新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理學(xué)生用書新人教A版必修第二冊

6.3平面對量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面對量基本定理學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解平面對量基本定理及其意義，了解向量基底的含義．(數(shù)學(xué)抽象)2．把握平面對量基本定理，會(huì)用基底表示平面對量．(規(guī)律推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)在物理課《力的合成與分解》中，我們知道，一個(gè)力可以分解成很多對大小、方向不同的分力．學(xué)問點(diǎn)平面對量基本定理1．平面對量基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)__________結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使__________________2．基底若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一個(gè)基底．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)基底中的向量可以是零向量． ()(2)平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的． ()(3)若AB＝a，AC＝b，AD是△ABC的中線，則AD＝12(a＋b)． (類型1平面對量基本定理的理解【例1】(多選)假如e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是()A．a(chǎn)＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的全部向量B．對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(λ，μ)有無窮多個(gè)C．若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則λ1λD．若存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一表示．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(多選)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)全部向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中，能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2類型2用基底表示向量【例2】(源自湘教版教材)如圖，△ABC中，AB邊的中點(diǎn)為P，重心為G．在△ABC外任取一點(diǎn)O，作向量OA，(1)試用OA，OB表示(2)試用OA，OB，[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基底表示其他向量的方法方法一：利用向量的線性運(yùn)算及法則對所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止．方法二：列向量方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知△OAB中，點(diǎn)D在線段OB上，且OD＝2DB，延長BA到點(diǎn)C，使BA＝AC，連接OC，DC．設(shè)OA＝a，OB＝b．(1)用a，b表示OC，(2)若OC與OA＋kDC共線，求k的值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3平面對量基本定理的應(yīng)用【例3】(2022·江蘇馬壩高中月考)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，且AE＝2BE，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．(1)設(shè)AB＝a，AD＝b，用a，b表示ED，(2)已知ED⊥EF，求證：AB＝32AD[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________利用向量解決幾何問題的一般思路(1)選取不共線的兩個(gè)平面對量作為基底．(2)將相關(guān)的向量用基底表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．(3)利用向量學(xué)問進(jìn)行向量運(yùn)算，得向量問題的解．(4)將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．用向量方法證明：菱形對角線相互垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對角線．求證：AC⊥BD．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)全部向量基底的是()A．{AB，DC} B．{C．{BC，CB} D．{2．已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值為()A．3 B．－3C．0 D．23．在△ABC中，O為△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，則λ－2μ＝()A．－12 B．－C．43 D．－4．如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)AC＝a，BD＝b，用基底{a，b}表示AB，BC，則AB＝________，BC＝回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．平面內(nèi)滿足什么條件的兩個(gè)向量可以構(gòu)成基底？2．若存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，μ1，μ2及不共線的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，則λ1，λ2，μ1，μ2有怎樣的大小關(guān)系？6.3.1平面對量基本定理[必備學(xué)問·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問點(diǎn)1．不共線向量a＝λ1e1＋λ2e2課前自主體驗(yàn)(1)×(2)√(3)√[關(guān)鍵力量·合作探究釋疑難]例1BC[由平面對量基本定理可知，AD的說法是正確的．對于B，由平面對量基本定理可知，若平面的基底確定，那么同一平面內(nèi)任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的．對于C，當(dāng)λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0時(shí)，結(jié)論不成立．]跟進(jìn)訓(xùn)練1．ACD[選項(xiàng)B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2與3e1－4e2共線，∴不能作為基底，選項(xiàng)A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底．]例2解：(1)OP＝OA+AP＝OA＝OA＋12＝OA＋12OB＝12OA＋(2)OG＝OP+PG＝OP＋13PC＝＝OP＋13OC＝23OP＝231＝13OA＋13跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)由題意知A為BC的中點(diǎn)，∴OA＝12(∴OC＝2OA-OB＝2a－DC＝OC-OD＝OC－23OB＝2(2)由(1)得OA＋kDC＝(2k＋1)a－53kb∵OC與OA＋kDC共線，設(shè)OC＝λ(OA＋kDC)，則2a－b＝λ(2k＋1)a－53λkb∴2=λ2k+1，-1=-例3解：(1)由于AE＝2BE，所以AE＝23AB，所以ED＝AD-AE＝b－2EF＝EB+BF＝13AB＋12AD＝(2)證明：由于ED⊥EF，所以ED·EF＝0，即b-23a·13a+12即|a|＝32|b|，所以AB＝32跟進(jìn)訓(xùn)練3．證明：設(shè)AB＝a，AD＝b．由于四邊形ABCD為菱形，所以|a|＝|b|，又AC＝AB+AD＝a＋b，BD＝AD-AB＝則AC·BD＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，故AC⊥BD．所以AC⊥BD．[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]1．D[由于AB，2．A[由平面對量基本定理，得5x則①－②得x－y＝3．]3．D[由題意可得BO＝23×12(BA+BC)＝13BA＋13BC＝13BA＋13(BA+AC)＝23BA＋134．12a－12b12a＋12b[法一：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O(圖略)，則有AO＝OC＝12AC＝12a，B