新教材數(shù)學(xué)人教A版作業(yè)5-4-2第2課時(shí)正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)（二）

第五章5.4.A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．y＝2sinx2的值域是(A)A．[－2,2] B．[0,2]C．[－2,0] D．R[解析]∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，∴y＝2sinx2∈[－2,2]．2．函數(shù)y＝4sin(eq\f(π,6)x－eq\f(π,6))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為(D)A．0 B．－3C．－2－eq\r(3) D．4－2eq\r(3)[解析]∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,6)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,6)≤eq\f(4π,3)，∴sin(eq\f(π,6)x－eq\f(π,6))∈[－eq\f(\r(3),2)，1]，所以函數(shù)的值域?yàn)閇－2eq\r(3)，4]，故最大值與最小值之和為4－2eq\r(3)，故選D.3．函數(shù)y＝|sinx|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))[解析]畫出y＝|sinx|的圖象即可求解．故選C.4．已知函數(shù)f(x)＝－cosx，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(D)A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB．函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上是增函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)[解析]本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì)．∵f(x)＝－cosx的圖象即為函數(shù)f(x)＝cosx的圖象繞x軸翻折而成的，∴A，B，C均正確，函數(shù)f(x)應(yīng)是偶函數(shù)，故選D.5．三個(gè)數(shù)coseq\f(3,2)，sineq\f(1,10)，－coseq\f(7,4)的大小關(guān)系是(C)A．coseq\f(3,2)>sineq\f(1,10)>－coseq\f(7,4)B．coseq\f(3,2)>－coseq\f(7,4)>sineq\f(1,10)C．coseq\f(3,2)<sineq\f(1,10)<－coseq\f(7,4)D．－coseq\f(7,4)<coseq\f(3,2)>sineq\f(1,10)[解析]sineq\f(1,10)＝cos(eq\f(π,2)－eq\f(1,10))，－coseq\f(7,4)＝cos(π－eq\f(7,4))．∵π>eq\f(3,2)>eq\f(π,2)－eq\f(1,10)>π－eq\f(7,4)>0，而y＝cosx在[0，π]上單調(diào)遞減，∴coseq\f(3,2)<cos(eq\f(π,2)－eq\f(1,10))<cos(π－eq\f(7,4))，即coseq\f(3,2)<sineq\f(1,10)<－coseq\f(7,4).6．(2021·全國新高考Ⅰ卷)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝7sin(x－eq\f(π,6))單調(diào)遞增的區(qū)間是(A)A．(0，eq\f(π,2)) B．(eq\f(π,2)，π)C．(π，eq\f(3π,2)) D．(eq\f(3π,2)，2π)[解析]因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)，對(duì)于函數(shù)f(x)＝7sin(x－eq\f(π,6))，由2kπ－eq\f(π,2)<x－eq\f(π,6)<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得2kπ－eq\f(π,3)<x<2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，取k＝0，可得函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))，則(0，eq\f(π,2))?(－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))，(eq\f(π,2)，π)?(－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；取k＝1，可得函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(eq\f(5π,3)，eq\f(8π,3))，(π，eq\f(3π,2))?(－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3))且(π，eq\f(3π,2))?(eq\f(5π,3)，eq\f(8π,3))，(eq\f(3π,2)，2π)?(eq\f(5π,3)，eq\f(8π,3))，CD選項(xiàng)均不滿足條件．故選A.二、填空題7．函數(shù)y＝sinx，x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]的值域?yàn)閇－eq\f(\r(3),2)，1].[解析]y＝sinx在[－eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]上為增函數(shù)，在[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]上為減函數(shù)，當(dāng)x＝－eq\f(π,3)時(shí)，y＝sinx有最小值－eq\f(\r(3),2)，當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝sinx有最大值1，所以值域?yàn)閇－eq\f(\r(3),2)，1]．8．已知函數(shù)f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2015)＝7，則f(－2015)＝－5.[解析]由f(2015)＝2015a＋bsin2015＋1＝7，得2015a＋bsin2015＝6，∴f(－2015)＝－2015a－bsin2015＋1＝－(2015a＋bsin29．函數(shù)y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)的最大值為3.[解析]由y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝eq\f(2y－2,y＋1)(y≠－1)，因?yàn)椋?≤cosx≤1，所以－1≤eq\f(2y－2,y＋1)≤1，解得eq\f(1,3)≤y≤3，所以函數(shù)y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)的最大值為3.三、解答題10．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)y＝cos2x；(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).[解析](1)函數(shù)y＝cos2x的單調(diào)增區(qū)間、單調(diào)減區(qū)間分別由下面的不等式確定2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②解①得，kπ－eq\f(π,2)≤x≤kπ(k∈Z)，解②得，kπ≤x≤kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．故函數(shù)y＝cos2x的單調(diào)增區(qū)間、單調(diào)減區(qū)間分別為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)、eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))化為y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).∵y＝sinu(u∈R)的單調(diào)增、單調(diào)減區(qū)間分別為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．∴函數(shù)y＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的單調(diào)增、單調(diào)減區(qū)間分別由下面的不等式確定2kπ＋eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z) ①2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z) ②解①得，2kπ＋eq\f(3π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)，解②得，2kπ－eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．故函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的單調(diào)增區(qū)間、單調(diào)減區(qū)間分別為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,4)，2kπ＋\f(7π,4)))(k∈Z)、eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,4)，2kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)．11．求使下列函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的x的值，并求出函數(shù)的最大值和最小值．(1)y＝－sin2x＋eq\r(3)sinx＋eq\f(5,4)；(2)y＝cos2x－sinx，x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]．[解析](1)y＝－sin2x＋eq\r(3)sinx＋eq\f(5,4)＝－(sinx－eq\f(\r(3),2))2＋2.因?yàn)椋?≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx＝eq\f(\r(3),2)，即x＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)或x＝2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最大值，ymax＝2；當(dāng)sinx＝－1，即x＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)取得最小值，ymin＝eq\f(1,4)－eq\r(3).(2)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－(sinx＋eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4).因?yàn)椋璭q\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，所以－eq\f(\r(2),2)≤sinx≤eq\f(\r(2),2)，所以當(dāng)sinx＝－eq\f(1,2)，即x＝－eq\f(π,6)時(shí)，函數(shù)取得最大值，ymax＝eq\f(5,4)；當(dāng)sinx＝eq\f(\r(2),2)，即x＝eq\f(π,4)時(shí)，函數(shù)取得最小值，ymin＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．下列函數(shù)中，周期為π，且在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上為減函數(shù)的是(A)A．y＝sin(2x＋eq\f(π,2)) B．y＝cos(2x＋eq\f(π,2))C．y＝sin(x＋eq\f(π,2)) D．y＝cos(x＋eq\f(π,2))[解析]C、D兩項(xiàng)中函數(shù)的周期都為2π，不合題意，排除C、D；B項(xiàng)中y＝cos(2x＋eq\f(π,2))＝－sin2x，該函數(shù)在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上為增函數(shù)，不合題意；A項(xiàng)中y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x，該函數(shù)符合題意，選A.2．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,8)對(duì)稱，則φ可能是(D)A．eq\f(π,2) B．－eq\f(π,4)C．eq\f(3π,4) D．eq\f(π,4)[解析]由題意，當(dāng)x＝eq\f(π,8)時(shí)，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋φ))＝±1，故eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝eq\f(π,4)，故φ可能是eq\f(π,4).3．(多選題)對(duì)于函數(shù)f(x)＝sin2x，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(ACD)A．f(x)在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上是遞增的B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．f(x)的最小正周期為2πD．f(x)的最大值為2[解析]因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx在(eq\f(π,2)，π)上是單調(diào)遞減的，所以f(x)＝sin2x在(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))上是調(diào)遞減的，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閒(－x)＝sin2(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；f(x)的最小正周期為π，故C錯(cuò)誤；f(x)的最大值為1，故D錯(cuò)誤．4．(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(x＋eq\f(π,3))，則下列結(jié)論正確的是(ABC)A．f(x)的一個(gè)周期為－2πB．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對(duì)稱C．f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)D．f(x)在(eq\f(π,2)，π)上單調(diào)遞減[解析]函數(shù)的周期為2kπ，當(dāng)k＝－1時(shí)，T＝－2π，故A正確；當(dāng)x＝eq\f(8π,3)時(shí)，cos(x＋eq\f(π,3))＝cos(eq\f(8π,3)＋eq\f(π,3))＝cos3π＝－1為最小值，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對(duì)稱，B正確．f(eq\f(π,6)＋π)＝cos(eq\f(π,6)＋π＋eq\f(π,3))＝coseq\f(3π,2)＝0，則f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)，C正確．當(dāng)eq\f(π,2)<x<π時(shí)，eq\f(5π,6)<x＋eq\f(π,3)<eq\f(4π,3)，此時(shí)f(x)不單調(diào)，故D錯(cuò)誤．因此選ABC.二、填空題5．y＝eq\r(sinx)的定義域?yàn)閇2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ，2kπ＋eq\f(π,2)]，k∈Z.[解析]∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，y＝eq\r(sinx)在[0，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增．∴其遞增區(qū)間為：[2kπ，2kπ＋eq\f(π,2)]，k∈Z.6．(2021·江蘇鎮(zhèn)江高一期末)已知函數(shù)f(x)＝2ksinx＋3，若對(duì)任意x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]都有f(x)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為[－3,3].[解析]由x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,6)]得sinx∈[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]．當(dāng)k≥0時(shí)，－k＋3≤2ksinx＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；當(dāng)k<0時(shí)，k＋3≤2ksinx＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k<0.綜上所述，k的取值范圍是[－3,3]．7．函數(shù)y＝sin2x＋sinx－1的最大值為1，最小值為－eq\f(5,4).[解析]令t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝(t＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)(－1≤t≤1)，顯然－eq\f(5,4)≤y≤1.三、解答題8．已知函數(shù)y＝sin(eq\f(π,3)－2x)．(1)求函數(shù)的周期；(2)求函數(shù)在[－π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間．[解析]y＝sin(eq