隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

關(guān)于隱函數(shù)的求導(dǎo)公式顯函數(shù)隱函數(shù)顯化問(wèn)題：1.滿足什么條件，方程能夠確定函數(shù)？2.對(duì)于不能或難以顯化的隱函數(shù)如何求偏導(dǎo)？第2頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、一個(gè)方程的情形隱函數(shù)存在定理1在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有設(shè)函數(shù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，

且能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)

則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒，它滿足條件，并有

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第3頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理證明略.推導(dǎo)求導(dǎo)公式：兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則復(fù)合函數(shù)第4頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1驗(yàn)證方程在點(diǎn)的某解令則連續(xù),鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)可導(dǎo),且時(shí)的隱函數(shù)并求這函數(shù)的一階和二的值.階導(dǎo)數(shù)在第5頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天注：在點(diǎn)(1,0)的鄰域內(nèi)方程不能唯一確定一個(gè)可導(dǎo)函數(shù).依定理知方程的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)可導(dǎo)的函數(shù)在點(diǎn)第6頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天一階導(dǎo)數(shù)：第7頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

設(shè)方程確定一個(gè)隱函數(shù)解令由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,得

則求方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，另解解出注意到第8頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天隱函數(shù)存在定理2

的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)則方程在點(diǎn)的某偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件并有且第9頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則推導(dǎo)求偏導(dǎo)公式：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第10頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天解令則例3

第11頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù).例4解則第12頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天解例5兩邊全微分：第13頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理3設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比式）連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)不為零，第14頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天則方程組在點(diǎn)唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的它們滿足條件并有的某一鄰域內(nèi)恒能函數(shù)第15頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天第16頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天解1直接代入公式；解2運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)并移項(xiàng),得例6第17頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)，用同樣方法得在的條件下，解方程組，得第18頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則小結(jié)第19頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天第20頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題已知，其中為可微函數(shù)，求第21頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天思