河北省唐山市高三三模數(shù)學(xué)試題

唐山市2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試第三次模擬演練

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,已知集合∕={x∣x<T或x>D,5={X∣-3<X<2}J則/∏8=()

A.(1,2)B.(-3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-l)U(l,2)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集運算可得答案.

【詳解】因為集合Z={x∣x<T或x>l},B={x?-3<x<2},

所以∕∏8=(-3,-l)U(l,2),

故選：D

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=I—JJi,則9=()

Z

A.l-√3iB.l+√3∕C.-l-√3iD.-l+√3i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可得答案.

_444(l+√3i)4+4√5ir.

【詳解】復(fù)數(shù)Z=I-Gi，則-=7=7=7-----ET-----LX=-：——=1+v??.

Z1-√3ι(l-√3ijp+√3iJ1+3

故選：B.

3.二項式(4-^)6的展開式中的常數(shù)項為

X

A.-15B.20C.15D.-20

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二項式定理寫出二項展開式通項，令X基指數(shù)為零，可求得r=2,代入展開式通項可求得常

數(shù)項.

【詳解】二項式（五一4）展開式通項為：（T=c；.=（TyCrWL

6-3尸?

令一y—=0得：r=2，常數(shù)項為：（一1）2。；=15

本題正確選項：C

【點睛】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項展開式的通項公式.

4,正方形力BCZ）邊長為4,“為中點，點N在/。上，兩.麗=20，則I麗卜（）

A.√5B.2√5C.5D.10

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)麗=ZlN萬，以詼,脛為基向量表示出的,而，然后由兩.麗=20求出4的值可得答

案.

【詳解】設(shè)前=4%萬，

因為蕭=就+由=前+；0，BN=BA+AN=BA+λBC>

因為正方形力8C。邊長為4，BA-BC=O^

所以兩.麗=（交+；0）（0+/1前）=16/1+8=20,解得；［=:，

所以I麗∣=J16+9=5,

故選：C

5.把邊長為板的正方形ZBCD沿對角線AC折成直二面角D-AC-B,則三棱錐D-ABC的外接球的

球心到平面38的距離為（）

A,3B.顯C如D1

3232

【答案】A

【解析】

【分析】由圖形的幾何性質(zhì)得球心位置，利用等體積轉(zhuǎn)化求點面距離即可.

【詳解】

由圖所示，易知三棱錐0-48C的外接球球心為NC的中點。，易得OB=OC=OD=I,且OCLO8,Oo，面

OBC,

計算可得BC=CD=BD=√2，設(shè)球心到平面BCD的距離為d,

n，XIXLXIXI=LdX

則VD-OBC=%-BCDnd=叵

323f×H3

故選：A

2

6.已知橢圓U5+∕=ι的兩個焦點分別為片,工，點〃為C上異于長軸端點的任意一點，/片出的角

IMF2I

平分線交線段耳工于點N,則匕弓=()

1r√Γor√2

A.-t>.-----X-.------------D.√2

552

【答案】D

【解析】

MF.F.N

【分析】根據(jù)三角形平分線性質(zhì)求得起=益,利用定義及比例即可求解.

【詳解】因為N片的角平分線交線段月月于點N,

所以NFIMN=/NMF?,

MF.FNMFFN

所以由正弦定理得嬴樂122

sinHMNsinAMNF2sinZF2MN

又因為

SinNMNK=SinNMAB,sinZFtMN=sinAF2MN,

所以篝=篝，即篝=落，不妨設(shè)〃，如圖:

F,I=X,∣QV|=

111

FiNF2NMF2F2N'

,2a-xc-nEga(c-?-n)

則rl------=——，解得X=L——L,

Xc+nc

a(c+n)

所以IMKLXC_a.ɑ

122

IgMc+nc+nc√a-b

由題意α=J^^,b=1,所以>J='

故選：D

7,假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有5件，其中有2件次品；第二箱內(nèi)裝有10件，其中有3件次品.現(xiàn)從兩

箱中隨機挑選1箱，然后從該箱中隨機取1個零件，若取到的是次品，則這件次品是從第一箱中取出的概

率為（）

1374

A.-B.-C.—D.-

37207

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件概率的計算公式可算出答案.

【詳解】設(shè)事件A表示從第一箱中取一個零件,事件8表示取出的零件是次品,

12

4

則叩⑻=篇=I在37

\/-X-H—×

25210

故選：D

Sinm

8.已知3"'=e且α=cos"[,b=?--m2c=----e是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）

2m

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】首先證明常用不等式：Sin(X)<x<tan(x),xe(θ,]J,故當(dāng)x∈(0,l)時，sinx<x<tanx.由

ISInf∏?

條件得加=---∈(0,1),a.b,c>O,由------=tan∕%>機可得c>Q,由。-b=cosm—1+—,令

In3cosm2

/(x)=cosx-l+∣x2,x∈(0,l),利用/(X)單調(diào)性可得α>b,從而得出答案.

【詳解】首先證明常用不等式：Sin(X)<x<tan(x),xe

設(shè)〃(X)=Sinx—x,x∈fθ,?j,貝∣Jp'(X)=COSX-1<0,所以P(X)在x∈(θ,∣?)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)

X∈[0,萬>寸,P(X)<sinO-O=O,即SinX<x；

設(shè)鄉(xiāng)(x)=tanx—X,x∈∣0,y∣,則/(X)=G——1>0,所以q(x)在XWl0,口上單調(diào)遞增，所以當(dāng)

?,NJCoSX\乙)

x∈(θ,?jn?,q(X)>tanO-O=O,即tanx>x.

所以，當(dāng)XW0，T時,sinx<x<tanx.

故當(dāng)x∈(0,1)時，sinX<X<tan%.

?.?3zw=e,?In3w=Inc?w??e(θ,l),Λa,b,c>O,

In3v7

sinmSin加

tanm>m..)---->cosm,即C>Q,

cosmm

712

Va-b=cos∕n-1l÷-m,

2

令∕^(x)=CoSX-I+QX?X∈(0,1),

/r(x)=-sinx÷x>0,/(x)單調(diào)遞增，.?./(x)>/(O)=O,

1?

則。一6=COSM—1+一加>O,即α>b,

2

綜上，c>a>b.

故選：B.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，有選錯的得O分，部分選對的得2分.

9.為了得到函數(shù)y=cos（2x-∕J的圖象，只需把余弦曲線V=Cosx上所有的點（）

IJT

A.橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移一

23

B.橫坐標(biāo)縮短到原來的I;倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移VTT

26

TTI

C.向右平移上，再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，縱坐標(biāo)不變

32

D.向右平移再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍，縱坐標(biāo)不變

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮平移變換即可得出結(jié)果.

TTJT

【詳解】函數(shù)y=COSX的圖象向右平移§個長度單位，得y=cos（x-］）,

再將橫坐標(biāo)縮短為原來的g倍（縱坐標(biāo)不變），得y=cos-g）

函數(shù)y=cosX圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來的g倍（縱坐標(biāo)不變），得y=cos2x,

再向右平移四個長度單位，得y=cos2X--,即y=cos（2x+工）.

6Lve/j3

故選：BC

10.已知加，〃為異面直線，加，平面。，〃，平面夕，/是空間任意一條直線，以下說法正確的有（）

A.平面α與β必相交

B.若/_1_，則///ɑ

C.若/與〃所成的角為30。，則/與平面夕所成的角為60。

D.若加與〃所成的角為30。，則平面α與夕的夾角為60。

【答案】AC

【解析】

【分析】反證法可判斷A,列舉特殊情況判斷B,由線面角定義判斷C,求二面角的平面角判斷D.

【詳解】對A,若平面α與月平行，則"，夕，又“，戶，

則加〃〃，與加，〃為異面直線矛盾，故平面α與夕必相交，故A正確；

對B,Ilm,/可能在平面α內(nèi)，所以///α不正確，故B錯誤;

對C,過〃上一點尸作∕'〃/,交6于A,則直線ZB為/'在平面月上的射影，如圖,

所以/'與平面"所成的角為/P45，由題意知4P8=30°,所以NPNB=60°,

由/'〃/可知，/與平面戶所成的角為60°,故C正確；

對D,平移機,〃過點O,分別與α,夕交于C,。，平面OCD與棱E/交于0,連接C。,。。，如圖,

由加，〃分別垂直兩平面，易知棱ER與平面OeQ垂直，可得CQ,。。與EE垂直，

故NCQD為二面角的平面角，由根與〃所成的角為30。，可知NCQ0=15O°,

所以平面α與夕的夾角為180。-150。=30°,故D錯誤.

故選：AC.

11.函數(shù)/(X)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,若〃X)為奇函數(shù)，且/(x+2)=∕(x),則()

A./'(X)為偶函數(shù)

B.∕,(0)=0

C./(χ)的圖象關(guān)于(1,0)對稱

D.若尸(x)=∕(x)+4'(x),則尸(X)為奇函數(shù)

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及奇偶性的定義判斷A、D,利用特殊值判斷B,根據(jù)周期性及奇偶

性判斷函數(shù)的對稱性，即可判斷C

【詳解】因為/(x)為奇函數(shù)且在定義域R上可導(dǎo)，即/(-x)=-∕(x),

所以兩邊對X取導(dǎo)可得(_xyf(-x)=-T(X)，即/'(-χ)=f(χ)，

所以/'(X)為偶函數(shù),故A正確;

2JT

對于B：令/(x)=sin(πx),顯然/(x)為奇函數(shù)，且最小正周期T=——=2,

π

即滿足/(x+2)=∕(x),則/'(x)=πcos(πx),則/'⑼=兀,故B錯誤；

對于C：因為/(x+2)=∕(x)且/(x)為R上的奇函數(shù),所以/(r)="√(x),

即“x+2)=-∕?(r),所以∕?(xT+2)=∕(x+l)=-∕?(lr),即“x+l)+∕(IT)=0,

所以/(χ)的圖象關(guān)于(LO)對稱，故C正確；

對于D:因為77(X)=/(x)+M'(x),則∕7(-x)=f(-x)-V,(-x)=-?(?)-√,(x)=-∕7(x),

即∕7(x)為奇函數(shù)，由A可知/'(x)為偶函數(shù)，故D錯誤；

故選：AC

12.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中提到底面為長方形的屋狀的楔體(圖示的五面體

小一/8。。).底面長方形488中8。=3,/8=4,上棱長EF=2,且EF//平面4BCD,高(即

E尸到平面力BeD的距離)為1，。是底面的中心，則()

A.EO〃平面BC/

B.五面體S-48CZ)的體積為5

C.四邊形/8PE與四邊形CDEF的面積和為定值3√B

D.VZz)E與48CE的面積和的最小值為3亞

【答案】ABD

【解析】

【分析】取BC的中點G,可得四邊形EFG。為平行四邊形，則E?！‵G,從而￡?！ㄆ矫?CF,即可判斷

A；利用分割的方法，把幾何體分割成三部分，可得一個三棱柱和兩個四棱錐，再由已知求解即可判斷B；

'設(shè)NH=a,則M"=3-α,利用梯形面積公式計算四邊形48所與四邊形CQER的面積和，即可判斷

CiBN=X,則工。=了，且x+y=2,x>0,?≥0,則E與ABC尸的面積和為

222

S2=∣(√i7√+λ∕l+γ),利用不等式：當(dāng)a≥0,6≥0時，y∣a+h≥^(a+b^求解最小值即可判

斷D.

`:EF//OG,EF=OG,，四邊形EFGo為平行四邊形，.?.EO〃/G,

VfOc25Fffi-BCF,尸GU平面BCr,.?.EO〃平面BCE故A正確；

過廠作FH，平面月88,垂足為H,過〃作BC的平行線MM交.AB于N,交CD于M,

：W=平面/Bm：.FHlMN,

又ABLMN,FHCMN=H,MN,Fl尸平面FMN,平面FMN,

過E作EPHFM,交.CD于P,作EQ"FN,交于°,連接尸。，

`:EP//FM,EpB平面FMN,RMU平面FwM,EP〃平面RWN,

同理E?！ㄆ矫鍲MV,又EPCEQ=E,EP,E0z平面EP。，平面E尸0〃平面FMM

如圖，五面體EF-ABCD包含一個三棱柱EPQ-FMN和兩個的四棱錐E—ADPQ,F-BCMN,

；?五面體EF—ABCD的體積：V=VEPQ-FMN+VETDPQ+VF-BeMN

=SdFMNXQN+—SADPQXFH+~SSCMN×FH

=^×MN×FH×QN+^AQ×PQ×FH+^BC×BN×FH

=；XBCXFHXEF+∣(AQ+BN)xBC×FH

=Lχ3χlχ2+Lχ2χ3χl=5,故B正確；

23

設(shè)NH=a,則M∕=3-α,

222222

FN=y∣FH+NH=√l+α-FM=y∣FH+MH=A∕1+(3-^)?

四邊形ABFE與四邊形CDEF的面積和為S∣=；X(ER+/8)XEN+gx(EE+CD)χFM

222

=?×6×√l+a+→6×λ∕l+(3-a)=3pl+a+^1+(?-ɑ?,不是定值，故C錯誤;

過，作垂足為R,連接FR,

：在4，平面488,平面ZBCZ),；.FH工BC,

又FHCHR=H,FH,HRU平面FHR,；.BC工平面FHR,

；FRU平面FHR,.'.FR1.BC,

設(shè)BN=x,則/。=),且x+y=2,x≥O,y≥O,

△8CF的面積為］3CxER=∣?JiK78,同理，△/￡>E的面積為了，

22

則4NOE與ABCF的面積和為S2=j(√l+x+y∣?+y),

當(dāng)α20,620時，2(/+/)26+62+246=(4+6)2,即/+〃≥,

Λ√7+P^≥^(α+?).當(dāng)且僅當(dāng)α=6等號成立，

7

52=∣(√i77+√l+∕)>∣字(l+x)+∕(l+y)=3也,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l等號成立,

則△/￡>E與ABCF的面積和的最小值為3JI，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)S“為等比數(shù)列｛《,｝的前〃項和，％=；,尺=&,則Sj=.

7

【答案】一

8

【解析】

【分析】設(shè)公比為/由尺=4可解得q=q=—，代入求和公式即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為必

由Q；=4，得(。闖2)=%q'，則q=q=5,

7

故答案為：一.

8

14.已知拋物線C:_/=4x的焦點為b,過產(chǎn)且斜率為6的直線/與C交于48兩點，則-08的面積

為.

【答案】t

33

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線方程可確定口坐標(biāo)，從而得到直線/方程；將/方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線焦點

弦長公式和韋達定理的結(jié)論可求得?耳，利用點到直線距離公式可求得d,代入三角形面積公式即可.

【詳解】由拋物線方程知：E（l,0）,則直線/i=JJ（x-l）,即小一y-Ji=O:

由22=f°T）得:3X2-10X+3=0.

Iy=4χ

設(shè)Z（XI,必）,8（%2，%），則+%2=H，「?=X]+%2+2=5，

又坐標(biāo)原點。到直線/的距離d=-^==—,

√3+l2

.0_l∣jn∣1166_46

??S"OB=5網(wǎng)."=5Xy×^y=-

故答案為：速.

3

15.已知曲線N=InX與^=4/（。＞0）有公共切線，則實數(shù)“的取值范圍為.

【答案】—,+∞I

[2eJ

【解析】

【分析】設(shè)公切線與曲線的切點為（％,lnxj,卜2,謁），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求N=InX和歹=謂上

的切線方程，由所得切線方程的相關(guān)系數(shù)相等列方程求參數(shù)關(guān)系，進而構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求

參數(shù)范圍.

【詳解】設(shè)公切線與曲線V=InX和歹="2的切點分別為（石,inxj,（x2,^）1其中占?0,

1]X

對于N=InX有了=一，則y=lnx上的切線方程為y—lnx∣=—（x—玉），即丁=一+（InXl-1）,

XX1X1

對于V=OX2有y=2aχ,則y=aχ2上的切線方程為y-qx；=2aχ2（x-》2），即y=2心》一ax；，

1C

—=Iax11

所以《2

X],有一~2=InXl—1,即——=x1-X1InX1(X]>0),

Inx1-1=-axl

令g(x)=-—X2Inx,g,(x)=x-2xInx=x(1-2Inx),

令g'(x)=O,得X=/'

當(dāng)xe[θ,e?時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

/?、

當(dāng)Xee2,+∞時，g,(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

\/

,n1111

所以g(x)=gɑ2=-e,故0<—≤-e,即—.

'小?J24?22e

正實數(shù)。的取值范圍是'~,+s].

2e)

故答案為：——5+∞j.

L2eJ

16.數(shù)字波是由0和1組成的脈沖信號序列，某類信號序列包含有〃個數(shù)字0和〃個數(shù)字1,且每個數(shù)字0

之前1的個數(shù)多于0的個數(shù).當(dāng)〃等于3時，這樣的信號序列有種；當(dāng)〃等于5時.，這樣的信號

序列有種.

【答案】①.5②.42

【解析】

【分析】利用計數(shù)原理、插空法和列舉法即可得出答案.

【詳解】當(dāng)〃=1時，只有：10—種；

當(dāng)〃=2時，有IOI0、IlOo兩種；

當(dāng)〃=3時，說明有3個1、3個0,

且最后一位只能是0,即0,

可得IOlOl0、101100.llθlθθ?110010>UlOOO五種;

當(dāng)〃=5時，根據(jù)卡特蘭數(shù)的模型可得，

總排法為C：o,不符合題意的排法為C：o,

符合題意的排法C；o—C：o=42,

所以〃=5時，共有42種.

故答案為：5；42

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設(shè)S“為數(shù)列｛4｝的前“項和，an>Q,a>2an+l=4Sn.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）求數(shù)列《（-1）"一一》的前〃項和7?

IIaM,JJ

【答案】（1）an=2n-?

（2）^=-ι+（-ιr-i-

2/7+1

【解析】

【分析】（1）利用S"與al,的關(guān)系計算求通項；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用裂項相消法計算即可.

【小問1詳解】

己知a：+2a_+l=4S@

當(dāng)〃=1時，q=1.

當(dāng)〃≥2時，a：」+2a〃_[+1=4S“_i②

①-②得：a；+2an-a^i-2%T=4an,

即(％+LJ2)=0.

又4,,>0,所以4“+4_尸0,怎一α,τ=2.

所以數(shù)列｛4｝是以I為首項，2為公差的等差數(shù)列.

所以a”=2rt-l.

【小問2詳解】

4〃4?

設(shè)a=(T)"-?=(-ιr

、anan+?，(2n-l)(2n+l)

11

=(-l)n

2?-12M+1

11

-----------1-----------

2/7-12H+1

?

=-l+(-l)n

2〃+l

18.如圖所示，在三棱錐尸一48C中，已知P/_L平面力BC,平面R48_L平面PBC,點。為線段PC上

一點，且Po=2OC.

（1）證明：BCJL平面尸/8；

（2）若力8=6,BC=3,且三棱錐尸一NBC的體積為18,求平面48。與平面ZeZ）的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵回

5

【解析】

【分析】（1）過點A作ZELPB于點E，由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理可得/ElBC,PALBC,

再由線面垂直的判定定理可得答案；

（2）由體積求出PZ,以8為原點，分別以交成為X軸、了軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系8-平，

求出平面/83、平面ZCD的一個法向量，由二面角的向量求法可得答案.

【小問1詳解】

過點A作ZE_LPB于點E，

因為平面PAB±平面PBC,且平面PABC平面PBC=PB,AEU平面PAB,

所以NE_L平面PBC,

又BCu平面PBC,所以

又P4_L平面力3C,8Cu平面/8C,則&_LBC,

又因為ZECPN=4Z瓦PZU平面尸/8,

所以BCI平面尸/6；

【小問2詳解】

由(1)知BCl平面PZ8,48u平面尸/3,得BCL4B,

又VP-ABC=18,AB=6,BC=3,

所以LXLXZ8x8CxPZ=18,PN=6,

32

以8為原點，分別以前、就為X軸、＞軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系8-孫z,

則8(0,0,0),4(0,6,0),C(3,0,0),P(0,6,6),

又因為尸。=2。。，所以。(2,2,2),

AD=(2,-4,2),∑5=(0,-6,0),

NC=(3,-6,0),

設(shè)m=(x1,?1,zl)是平面ABD的一個法向量,

ADm^O2x—4y+2z=0

則_,即〈111

AB?m=0一6凹=0

所以可取比=(T,0,l),

設(shè)J=(X2,8/2)是平面ZcT)的一個法向量,

AD?=0?2X-4y+2z=0

則222所以可取3=(2,1,0),

AC?n=03工2-6%=。

所以平面48。與平面ZCO的夾角的余弦值為典

5

19.記入4BC的內(nèi)角4民。的對邊分別為a,b,c,已知A為鈍角，asinB=bcosB.

π

(1)若C=—,求A；

6

(2)求cosZ+CoSB+cosC的取值范圍.

【答案】⑴—

3

(.51

(2)1,-

I4」

【解析】

【分析】(1)由題意及正弦定理得到SiM=CoS8,即siM=sin(?∣+6],結(jié)合角的范圍可得

A=-+B,C=--2B,又C=々,/+3+C=兀，即可求得A；

226

(2)cosA+cos5+cosC=cos5-si∏β+2sin5cos5,令￡=cos5-SirLS,化簡得到

cos4+cosB+cosC=r+l-d,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【小問1詳解】

由QSirLS=bcosB,根據(jù)正弦定理得：sin4sin5=sinδcos5,

由于SinSwO,可知SirL4=cos8,即SirL4=sin[5+3)

因為A為鈍角，則6為銳角，即B∈[θ,]?

則—1-5∈[—,7ΓI,則Z=囚+8,C=四—2B.

2UJ22

由/=烏+民。=巴,/+8+。=兀，得Z=型.

263

【小問2詳解】

cosA+cos5+cosC=COS—+B+cos5+cos――2B

UJI2

=-sinB+CoSB+sin2S=cosB-sinB+2sin5cosB.

因為C==-28為銳角，所以0＜巴—26＜四，即0＜3＜色，則Bd—∈I—,—j,

22244(42J

外（?！唬?，

設(shè)t-COSB-SilI5=也CoSB+貝∣J2sin5cos8=l"，

cos√4+cosB+eosɑ=，+l-廣二-[t—∣H—?

I2J4

因為fe（0,l）,則,一；）∈0,；），從而一0—g）+jeɑ,?.

由此可知，COSN+cos8+cosC的取值范圍是[1,；.

20.據(jù)統(tǒng)計，某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元）與某類商品銷售額（單位:

億元）的10年數(shù)據(jù)如下表所示：

第〃年12345678910

居民年收入X

商品銷售額歹

依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計量的值.

1010

Z=I?/=I?一歹)

Σ>,S-力;(x,-5)(p

/=1/=1*一訃K)

391m

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù)個095.以此推斷，y與X的線性相關(guān)程度是否很強？

（2）根據(jù)統(tǒng)計量的值與樣本相關(guān)系數(shù)，?=0.95,建立》關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到）；

（3）根據(jù)（2）的經(jīng)驗回歸方程，計算第1個樣本點（32.2,25.0）對應(yīng)的殘差（精確到）；并判斷若剔除這

個樣本點再進行回歸分析，A的值將變大還是變??？（不必說明理由，直接判斷即可）.

?（x,.-x）（χ.-y）

附：樣本（知卜）（1=1,2,…,〃）的相關(guān)系數(shù)r=I“II”,

V/=IV/=1

√2.297?1.516-A=-----------------，a=y-bχ.

∑（x∕-^）2

/=1

【答案】（1）線性相關(guān)程度很強

(2)y=1.44x-15.56

(3)-5.81,變小

【解析】

【分析】(1)根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)-0.95,進得推斷即可；

BJ∑(y,-y)2-.

(2)由一=-yI=XJ2.297可求得B,由&=歹—忘"求得力,即可得線性回歸方程；

r

(3)第一個樣本點(32.2,25.0)的殘差為：25.0-(1.44x32.2-15.56),計算即可；由于該點在回歸直線

的左下方，故將其剔除后，A的值將變小.

【小問1詳解】

根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)-0.95,可以推斷線性相關(guān)程度很強.

【小問2詳解】

∑(x∕-x)(z?-j7)-x)(y.-y)

由r二≈095及b=『--------

I-22

J∑(^--)Jr∑r(yi-y)∑O

V/=1V/=I<'='

所以B=∕J2.297R0.95x1.516N1.440，

又因為亍=37.96,歹=39.1,

所以2=歹一宸*T5.56,

所以＞與X的線性回歸方程9=L44x—15.56.

【小問3詳解】

第一個樣本點(32.2,25.0)的殘差為：25.0—(1.44x32.2—15.56)=-5.808=-5.81,

由于該點在回歸直線的左下方，故將其剔除后，A的值將變小.

21.已知雙曲線氏=-/=]g〉o),左、右頂點分別為4,4,經(jīng)過右焦點E垂直于X軸的直線與E相

a"

交于48兩點，且MM=L

(1)求E的方程；

(2)若直線/：了=云+用與圓/+/=/相切，且與雙曲線左、右兩支分別交于《，鳥兩點，記直線耳4

的斜率為用，的斜率為左2,那么勺?左2是否為定值？并說明理由.

丫2

【答案】(I)--V2=I

4-

(2)是定值，理由見解析

【解析】

【分析】⑴根據(jù)|/a=1求出。=2,可得E的方程；

(2)由直線與圓相切得加2=4(1+F),聯(lián)立直線與雙曲線方程，得玉+%和西Z，由斜率公式得左左2,

利用X∣+》2和XIX2化簡可得結(jié)果?

【小問1詳解】

2?

設(shè)尸(c,0),把X=C代入到E的方程，得二r一J=I,即歹=±一,

a-a

22

因為∣Z8∣=1,所以—=1,即。=2,則雙曲線E的方程為土—/=1.

a4'

【小問2詳解】

左是否為定值，理由如下：

設(shè)耳(Xl,必，其中玉<0,X2>0>.

?t∏?

因為直線/：V=丘+加與圓X?+/=4相切，所以—7==2,即掰2=40+%2),

yj?+k2

y-kx+m

消去并整理得一左2)

聯(lián)立《X221V(142)--Smkx-^4m+4=0,

-----y二I

4,

l-?2≠0

Δ=64W2^2+4(1-4?2)(4W2+4)>0

所以《Smk

XI+=一

4k2-I

4//+4

MX,=——；----<Oλ

'-Ak2-I

因為x∣<0,X>0,XX=--—<0，即4左2一1<