、直角三角形、等腰三角形的面積，以及一些形體的體積，還掌握了勾股定理的特殊情況。中國(guó)秦漢以前的幾何學(xué)內(nèi)容，沒(méi)有留下文字性材料，詳細(xì)情況不得而知，但從西漢成書(shū)的《九章算術(shù)》，以及農(nóng)業(yè)社會(huì)的社會(huì)形態(tài)上看，這些幾何知識(shí)也相當(dāng)興旺。歷史上，幾何學(xué)在很長(zhǎng)的一段時(shí)間里面是一門(mén)高度理論化的學(xué)科,在假設(shè)干世紀(jì)里,歐幾里得幾何控制著數(shù)學(xué)的舞臺(tái).一、歐氏幾何和歐氏空間歐幾里得〔Euclid,公元前330—公元前275〕是希臘亞歷山大的數(shù)學(xué)教師。于十幾歲的少年時(shí)，進(jìn)入“柏拉圖學(xué)園”學(xué)習(xí)。著名的古希臘學(xué)者阿基米德，是他“學(xué)生的學(xué)生”——卡農(nóng)是阿基米德的老師，而歐幾里得是卡農(nóng)的老師。歐幾里得將公元前七世紀(jì)以來(lái)希臘幾何積累起來(lái)的豐富成果，整理在嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)運(yùn)算之中，使幾何學(xué)成為一門(mén)獨(dú)立的、演繹的科學(xué)。歐幾里得最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的根底，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書(shū)。幾何，英文為“Geometry”，是由希臘文演變而來(lái)的，其原意為“土地測(cè)量”。我國(guó)明代徐光啟翻譯《幾何原本》時(shí)，將“Geometry”一詞譯為“幾何學(xué)”，就是從其音譯而來(lái)。歐幾里得不僅是一位學(xué)識(shí)淵博的數(shù)學(xué)家，同時(shí)還是一位有“溫和仁慈的藹然長(zhǎng)者”之稱(chēng)的教育家。在著書(shū)育人過(guò)程中，他始終牢記著柏拉圖學(xué)派自古承襲的嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的傳統(tǒng)學(xué)風(fēng)。他對(duì)待學(xué)生既和藹又嚴(yán)格，自己卻從來(lái)不宣揚(yáng)有什么奉獻(xiàn)。對(duì)于那些有志于窮盡數(shù)學(xué)奧秘的學(xué)生，他總是循循善誘地予以啟發(fā)和教育，而對(duì)于那些急功近利、在學(xué)習(xí)上不肯刻苦鉆研的人，那么毫不客氣地予以批評(píng)。1.《幾何原本》介紹

《幾何原本》共分十三卷，給出了467個(gè)命題，幾乎涵蓋了前人所有的數(shù)學(xué)成果。全書(shū)精心編排，把命題依照彼此的邏輯關(guān)系，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，將內(nèi)容按照順序排列起來(lái)是歐幾里得最成功的創(chuàng)造。1.《幾何原本》介紹第一卷是全書(shū)邏輯推理的根底，給出了什么是點(diǎn)、線(xiàn)、面等23個(gè)定義，5條公設(shè)，5個(gè)公理，由此討論三角形全等、邊角關(guān)系、垂線(xiàn)、平行線(xiàn)、平行四邊形、多邊形、勾股定理等。五條公設(shè)：〔1〕從每個(gè)點(diǎn)到每個(gè)別的點(diǎn)必定可引直線(xiàn)；〔2〕直線(xiàn)可以無(wú)限延長(zhǎng)；〔3〕以任一點(diǎn)為中心，任意長(zhǎng)為半徑可以作圓；〔4〕所有直角都相等；〔5〕假設(shè)一直線(xiàn)與兩條直線(xiàn)相交，且同側(cè)內(nèi)角和小于兩直角，那么此兩直線(xiàn)必在該側(cè)相交。五條公理：〔1〕等于同量的量相等；〔2〕等量加等量，和相等；〔3〕等量減等量，差相等；〔4〕彼此重合的東西是相等的；〔5〕整體大于局部。以下圖是目前發(fā)現(xiàn)的最早的歐幾里得《幾何原本》中的一頁(yè)1896-97由兩個(gè)探險(xiǎn)家〔B.P.GrenfellandA.S.Hunt〕在俄克喜林庫(kù)斯(Oxyrhynchus)發(fā)現(xiàn)的紙莎草紙〔公元75年-125年，現(xiàn)存于賓夕法尼亞大學(xué)〕.BookII:Proposition5:Ifastraightlineiscutintoequalandunequal

segments,thentherectanglecontainedbytheunequalsegmentsofthewholetogetherwiththesquareonthelinebetween

thepointsofsectionequalsthesquareonthehalf(fromtheclassictranslationofT.L.Heath).命題：如圖,設(shè)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，那么歐氏空間

后人把歐幾里得建立的幾何理論稱(chēng)為“歐氏幾何”；成立歐氏幾何的平面稱(chēng)為“歐氏平面”；成立歐氏幾何的空間稱(chēng)為“歐氏空間”。公理法歐幾里得在《幾何原本》使用的這種建立理論體系的方法稱(chēng)為“公理法〔原始公理法〕”。第Ⅴ〔五〕公設(shè)第Ⅴ公設(shè)等價(jià)于：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)只可作一直線(xiàn)平行于直線(xiàn)。在《幾何原本》問(wèn)世的兩千年中，不少人試圖去修正，尤其是第Ⅴ公設(shè)，被認(rèn)為可由其余九條所證出，或用更簡(jiǎn)單或更直觀(guān)的公理來(lái)代替。羅氏幾何俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基〔Lobatchevsky，1793-1856〕也希望能證明第Ⅴ公設(shè)，他企圖通過(guò)否認(rèn)第Ⅴ公設(shè)的等價(jià)命題來(lái)引出矛盾。但他推出了一個(gè)又一個(gè)新奇的結(jié)論后仍找不到邏輯上的矛盾，這些新的結(jié)論構(gòu)成了一個(gè)不同的幾何體系，后來(lái)被稱(chēng)為羅氏幾何。2.希爾伯特與《幾何根底》1899年德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特〔Hilbert,1862-1943〕發(fā)表了著作《幾何根底》。希爾伯特在這書(shū)中對(duì)歐幾里得幾何及有關(guān)幾何的公理系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究。他不僅對(duì)歐幾里得幾何提供了完善的公理體系，還給出證明一個(gè)公理對(duì)別的公理的獨(dú)立性以及一個(gè)公理體系確實(shí)為完備的普遍原那么。三個(gè)根本對(duì)象：點(diǎn)、直線(xiàn)、平面三種根本關(guān)系：“在……之上”、“在……中間”、“合同于”2.希爾伯特與《幾何根底》五組公理共20條：第一組關(guān)聯(lián)公理，共8條；第二組順序公理，共4條；第三組合同公理，共5條；第四組連續(xù)公理，共2條；第五組平行公理，共1條。這五組公理滿(mǎn)足了公理體系的三個(gè)根本要求，即相容性、獨(dú)立性和完備性。如果把這五組的公理稍作增減，便得出其他不同的幾何空間，例如把平行公理中的歐幾里得平行公理?yè)Q為羅巴切夫斯基平行公理，那便把「歐幾里得空間」換為「羅巴切夫斯基空間」?，F(xiàn)代公理法：以五組公理為根底，陸續(xù)定義了一些新的概念和證明一些新的結(jié)論〔定理〕，這樣建立起了一個(gè)依照邏輯關(guān)系，排列順序井然的體系，稱(chēng)為現(xiàn)代公理法。3.公理系統(tǒng)的三個(gè)問(wèn)題構(gòu)造一個(gè)公理體系并不容易，要求滿(mǎn)足以下條件：〔1〕無(wú)矛盾性：即所有的公理彼此不產(chǎn)生矛盾，也稱(chēng)相容性；〔2〕獨(dú)立性：即每一條公理都不能由其它公理推出，也就是公理組有最少個(gè)數(shù)，不能有多余的；〔3〕完備性：即已有的公理已足夠了，不能再增加與公理組都相容的新公理。在數(shù)學(xué)及其它領(lǐng)域，利用公理法思想的地方很多，但一般并未形成歐氏幾何公理系統(tǒng)這樣嚴(yán)格的理論體系。一般地，任何一個(gè)公理系統(tǒng)必須是相容的，但未必是獨(dú)立的，完備性更不是必需的。3.公理系統(tǒng)的三個(gè)問(wèn)題

除了歐氏幾何，羅氏幾何與射影幾何的公理系統(tǒng)也具備以上三個(gè)條件。任何一個(gè)公理體系都不可能在本系統(tǒng)內(nèi)證明它的無(wú)矛盾性，也就是說(shuō)任何一個(gè)理論系統(tǒng)最終還是要靠實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)它的真?zhèn)闻c價(jià)值。3.公理系統(tǒng)的三個(gè)問(wèn)題自從歐幾里得的《幾何原本》問(wèn)世以來(lái)，人們一直把代數(shù)限定在研究數(shù)及其關(guān)系的范疇內(nèi)，把幾何限定在研究位置和圖形的范疇內(nèi)。代數(shù)和幾何截然分家持續(xù)了幾千年，猶如兩座高山被萬(wàn)丈深淵分割.二、解析幾何二、解析幾何到了文藝復(fù)興時(shí)期，代數(shù)學(xué)從阿拉伯傳到歐洲以后，數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)爾瑪受代數(shù)學(xué)的啟發(fā)，有了用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何的思想，從而產(chǎn)生了連接代數(shù)和幾何的橋梁，將“數(shù)”和“形”緊密聯(lián)系在一起的科學(xué)，解析幾何學(xué)，又名坐標(biāo)幾何學(xué)。二、解析幾何法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾〔R.Descartes1596-1650〕于1637年發(fā)表長(zhǎng)篇著作《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，該書(shū)三個(gè)附錄之一《幾何學(xué)》闡述了他的坐標(biāo)幾何的思想，標(biāo)志著解析幾何的誕生。笛卡兒在《幾何學(xué)》里，創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系。他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線(xiàn)的距離來(lái)確定點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來(lái)描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而又創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，說(shuō)明了幾何問(wèn)題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過(guò)代數(shù)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來(lái)代數(shù)和幾何別離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來(lái)，使幾何曲線(xiàn)與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的創(chuàng)見(jiàn)，為微積分的創(chuàng)立奠定了根底，從而開(kāi)拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。最為可貴的是，笛卡兒用運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)，把曲線(xiàn)看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡，不僅建立了點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且把形〔包括點(diǎn)、線(xiàn)、面〕和“數(shù)”兩個(gè)對(duì)立的對(duì)象統(tǒng)一起來(lái)，建立了曲線(xiàn)和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，不僅標(biāo)志著函數(shù)概念的萌芽，而且標(biāo)明變數(shù)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生了偉大的轉(zhuǎn)折--由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。恩格斯評(píng)價(jià)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了數(shù)學(xué)，微分和積分也立刻成為必要的了”〔《自然辯證法》〕。笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問(wèn)題歸結(jié)成代數(shù)形式的問(wèn)題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而到達(dá)最終解決幾何問(wèn)題的目的。1.笛卡爾的思想核心2.笛卡爾的兩個(gè)根本觀(guān)念〔1〕坐標(biāo)觀(guān)念：其作用是把歐氏平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)。2.笛卡爾的兩個(gè)根本觀(guān)念〔2〕將帶兩個(gè)未知數(shù)的方程和平面上的曲線(xiàn)相比照的觀(guān)念：例如二元方程，這種通常有無(wú)窮多組解的所謂“不定方程”對(duì)代數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)是索然無(wú)趣的，但笛卡爾注意到當(dāng)x連續(xù)地改變時(shí)，方程相應(yīng)確定的y，于是兩個(gè)變量x,y可以看作是平面上運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)的坐標(biāo)，于是這樣的點(diǎn)組成一條平面曲線(xiàn)。2.笛卡爾的兩個(gè)根本觀(guān)念以上兩個(gè)觀(guān)念概括來(lái)講，就是用代數(shù)方法去解決幾何問(wèn)題，這就是解析幾何的根本思想。具體地，借助坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象，幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化，從而用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題。3.空間解析幾何1731年，法國(guó)人克雷洛〔Clairant1713-1765〕出版了《關(guān)于雙重曲率的曲線(xiàn)的研究》一書(shū)。這是一個(gè)最早的空間解析幾何著作，同時(shí)也研究了微分幾何學(xué)。

在空間建立坐標(biāo)系，可以把點(diǎn)與有序三實(shí)數(shù)組建立對(duì)應(yīng)。從而，可用方程表示曲面，用方程組：

表示空間的曲線(xiàn)。3.空間解析幾何空間解析幾何主要研究二次曲面，如：橢球面、雙曲面、拋物面及二次柱面等三、幾何學(xué)在古代工程測(cè)量中的應(yīng)用(一)海船測(cè)距〔二〕金字塔測(cè)高泰勒斯〔Thales〕的二個(gè)問(wèn)題泰勒斯〔Thales，約公元前600年〕，是希臘哲學(xué)的奠基人之一，并被希臘人和羅馬人尊為“希臘七賢”之一，是他最早將幾何研究引進(jìn)希臘，人們稱(chēng)之為演繹推理之父。他既是一位數(shù)學(xué)家，又是一名教師，一名哲學(xué)家，一名天文學(xué)家，一個(gè)精明的商人，而且是第一個(gè)采用一步步證實(shí)的方法來(lái)證明自己結(jié)論的幾何學(xué)家。(一)海船測(cè)距這個(gè)問(wèn)題是泰勒斯〔Thales〕提出的，他還提出勒金字塔的測(cè)高問(wèn)題，對(duì)于生活在2600余年〔公元前約600年〕前的泰勒斯，至今人們所知甚少，只知道是希臘哲學(xué)的奠基人之一，并被希臘人和羅馬人尊為“希臘七賢”之一。那時(shí)沒(méi)有任何平面幾何，當(dāng)然更沒(méi)有全等三角形的概念，時(shí)間是公元前600年。在那個(gè)時(shí)代，他能夠想到利用這種方法進(jìn)行測(cè)量已經(jīng)使很偉大的了！〔二〕金字塔測(cè)高

公元前585年，泰勒斯正確地預(yù)言了當(dāng)時(shí)的日蝕。他還利用影子和相似三角形來(lái)計(jì)算大金字塔地高度，并使埃及人為之震驚！圖中的四棱錐為金字塔，左邊的小三角形表示一個(gè)裝置，即在平地上樹(shù)起一根3米的桿子，在某一時(shí)刻，它在太陽(yáng)光底下的影子比方說(shuō)是4.8米。泰勒斯在同一時(shí)刻測(cè)得金字塔在太陽(yáng)光底下的影子是235米。因?yàn)檫@數(shù)字是在同一時(shí)刻測(cè)出的，故由于那兩個(gè)粗線(xiàn)三角形相似，從而泰勒斯測(cè)得的塔高應(yīng)從下式來(lái)計(jì)算：金字塔高=235×3/4.8=146.875〔米〕要注意的是，此處比例值〔桿高/桿影長(zhǎng)〕是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。其實(shí)這個(gè)數(shù)在一天里的不同時(shí)刻有著不同的值，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)來(lái)自太陽(yáng)在地平線(xiàn)上升起的角度。泰勒斯特地根