2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理科)真題（解析版）

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.設(shè)集合4={削+eZ},8={xx=3左+2,%wZ},q為整數(shù)集，6（ZU8）=

A{x\x=3k.k€Z}B{xlx=3k-\,keZ]

C{x\x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出.

Z={x|x=3左,％eZ}U{x|x=3Z+l,攵eZ}U{x|x=3Z+2,左eZ}u-z獷

【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集7,,r)l

以a(/U8)={x|x=3￡,%€Z}

故選：A.

2,若復(fù)數(shù)(a+i)(l—ai)=2,aeR,貝小

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.

【詳解】因?yàn)椋?+1）（1一"1）="-"'+1+"=2"+（1

2a=2

<

所以U-/=0,解得：a=l.

故選：C.

3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的8=（）

1

（開始）

n=l,A-\,5=2

A=A+B

B=A+B

4

---n=n+l

/輸最/

（結(jié)束）

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)程序框圖模擬運(yùn)行，即可解出.

【詳解】當(dāng)〃=1時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，"=1+2=3,8=3+2=5,〃=1+1=2；

當(dāng)〃=2時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，〃=3+5=8,8=8+5=13,〃=2+1=3；

當(dāng)〃=3時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，4=8+13=21,8=21+13=34,”=3+1=4；

當(dāng)〃=4時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出8=34.

故選：B.

4,向量卜H可卜及，且萬+很+?=。，則cos〈萬-c〉=（）

_224

A5B.5C.5D,5

【答案】D

【解析】

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

［詳解］因?yàn)獒?B+?=6,所以□+一

即關(guān)+廬+2］%=守,即1+1+=2,所以雇5=0.

2

c

由題知=OB=1,OC=63OAB是等腰直角三角形,

OD=—,AD=—

N8邊上的高22,

CD=CO+OD=y[2+—=^-

所以22,

tanZACD=—=cosZ^CZ)=-^=

CD3V10

cos(a-c,h-c)=cosZACB=cos2AACD=2cos2ZACD-\

故選:D.

5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，q=LS,為｛《,｝前〃項(xiàng)和，5=5S-4則84=(

S3()

A7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于“的方程，計算出夕，即可求出s、

【詳解】由題知"*/+/+/=5(1+”/b4,

即43+/=4q+4/,即寸+/—44-4=0,即(q-2)(q+1)(^+2)=0

由題知4>°,所以4=2.

所以S4=1+2+4+8=15

故選:C.

6.有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若己知某人報足球

3

俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（)

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

【解析】

【分析】先算出報名兩個俱樂部的人數(shù)，從而得出某人報足球俱樂部的概率和報兩個俱樂部的概率,利用條

件概率的知識求解.

【詳解】報名兩個俱樂部的人數(shù)為50+60-7°=4°,

記“某人報足球俱樂部”為事件A,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件3,

5040_4

尸（⑷V，PQB)

-

則70707

4

-

7

尸⑶/）=生竺^--8

5

尸⑷

7

所以

故選:A.

7“sin2a+sin2/=l,受“sina+cos/?=0,^q（）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

［詳解］當(dāng)s’1ra+sin~4=1時，例如"2’。但sina+cos^H0

即sin2a+sin?3=1推不出sina+cos夕=0；

當(dāng)sina+cos/=0時，sin2a+sin2/?=(-cos/?)2+sin2￡=1,

即sina+cos/?=0能推出sin2a+sin20=1

綜上可知，sin?a+sin?4=1是sina+cos尸=0成立的必要不充分條件.

故選：B

4

8.已知雙曲線//一"“>°'’°）的離心率為不，其中一條漸近線與圓（工-2）2+3-3）2=1交于4B

兩點(diǎn)，則M8|=（）

j_立2^54后

A.5B.5C.5D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

?a2+b2,b2（

【詳解】由e=，5,則如a-a-,

-=2

解得。，

所以雙曲線的一條漸近線不妨取歹=2x,

,_|2X2-3|_V5

d=—/、=—

則圓心（2,3）到漸近線的距離V22+l5,

\AB|=2介_屋=2Jill=述

所以弦長V55

故選：D

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連

續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【解析】

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為出"0，"，0,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有

A；=12種方法，

同理：b,c,”,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有5x12=60種.

5

故選：B.

M\y-cos+—_f（\y=—x——

10.已知J為函數(shù)I6）向左平移6個單位所得函數(shù)，則V=k與22的交點(diǎn)

個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

_1_1

【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得/（"）=—sm2x,再作出/（x）與'2X5的部分大致圖像,

考慮特殊點(diǎn)處/（X）與'2%5的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.

/_71]兀

y-cos2x+——

【詳解】因?yàn)镮6J向左平移6個單位所得函數(shù)為

兀、兀

y=cos2x+—+—=cosI2x+—l=-sin2x

-LI6j6，所以/(x)=-sin2x

而―顯然過IF與（W兩點(diǎn),

」_1

作出/（x）與'2X萬的部分大致圖像如下,

_11

^y~2X5的大小關(guān)系,

3K+4,

=-------<-1

371-4,

------<1

6

In7兀.7兀117兀17兀一4,

sin—=Iy=—x------=------>1

x=——2)

當(dāng)4時,42428

所以由圖可知，/（X）與'25的交點(diǎn)個數(shù)為3.

故選：C.

11.在四棱錐P-N8C。中，底面46CQ為正方形，工8=4,尸。=尸。=3,/尸04=45°,則^PBC的

面積為（）

A,2正B.3亞C.4桓D.5V2

【答案】C

【解析】

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得勺APC°,APDB*PCA,從而得到

P4=PB,再在△PNC中利用余弦定理求得尸/=而，從而求得尸B=J百，由此在APBC中利用余弦

定理與三角形面積公式即可得解;

/—cosZ.PCB=——■—,

法二：先在△PZC中利用余弦定理求得以=。17,3,從而求得尸APC=-3,再利用

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得PB=歷,由此在APBC中

利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一:

連結(jié)交于0,連結(jié)PO,則。為/C,5。的中點(diǎn)，如圖,

因?yàn)榈酌?8CD為正方形，AB=4,所以ZC=8O=4夜，則QO=CO=2j5,

又PC=PD=3,PO=OP,所以APOOMAPCO,則ZPOO=NPC。，

又「C=PD=3,AC=BD二班,所以APDB=APCA,則=

7

在△PZC中，PC=3,AC=4及,NPCA=45。

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x442x3x—=n

則由余弦定理可得2

故尸/=折，則昨a,

故在APBC中，PC=3,尸8=JF7,8C=4,

CBJC、BC》9+16-171

所以2PCBC2x3x4-3,

sinZPCB=71-cos2ZPCB=

又°<NPC8<7r,所以3

1]*?!)

S^-PCBCsinNPC8=-x3x4x^-=4啦

所以APBC的面積為223

法二:

連結(jié)/C,8°交于°,連結(jié)PO,則。為/C,8。的中點(diǎn)，如圖,

因?yàn)榈酌?6CO為正方形，48=4,所以40=60=4J5,

在△P4C中，PC=3,NPCA=45。

PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x4y/2x3x—=17

則由余弦定理可得2,故

PA^y/n

f

PA2+PC2-AC217+9-32后

cosZAPC=-----------------------=-----7=——=---------

所以2PAPC2xV17x317,則

P^-PC=|^||PC|COSZ/1PC=V17X3X一號=一3

f

不妨記PB=m/BPD=e,

8

因?yàn)槲彐?定）=妒+碼所以（方+定）、（而+珂，

-----2''一2’..'’—‘2''2?'一’’一

即4+PC+2PA,PC=PB+PD+2PBPD,

則17+9+2x（-3）=m~+9+2x3x77?COS0,整理得次之+6mcos3\=0①，

又在4PBD中，BD2=PB~+PD1-2PB-PDcosZBPD,即32=〃/+9-6/wcose,則

nr-6/wcos^-23=0②，

兩式相加得2〃『-34=0,故PB=m=后,

故在APBC中，PC=3,PB=&i,BC=4,

PC1+BC2-PB29+16-171

cosNPCB

所以2PCBC2x3x43,

2V2

sinNPCB=Vl-cos2ZPC5

又0<NPCB〈n,所以3

ii2萬

S=-PCBCsinZPC5=-X3X4X-^-=4A/2

所以APBC的面積為223

故選：C.

土+匕=1FFCOSZF}PF2=-

12.己知橢圓96,巧，/為兩個焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，'5,則

1尸。=（）

2叵3V35

A.5B.2C.5D.2

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出△尸片工的面積，即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)，從而得出1°刈的

值；

方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出「6幟周10娟+盧周，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積

即可求出：

方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出忙附+歸周，即可根據(jù)中線定理求出.

9

22

ZFiPF1=20,O<0<-SPFF=htan=btan6

【詳解】方法一：設(shè)'2,所以'122

煙4^=32。=邛*=匕雪￡=3

tan6八=一1

由cos~6+sin3l+tan~95,解得:2

由橢圓方程可知，/=9/2=6,。2=/一人2=3

,呻廣夫巧用xM|=；x2&x聞=6X；解得.%=3

所以,

故選:B.

方法二:因?yàn)楱D明=24=6①，附「+|明2―2閥口咽”時=閨閭2,

附「+|產(chǎn)用2_曰尸利p用二12

即②，聯(lián)立①②,

I吶閘|=*|吶一陷「=21

解得:

而=；（兩+兩）所以|8|=|訪卜;歷+可

艮產(chǎn)馬兩+所卜外珂+2時叫陶沙燈亭畀等.

故選：B.

方法三：因?yàn)楦?+附l=2a=6①，附「+閘J2閘|熙口因平村2,

即附加叫Y國附i②，聯(lián)立①②，解得"叫+|明2臼，

he

由中線定理可知，（2加+舊明2（回卻叫「42,易知小=2為解得」葉〒,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常

規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難

度不是很大.

二、填空題

10

V=（XT）2+ax+sinx+—

I2

13.若為偶函數(shù)，則。=

【答案】2

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到I2）,12人從而求得。=2,再檢驗(yàn)即可得解.

y=f（X）=（X-1）2+6TA"+sin|X+—j

=+QX+COSX

【詳解】因?yàn)椤甀2J為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

所以/（一%）=（一工）24-14-COS（-x）=x2+1+COSX=/（X）

又定義域?yàn)镽,故/（X）為偶函數(shù)，

所以4=2.

故答案為：2.

2x+3y<3

<3x-2y<3

14.設(shè)x,y滿足約束條件［x+VNl,設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為

【答案】15

【解析】

【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.

【詳解】作出可行域，如圖,

11

3z

y——x4—

由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)22過點(diǎn)A時，z有最大值，

-2x+3y=3(x=3

由(3x-2y=3可得fy=3,即4(3,3),

所以Zmax=3x3+2x3=15

故答案為：15

15.在正方體—44G4中，E,尸分別為8,44的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條

棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2,EF中點(diǎn)為O,取8片中點(diǎn)G,M,側(cè)面的中心為N,連

摟FG,EG,OM,ON,MN,如圖

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=dFG、EG。=也+22=20,

即及=8，

則球心。到網(wǎng)的距離為OM=JON?MN。=Vi2+i2=V2,

所以球。與棱8片相切，球面與棱只有1個交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點(diǎn)，

所以以E尸為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為：12

16.在中，4B=2,/民40=60°,80=&，。為8。上一點(diǎn)，/。為/氏40的平分線，則

AD=.

【答案】2

12

【解析】

【分析】方法一：利用余弦定理求出ZC,再根據(jù)等面積法求出

方法二：利用余弦定理求出ZC,再根據(jù)正弦定理求出8，C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

【詳解】

如圖所示：記4B=c,4C=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+62-2X2X&XCOS600=6,

因?yàn)閎>0,解得：b="6.

由ABC=SQABD+S&ACD可得,

—x2x6xsin60u=—x2xADxsin300+—xADxixsin30"

222

m型273(1+73)

3+百一2

.b

1+-

解得：2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+62-2X2X&XCOS600=6,因?yàn)?＞0,解得：6=1+0,

V6b2.y/6+V2.V2

------=-----=-----sinB=-------sinC=—

由正弦定理可得，sin60°sin5sinC,解得：4,2,

因?yàn)?+G＞逐＞0,所以。=45°,8=180°-60°-45°=75°,

又N8/Z)=30°,所以8=75,即/Z)=N8=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義

結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī).

三、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝中，“2=1,設(shè)S，為｛%｝前〃項(xiàng)和，25,=〃。”.

13

(1)求｛""｝的通項(xiàng)公式；

X]

(2)求數(shù)列12J的前“項(xiàng)和北.

【⑵答案…】(1)一%…="-1

【解析】

百，〃=1

an=j

【分析】(1)根據(jù)〔邑一S“一"〃N2即可求出;

(2)根據(jù)錯位相減法即可解出.

【小問1詳解】

因?yàn)?S“=〃％,

當(dāng)〃=］時，2q=%,即6=0；

當(dāng)〃=3時，2（1+%）=3%,即%=2,

當(dāng)nN2時，2S“_i=（?-l）a?.1,所以2（S,-S“-i）=〃％--1）%=2a?

/"_(_n人=上』...=2=1_,

化簡得：(〃2)。,,一(〃I",』，當(dāng)〃?3時，"一1n-22,即%—"T,

當(dāng)〃=L2,3時都滿足上式，所以“L"l(〃eN)

【小問2詳解】

卻/7；=1x(U+2x(。+3川+…+〃/U

因?yàn)?〃2",所以⑴⑵⑶⑶，

京=lx'j+2x(小…+(〃—1)x(3+展「，

兩式相減得，

14

=d+￡G）,即2式+碼），〃GN*.

18,在三棱柱NBC-44G中，么4=2,4c,底面/8C,/4C8=90。，4到平面^CG4的距離為

1.

（2）若直線'4與距離為2,求'與與平面8℃田所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

屈

（2）13

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得4°，平面與，再由勾股定理求出。

為中點(diǎn)，即可得證；

（2）利用直角三角形求出'用的長及點(diǎn)A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

【小問1詳解】

如圖，

15

:.AtC±BC^BC1AC,4cMeU平面/CG4,4Cc/C=C,

,Be，平面/CG小,又BCu平面5c

..平面/eq4，平面Bee%

過4作4。，CG交c￡于0,又平面4n平面8CC4=cq,40u平面NCG4

4。-L平面BCC出1

4到平面BCC\B\的距離為i,4°=1,

在RtA4cc,中，4CJ-4GCG==2,

設(shè)CO=x,則C。=2_x,

4℃”40G為直角三角形，且8=2,

CO2+Afir=4c22+2=c/；4c2+4C；=c,c2

'AOOC,，

l+%2+1+(2-x)2=4,解得x=l,

:.AC=A,C=A]C]=y/2

AC=4c

【小問2詳解】

???AC=4cl,BC14CBC±AC

/.RtA^2fiRt4cB

BA=BA]

過8作交"4于0,則。為'4中點(diǎn)，

由直線與距離為2,所以8。=2

vAtD=1BD=2:-A[B=AB=#>

在RtZ\/6C,:.BC7AB2-AC?=◎),

延長NC,使NC=CN,連接G",

由CW/4G，CM=4G知四邊形A\CMC\為平行四邊形，

16

G/〃4C,G"J■平面,又平面N8C,

:CM1AM

22

同/孔△/￡〃巾AM^2AC,C.M^AtC：.AC,=y/(2AC)+A,C

人JI-L-If，，

在RtZsZ81G中g(shù)=4(24C￥+4C2B[C\=BC=6

222

：.AB]=7(2V2)+(V2)+(V3)=V13

又A到平面BCCA距離也為1,

1V13

所以'片與平面8CG4所成角的正弦值為JR13

19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組(不加藥物)和實(shí)驗(yàn)組

(加藥物).

(1)設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)測得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)m,并完成下面2*2列聯(lián)表:

<m>m

對照組

實(shí)驗(yàn)組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.

參考數(shù)據(jù)：

k。0.100.050.010

2

P[k>ka)2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列見解析，4X)=1

17

(2)(i)根=23.4；列聯(lián)表見解析，(ii)能

【解析】

【分析】(1)利用超兒何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望：

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得〃?=234,從而求得列聯(lián)表;

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【小問1詳解】

依題意，X的可能取值為°」，2,

則小=。)=等嚏小小曾嗡，尸吠=2)=詈喋

所以X的分布列為：

X012

192019

P

783978

192019

E(X)=0x—+lx—+2x—=1

故''783978

【小問2詳解】

(i)依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)

據(jù)的平均數(shù)，

由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，

可得第11位數(shù)據(jù)為144,后續(xù)依次為17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…，

故第20位為232，第21位數(shù)據(jù)為23.6,

23.2+23.6

m----------------=23.4

所以2

故列聯(lián)表為:

<m>m合計

對照組61420

實(shí)驗(yàn)組14620

合計202040

18

^=40X（6X6-14X14￡=640（）>3841

（ii）由⑴可得，20x20x20x20,

所以能有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.

20.已知直線x—2夕+1=0與拋物線C:/=2px（p>0）交于46兩點(diǎn)，且|2用=4而.

（1）求P；

（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為尸，M,N為C上兩點(diǎn)，MF.NF=G,求△腦忸面積的最小值.

【答案】（1）〃=2

⑵12-872

【解析】

【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出?；

（2）設(shè)直線"N：》=卯+〃，"（』，乂），*（々,8），利用赤.標(biāo)=0,找到嘰〃的關(guān)系，以及

△MNF的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值.

【小問1詳解】

設(shè)”（凡,外）,8（4,必；）,

x-2y+l=0

<

由iy=2px可得，j?-4py+2P=0,所以、“+歹8=4。,_^>2=2。，

所以MM=J（x4-〃8丫+（”-%）2=V5\yA-yB\=后J84為力=4715,

即2P2-p-6=0,因?yàn)椤?gt;0,解得:P=2

【小問2詳解】

因?yàn)椤埃?'°）,顯然直線"N的斜率不可能為零，

設(shè)直線用N：x=my+n/（司，乂），"（％2，%），

y2=4x

<

2

由（x=my+〃可得，y-4my-4n=ot所以，必+%=4〃?,乂%=—4〃，

△=16病+16〃>0=/+〃〉0,

因?yàn)闃?biāo)?標(biāo)=0,所以（苞_1）（%_1）+必必=0,

即（，即i+〃-1）（叼2+W-I）+M8=0,

19

亦即(〃/+1)乂%+加(〃-1)(必+，2)+(〃-1)2=0,

將乂+%=4機(jī)/訪=-4〃代入得，

4/=〃2_6〃+1,4(〃/+〃)=(〃一療〉0,

所以且/-6〃+lN0,解得〃23+2貶或〃W3-2及

設(shè)點(diǎn)尸到直線"N的距離為“，所以Vl+w2,

\MN\=J（X]-工2）2+（9一%）-=Jl+〃/帆-力=J1+/W2A/16加2+16〃

=2,1+〃1,4（〃2-6〃+1）+16〃=2yjl+m2|w—1|

S--x\MN\xd=—x]〃"x2yJl+m2\n-1|=（/J-1）2

22

所以AMM的面積2V1+/M,

而〃N3+2及或〃W3-2a,所以，

當(dāng)〃=3-2a時，AMVF的面積鼠n=（2-2>/i）=12一8&.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到"?，〃的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)

系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.

〃x）=ax—且Jo,

21.已知COSxk2J

（1）若a=8,討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若/（x）<sin2x恒成立，求°的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析.

（2）（一8,3]

【解析】

2

【分析】（1）求導(dǎo)，然后令'=80X,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;

（2）構(gòu)造8（*）=/（對一$出2巳計算88）的最大值,然后與0比較大小，得出。的分界點(diǎn)，再對“討論即可.

【小問1詳解】

cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

f'(x)=a-

cos6x

20

cos2x+3sin2x3-2cos2x

a--------------J---------=a---------

COSXCOSX

令cos?X=E,則，e(0,l)

//、/\3-2rat~+2f—3

f(x)=g(0=a-----

2

則/t

c/1,、,8廠+2z—3⑵-1)(47+3)

a=8,/(x)—g(t)-j

當(dāng)廣

n兀

tE,/U)<0

452

當(dāng)

當(dāng)(2J,即I4J

所以/（X）在畤上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

【小問2詳解】

設(shè)g(x)=/(x)-sin2x

at+2,一3re[、_.23

g'(x)=/'(x)-2cos2x=g(f)-2(2cos2x-l)=-----；------2(2/-l)=a+2-4/H......-

t，*設(shè)

23

(p(t)=a+2-4/+----Y

2

-4，+9-4/一2￡+62(r-l)(2r+2/+3)>Q

,2,3

所以夕（。＜夕（1）=4一3

]。若&€（_00,3]g'（x）-（p（t）＜a-3＜0

[o,-1_

即g（x）在l21上單調(diào)遞減,所以8（萬）＜8（0）=0

所以當(dāng)ae(-oo,3