高二數(shù)學(xué)北師大版必修5學(xué)案2-3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例

§3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例知識(shí)點(diǎn)一高度問題[填一填]知識(shí)點(diǎn)二距離問題[填一填]知識(shí)點(diǎn)三角度問題[填一填]測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角．①坡角：坡面與水平面的夾角，如圖(1)中的角α即為坡角．坡比：坡面的鉛垂高度與水平寬度之比，即i＝eq\f(h,l)＝tanα.②仰角與俯角是指在同一鉛直平面內(nèi)，視線與水平線的夾角，當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，稱為仰角，當(dāng)視線在水平線以下時(shí)，稱之為俯角，如圖(2)所示．③方位角：從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平夾角，如方位角是60°，如圖(3)所示．方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角，如北偏東60°，如圖(4)所示．[答一答]1．測(cè)量高度問題的解題思路是什么？提示：測(cè)量高度問題的解題思路是放在直角三角形中，根據(jù)所給的邊、角的關(guān)系，求出與所求高相關(guān)的一條直角邊的長，然后再求高．2．測(cè)量距離問題的解題思路是什么？提示：測(cè)量距離問題的解題思路是把所求的問題轉(zhuǎn)化到三角形中，然后利用正弦定理、余弦定理求解．3．除了高度問題、距離問題、角度問題外，正、余弦定理還解決哪些常見問題？提示：計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等．解與三角形有關(guān)的應(yīng)用題的基本步驟和基本思路是什么？解與三角形有關(guān)的應(yīng)用題的基本步驟是：(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖，化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題．(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形中的未知量，求得數(shù)學(xué)模型的解．(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解．解三角形應(yīng)用題要注意幾點(diǎn)：(a)理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求；(b)畫示意圖很關(guān)鍵，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型；(c)求得三角形的解后要還原為實(shí)際問題的解．這一思路描述如下：類型一測(cè)量高度問題【例1】在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處，測(cè)得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進(jìn)10eq\r(3)m至點(diǎn)D，測(cè)得頂端A的仰角為4θ，求θ【思路探究】∠ACE＝2θ，∠ABE＝θ?AC＝BC＝30，∠ADE＝4θ?AD＝CD＝10eq\r(3)，∠ADC＝π－4θ.在△ACD中，利用正弦定理求出θ，進(jìn)而在Rt△ADE中求出AE.【解】如下圖，∵∠ACD＝∠ABC＋∠CAB，∴∠CAB＝θ，∴AC＝BC＝30，同理得到AD＝CD＝10eq\r(3).在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(AC,sin∠ADC)，即eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,sin(π－4θ))＝eq\f(30,sin4θ).∵sin4θ＝2sin2θcos2θ，∴可解得cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，∴2θ＝30°，θ＝15°.∴在Rt△ADE中，AE＝ADsin60°＝15.∴θ＝15°，建筑物AE的高為15m.規(guī)律方法平面圖形中，要重視圖形的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．(1)如下圖所示，為測(cè)量某棵樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹的高度為(A)A．(30＋30eq\r(3))mB．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))mD．(15＋3eq\r(3))m(2)在200m的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂、塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為________m．(A)A.eq\f(400,3) B.eq\f(400\r(3),3)C.eq\f(200\r(3),2) D.eq\f(200,3)解析：(1)在△ABP中，由正弦定理可得eq\f(60,sin(45°－30°))＝eq\f(PB,sin30°)，則PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°)(m)，則樹的高度h＝PBsin45°＝(30＋30eq\r(3))(m)．(2)如圖，在Rt△CDB中，CD＝200m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BC＝eq\f(200,cos30°)＝eq\f(400\r(3),3)(m)．在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°，eq\f(BC,sin120°)＝eq\f(AB,sin30°)，∴AB＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(400,3)(m)．類型二測(cè)量距離問題【例2】如圖所示，為測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在河的這邊測(cè)出CD的長為eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離．【思路探究】將實(shí)際測(cè)量問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，再利用正、余弦定理求解．【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴BC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝eq\f(\r(6),4)(km)．在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD為正三角形，∴AC＝CD＝eq\f(\r(3),2)km.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(6,16)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)，∴AB＝eq\f(\r(6),4)km.即河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離為eq\f(\r(6),4)km.規(guī)律方法本題是測(cè)量兩個(gè)都不能到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，它是測(cè)量學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的“三角網(wǎng)”測(cè)量方法的原理，利用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題，首先要將實(shí)際問題抽象為一個(gè)解三角形的問題，再應(yīng)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)加以解決．如圖，某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°的方向上，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°.在C處測(cè)得公路上距C為31km的B處有一人正沿公路向城A走去，走了20km后到達(dá)D處，此時(shí)CD間的距離為21km，則這人還要走多遠(yuǎn)才可到達(dá)城A?解：設(shè)∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理，得cosβ＝eq\f(BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，得sinβ＝eq\f(4\r(3),7).而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),14).在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(CD,sin60°)＝eq\f(AD,sinα)，則AD＝eq\f(21×sinα,sin60°)＝15(km)．答：這人還要走15km才能到達(dá)城A.類型三測(cè)量角度問題【例3】某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘可疑船，正沿南偏東75°的方向以10海里/時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14【思路探究】依據(jù)題意畫出方位圖，然后轉(zhuǎn)化為解三角形問題．如圖，在△ABC中，∠ACE＝45°，∠BCE＝75°，∠ACB＝120°，AC＝9，但僅靠這些來解三角形是不夠的．考慮到題目條件，可引入時(shí)間作為變量表示AB與BC，然后通過正、余弦定理建立等式求解．【解】如題圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過t小時(shí)后在B處追上可疑船，則CB＝10t，AB＝14t，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°.在△ABC中，由余弦定理得(14t)2＝92＋(10t)2－2×9×10t×cos120°，化簡得32t2－30t－27＝0，即t＝eq\f(3,2)或t＝－eq\f(9,16)(舍去)．所以BC＝10t＝15，AB＝14t＝21.又因?yàn)閟in∠BAC＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(15,21)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠BAC＝38°13′或∠BAC＝141°47′(鈍角不合題意，舍去)．所以38°13′＋45°＝83°13′.故巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83°13′方向去追，經(jīng)過1.5小時(shí)才能追趕上該可疑船．規(guī)律方法在求解三角形中，我們根據(jù)正弦定理得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解．另一方面，解三角形遇到的數(shù)字往往較為繁瑣，可以借助計(jì)算器或其他計(jì)算工具計(jì)算．甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時(shí)anmile的速度向正北方行駛，已知甲船的速度是每小時(shí)eq\r(3)anmile.問：甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能最快與乙船相遇？解：如圖．設(shè)經(jīng)過t小時(shí)兩船在C點(diǎn)相遇，連接AC.在△ABC中，BC＝at，AC＝eq\r(3)at，B＝180°－60°＝120°.由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(atsin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2).∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.故甲船應(yīng)沿北偏東30°的方向前進(jìn)才能最快與乙船相遇．類型四綜合應(yīng)用問題【例4】如圖所示，甲船以每小時(shí)30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1處，此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10eq\r(2)海里【思路探究】甲、乙兩船航行時(shí)間相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距離B1B2即可．連接A1B2，轉(zhuǎn)化為在△A1B1B2中已知兩邊及夾角求對(duì)邊的問題．【解】連接A1B2，∵A2B2＝10eq\r(2)，∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，A1A2＝eq\f(20,60)×30eq\r(2)＝10eq\r(2)＝A2B2.∴△A1A2B2∴∠B1A1B2＝105°－60°＝在△A1B2B1中，由余弦定理得B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Beq\o\al(2,2)－2A1B1·A1B2cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，B1B2＝10eq\r(2).因此乙船的速度的大小為eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2).即乙船每小時(shí)航行30eq\規(guī)律方法仔細(xì)觀察圖形，充分利用圖形的幾何性質(zhì)挖掘隱含條件，并通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將問題納入到三角形中去解決是解此類問題的關(guān)鍵．某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40分鐘到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東30°，海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，求P、C解：如圖，在△ABP中，AB＝30×eq\f(40,60)＝20，∠APB＝30°，∠BAP＝120°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠BPA)＝eq\f(BP,sin∠BAP)，即eq\f(20,\f(1,2))＝eq\f(BP,\f(\r(3),2))，解得BP＝20eq\r(3)，在△BPC中，BC＝30×eq\f(80,60)＝40.由已知∠PBC＝90°，∴PC＝eq\r(PB2＋BC2)＝eq\r((20\r(3))2＋402)＝20eq\r(7)(海里)．故P、C間的距離為20eq\——多維探究系列——三角形形狀的判斷根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩條途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊．具體有如下三種方法：①通過正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；②通過余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；③通過三角變換找出角之間的關(guān)系．注意：在△ABC中，b2＋c2－a2>0?A為銳角，b2＋c2－a2＝0?A為直角，b2＋c2－a2<0?A為鈍角．【例5】在△ABC中，已知a2[sin(A－B)－sinC]＋b2[sin(A－B)＋sinC]＝0，則△ABC的形狀是()A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【思路分析】由已知得eq\f(sin(A－B),sin(A＋B))＝eq\f(a2－b2,a2＋b2)，eq\f(sin(A－B)＋sin(A＋B),sin(A＋B))＝eq\f(a2－b2＋a2＋b2,a2＋b2)，eq\f(2sinAcosB,sinC)＝eq\f(2a2,a2＋b2)，eq\f(acosB,c)＝eq\f(a2,a2＋b2)，利用余弦定理得eq\f(a2＋c2－b2,2c2)＝eq\f(a2,a2＋b2)，整理得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，則a＝b或a2＋b2＝c2，則△ABC的形狀是等腰三角形或直角三