新高考數(shù)學臨考題號押第3題 計數(shù)原理（解析）

新高考高中數(shù)學臨考題號

押第3題計數(shù)原理

琴：命題探究?與

從2021年新高考和往年高考來看，計數(shù)原理是高考的一個重點內(nèi)容，主要考查二項展開式的通項、

二項式系數(shù)、展開式的系數(shù)、排列和組合等知識.

解題秘籍

1.熟記二項式定理：(a+8)"=C：a"+C“iO+L+C?kan-kbk+L+C?"(〃eN*),是解決此類問題的

關鍵.

2.求二項展開式的特定項問題，實質是考查通項的特點,一般需要建立方程求匕再將k的值代回通項求解,

注意上的取值范圍(4=0,1,2,L,〃).

(1)第加項：：此時Z+1=肛直接代入通項.

(2)常數(shù)項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的某指數(shù)為0建立方程.

(3)有理項：令通項中“變元”的基指數(shù)為整數(shù)建立方程.

3.對于參數(shù)問題，通常是運用通項由題意列方程求出參數(shù)即可；有時需先求〃，計算時要注意〃和％的取

值范圍及它們之間的大小關系.

4.二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別：二項式系數(shù)是指C9,CA，…，OI,它是組合數(shù)，只與各項的項數(shù)有關,

而與“，人的值無關；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關，而且

也與a,6的值有關.如3+公)"的展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)是C；；,而該項的系數(shù)是CZ"一?「.

當然，某些特殊的二項展開式如(1+x)",各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的.

5.在解決排列、組合的應用題時，一定要清楚是先排列再組合，還是先組合再排列.

4真題回顧?亨

1.(2020?山東?高考真題)在卜一^］的二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)是()

A.56B.-56C.70D.-70

【答案】A

【詳解】

第4項的二項式系數(shù)為C；=^￥=56,

故選：A.

2.(2020.山東?高考真題)現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔任5門不同學

科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（)

A.12B.120C.1440D.17280

【答案】C

【詳解】

首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，

再分別擔任5門不同學科的課代表，共有父種情況.

所以共有C：C；團=1440種不同安排方法.

故選：C

3.（2015?山東?高考真題）（l-x）s的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和是（）

A.0B.-1C.-32D.32

【答案】D

【詳解】

（1-的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為2,=32

故選：D

4.（2015?山東?高考真題）某值日小組共有5名同窗，假設任意安排3名同窗負責教室內(nèi)的地面衛(wèi)生，其

余2名同窗負責教室外的走廊衛(wèi)生，那么不同的安排方式種數(shù)是（）

A.10B.20C.60D.100

【答案】A

【詳解】

從5人當選取3人負責教室內(nèi)的地面衛(wèi)生，共有C；=10種安排方式.（選取3人后剩下2名同窗干的活就

定了）

故選：A

5.（2021.江蘇.高考真題）下圖是某項工程的網(wǎng)絡圖（單位:天），則從開始節(jié)點①到終止節(jié)點⑧的路徑共有

【詳解】

山圖可知，由①一④有3條路徑，山④7⑥有2條路徑，由⑥-⑧有2條路徑，根據(jù)分步乘法計算原理

可得從①f⑧共有3x2x2=12條路徑.

故選：B

6.（2021?江蘇?高考真題）已知。-2力”的展開式中V的系數(shù)為40,則〃等于（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【詳解】

C^（-2x）2=2n（/?-l）x2,所以2〃（〃-1）=40=力=5.

故選：A.

］押題沖關5號

1.（2022?山東煙臺?一模）“碳中和”是指企業(yè)、團體或個人等測算在一定時間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體

排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”.某

"碳中和''研究中心計劃派5名專家分別到A,B,C三地指導“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且每

地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（）

A.90B.150C.180D.300

【答案】B

【詳解】

根據(jù)題意有兩種方式：

第一種方式，有一個地方去3個專家，剩下的2個專家各去一個地方，

共有CfC?片=*9x3x2x1=60種方法,

第二種方式，有一個地方去1個專家，另二個地方各去2個專家，

v4x3

共有.父=——2—x3x2xl=90,

&52x1

所以分派方法的種數(shù)為60+90=150,

故選：B

2.（2022?山東?濟南一中模擬預測）如圖為一個直角三角形工業(yè)部件的示意圖，現(xiàn)在AB邊內(nèi)側鉆5個孔，

在8c邊內(nèi)側鉆4個孔，AB邊內(nèi)側的5個孔和BC邊內(nèi)側的4個孔可連成20條線段，在這些線段的交點處

各鉆一個孔，則這個部件上最多可以鉆的孔數(shù)為（）.

A

*aad—c

A.190B.199C.69D.60

【答案】C

【詳解】

在AB邊內(nèi)側的5個孔和BC邊內(nèi)側的4個孔中各取兩個可構成四邊形，

當這些四邊形對角線的交點不重合時，鉆孔最多，

所以最多可以鉆的孔數(shù)為C汨+9=69個.

故選：C

3.(2022?山東荷澤一模)(a-x)(2+xf的展開式中彳5的系數(shù)是12,則實數(shù)a的值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【詳解】

利用二項式定理展開得(a-x)(2+x)6=(a-勸(《26+廢2晨+亡2々2+竊23丁+仁22/+或2丁+或力

貝I『的系數(shù)為aC；2-C：22=12,，a=6.

故選：C.

4.(2022.山東.模擬預測)(x+2y)5(x-2?的展開式中心？的系數(shù)為()

A.-160B.-80C.160D.80

【答案】D

【詳解】

解：(x+2y)s(x-2y)7=(/_4y2y(x-2yj=(x2-4y2)5(x2-4xy+4y2),

(x2-4y2)5展開式的通項為Z+i=G(Y廣64y2)，=(_4)，，

令/■=1,得，-4/)5的展開式中xf的系數(shù)為C；(-4)'=-20,

所以(x+2y)5(x-2?的展開式中xV的系數(shù)為-20X(T)=80.

故選：D

5.(2022.山東淄博.一模)若(1-x)=%+q(1+x)+“2(1+x)-t----+%(l+x)?則&=()

A.-448B.-112C.112D.448

【答案】C

【詳解】

(1—x)x=(x—l)s=[。+x)-2『=4+q(1+x)+<z>(l+x)-++/(I+x)s,&=C],(―2)~=112.

故選：C.

6.(2022.山東臨沂?一模)公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率兀的范圍是：3.1415926〈萬<3.1415927,

為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.某教師為幫助同

學們了解''祖率"，讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進行隨機排列，整數(shù)部分3不變,

那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為()

A.720B.1440C.2280D.4080

【答案】C

【詳解】

一共有7個數(shù)字，且其中有兩個相同的數(shù)字1.

金

這7個數(shù)字按題意隨機排列，可以得到=2520個不同的數(shù)字.

其

當前兩位數(shù)字為11或12時，得到的數(shù)字不大于3.14

當前兩位數(shù)字為11或12時，共可以得到28=240個不同的數(shù)字,

則大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為2520-240=2280

故選：C

7.(2022.山東臨沂.一模)二項式的展開式中系數(shù)為無理數(shù)的項數(shù)為(

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】

展開式通項公式為=C；(&x)6T=2*C"62,r=0,1,2,3,4,5,6,

X

當r=0,2,4,6時，7是整數(shù)，r=l,3,5時，?是不是整數(shù)，系數(shù)是無理數(shù)，共有3項.

22

故選：B.

8.(2022.山東.青島二中高三開學考試)若(x-2y)"的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則"=

().

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【詳解】

由題意，二項式(x-2y)”的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)分別為C；,C,；,

可得C,：=C：,解得〃=3+7=10.

故選：B.

9.（2022?山東濰坊?高三期末）如圖，某類共享單車密碼鎖的密碼是由4位數(shù)字組成，所有密碼中，恰有

三個重復數(shù)字的密碼個數(shù)為（）

，em

A.90B.324C.360D.400

【答案】C

【詳解】

根據(jù)題意，四個位置上恰有三三個重復數(shù)字，可分兩步完成，

第一步從10個數(shù)字中任選一個安排在三個位置上，共有C；°C：=40種情況，

第二步在剩下的9個數(shù)字中￡E選一個安排在剩下的那個位置上，有9種情況，

故共有40x9=360種，即密碼個數(shù)為360個，

故選：C

。若（6-蛾J的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大，則該項式的展

10.（2022?山東臨沂?高三期，

開式中常數(shù)項為（）

A.90B.-93C.180D.-180

【答案】C

【詳解】

解：因為（五一域）的展開我:中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則項數(shù)〃=10,即（五-蛾J，

2V,—

則通項為乙-高I=（-2）工尸2,

令2=0=>r=2,則小=（-2）2品=180.

故選：C.

◎:考前預測q

王（限時：30分鐘）

1.某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流，每所中學至少派1名教師，則不同的

分配方法有（）

A.80種B.90種C.120種D.150種

【答案】D

【詳解】

3,有空◎種，二是分為1,2,2,共有坐G種,

先對5個人先進行兩種情況的分組，一是分為1,1,

再分配，可得不同的分配方法有6=25x6=150種.

1^1^TJ

故選：D.

2.“雙減”政策實施以來各地紛紛推行課后服務“5+2”模式，即學校每周周一至周五這5天要面向所有學生

提供課后服務，每天2個小時.某校計劃按照“5+2”模式開展“學業(yè)輔導”，“體育鍛煉”，“實踐能力培養(yǎng)”三

類課后服務，并且每天只開設一類服務，每周每類服務的時長不低于2小時，不高于6小時，那么不同的

安排方案的種數(shù)為（）

A.60B.90

C.150D.210

【答案】C

【詳解】

第一種情況是某類服務6個小時，其余兩類服務各2個小時，先選一類服務時長6小時，安排到3天里，

其余2類安排到剩余2天里即可,共C疼C=60種;

第二種情況是某類服務2個小時，其余兩類服務各4個小時，先選出一類服務2個小時，剩余的2類分別

安排2天，共盤盤&=90種；

綜上不同的安排方案共有150種.

故選：C

3.（V+x+yP的展開式中My2的系數(shù)是（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【詳解】

由題意，多項式（廠+》+y）5=［（廠+*）+）［5,

要得到含有）2項，則或（/+x）3y2=10,+X）3y2,

3

又由（爐+X）的展開式為Tr+I==G.尸,

令6-r=5,可得r=l,即，=C；=3/，

所以多項式，+x+y）5的展開式中xR的系數(shù)是10x3=30.

故選：C.

4.在口一2］的展開式中，常數(shù)項為（）

A.-60B.-240C.60D.240

【答案】D

【詳解】

(V

的展開式通項為小=鹿.產(chǎn)人=域.（-2）：5

令6一號=0,可得％=4,因此，展開式中常數(shù)項為C〉（-2）4=240.

故選：D.

5.2022年北京冬奧會和冬殘奧會給世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的設計好評

不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合.為了弘揚奧林匹克精神，某學校安排甲、乙等5名

志愿者將吉祥物“冰墩墩''和"雪容融’'安裝在學校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個

吉祥物都至少由兩名志愿者安裝.若甲、乙必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【詳解】

甲和乙必須安裝不同的吉祥物，則有A；=2種情況，

剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，有C；=3,然后分配到參與兩個吉祥物的安裝，

有C那=3x2=6,

則共有2x6=12種,

故選：C.

2O2

6.設（1-口嚴加=4+++?2O2OX°>若4+勿2+34++2020a2020=2020a（a0）,則實數(shù)。的

值為（）

A.2B.0C.1D.-1

【答案】A

【詳解】

對等式（1-奴）2儂=%+研+生/++a畋。/⑼兩邊求導可得：

-09232019

-ax2020（1-fzr）'=a,+2a2x+3ctyX+46t4x++202047202（,^

令x=l,則有一。*2020（1—4）刈9=4+2%+3/++2O2Oa2o2O=2020a

因為awO

所以（一廣=T

所以a=2

故選:A

7.在（31—5/+1丫的展開式中，除V項之外，剩下所有項的系數(shù)之和為（）

A.299B.-301C.300D.-302

【答案】A

【詳解】

令x=l,W（3-5+l）5=-1.

所以（3丁-5/+1）5的展開式中所有項的系數(shù)和為_i.

由（3V—5/+1）’可以看成是5個因式（3丁-5x2+1）相乘.

要得到d項，則5個因式中有1個因式取3V，一個因式取-5/,其余3個因式取1,然后相乘而得.

所以（3?-5x2+1）5的展開式中含x5的項為C；（3打C：（-5x2）,=-3OOx5,

所以（3/-5/+1）5的展開式中，除/項之外，剩下所有項的系數(shù)之和為-1-（-300）=299.

故選：A

8.給圖中A,B,C,D,E,廠六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4

種顏色可供選擇，則共有（）種不同的染色方案.

A.96B.144C.240D.360

【答案】A

【詳解】

解：要完成給圖中A、B、C、D、E、/六個區(qū)域進行染色，染色方法可分兩類，

第一類是僅用三種顏色染色，

即川同色，8。同色，CE同色，則從四種顏色中取三種顏色有竊=4種取法，三種顏色染三個區(qū)域有

A；=6種染法，共4x6=24種染法；

第二類是用四種顏色染色，即AF，BD,CE中有一組不同色，則有3種方案（4尸不同色或BD不同色或CE

不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有4=12種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有

3x12x2=72種染法.

二由分類加法原理得總的染色種數(shù)為24+72=96種.

故選：A.

9.十八世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸連接起來.有

人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完這七座橋，最后回到出發(fā)點.這就是著

名的哥尼斯堡七橋問題（下簡稱七橋問題），很多人嘗試解決這個問題，但絞盡腦汁，就是無法找到答案.直

到1736年，29歲的歐拉以拉丁文正式發(fā)表了論文《關于位置幾何問題的解法》，文中詳細討論了七橋問題

并作了一些推廣，該論文被認為是圖論、拓撲學和網(wǎng)絡科學的發(fā)端.圖1是歐拉當年解決七橋問題的手繪

圖，圖2是該問題相應的示意圖，其中A,B,C,。四個點代表陸地，連接這些點的邊就是橋.歐拉將

七橋問題轉化成一個幾何問題——筆畫問題.一筆畫問題中，要求不遺漏地依次走完每一條邊，允許重復

走過某些結點，可以不回到出發(fā)點，但不允許重復走過任何一條邊.在圖3中，根據(jù)以上一筆畫問題的規(guī)

則，不同的走法總數(shù)為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【詳解】

圖中，A和C是偶力:，B和。是奇點，根據(jù)歐拉找到的“一筆畫”規(guī)律：凡是只有兩個奇點的連通圖（其余

都為偶點）一定可以一筆畫成.畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點為終點.

以B為起點時，有BADCBD、BADBCD、BDABCD、BDCBAD、BCDABD、六種畫法

以。為起點時，所有路線與以卜.情況相反即可，也有六種，故共有12種畫法

故選：D

10.己知（2-如2）（1+2幻4的展開式的所有項系數(shù)之和為81,則展開式中含X，的項的系數(shù)為（）

A.56B.60C.68D.72

【答案】A

【詳解】

因為（2-加卜1+24的展開式的所有項系數(shù)之和為81,故令x=l,則81（2-4）=81,解得4=1,

又對（2-0（1+2萬）4,其展開式中/項是：

由（2-?。┲械某?shù)項與（1+2X），的d項相乘得到，

或由（2—d卜中的一》2項與0+2x）4的x項相乘得到，

故（2-Y）（l+2x）4的展開式中含爐的系數(shù)為2x《x23+（—1）XCX2=56.

故選：A.

11.2022年第24屆冬季奧林匹克運動會（即2022年北京冬季奧運會）的成功舉辦，展現(xiàn)了中國作為一個

大國的實力和擔當，”一起向未來”更體現(xiàn)了中國推動構建人類命運共同體的價值追求.在北京冬季奧運會

的某個比賽日，某人欲在冰壺（?只冰球（?）、花樣滑冰（°）、跳臺滑雪（°）、自由滑雪（6）、雪

車（G）這6個項目隨機選擇3個比賽項目現(xiàn)場觀看（注：比賽項目后括號內(nèi)為“?”表示當天不決出獎牌

的比賽，表示當天會決出獎牌的比賽），則所選擇的3個觀察項目中當天會決出獎牌的項目數(shù)的均值

為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】C

【詳解】

所選擇的3個觀察項目中當天會決出獎牌的項目數(shù)為X,則X的取值為1,2,3,

尸（X=l）=等=%P（X=2）=等=|,尸（X=3）《

131

則EX=lx—+2x'+3x—=2.

555

故選：C.

12.習近平總書記在全國教育大會上發(fā)表重要講話，稱教育是國之大計，黨之大計.哈九中落實講話內(nèi)容,

組織研究性學習.在研究性學習成果報告會上，有A、B、C、D、E、尸共6項成果要匯報，如果B成果不

能最先匯報，而A、C、。按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數(shù)為（）

A.100B.120C.300D.600

【答案】A

【詳解】

先排3元素，有5種排法，然后排剩余5個元素共