專題1.2 不等式及其應(yīng)用【八大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第第頁專題1.2不等式及其應(yīng)用【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】 3【題型2利用基本不等式求最值】 4【題型3基本不等式中的恒成立、存在性問題】 6【題型4一元二次不等式的解法】 8【題型5其他不等式的解法】 10【題型6由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 12【題型7一元二次不等式恒成立問題】 14【題型8一元二次不等式有解問題】 171、不等式不等式與基本不等式的性質(zhì)、求解、證明以及應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值問題。但不等式的相關(guān)知識往往可以滲透到高考的各個知識領(lǐng)域，作為解題工具與函數(shù)、向量、解析幾何、數(shù)列等知識相結(jié)合，在知識的交匯處命題，難度中檔，其中在解析幾何中利用基本不等式求解范圍或解決導(dǎo)數(shù)問題時利用不等式進(jìn)行求解，難度偏高。【知識點1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】1．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【知識點2基本不等式】1.兩個不等式不等式內(nèi)容等號成立條件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時取“=”eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．【知識點3一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；②計算對應(yīng)方程的判別式；③求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；②若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進(jìn)行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論．2．分式、高次、絕對值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步驟：①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．②對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步驟：高次不等式的解法：如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標(biāo)準(zhǔn)化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.(3)解絕對值不等式的一般步驟：對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數(shù)軸來求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性問題不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【題型1不等式性質(zhì)的應(yīng)用】【例1】（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)?？级＃┰O(shè)x,y∈R，則“x<3且y<3”是“x+y<6”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】依據(jù)“x<3且y<3”與“【解答過程】由x<3且y<3，可得當(dāng)x=5，y=?1時，滿足x+y<6，但不滿足x<3則“x<3且y<3”是“故選：A.【變式1-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列不等式正確的是（）A．若ac2B．若ca>C．若a+b>0，c?b>0，則a>cD．若a>0，b>0，m>0，且a<b，則a+m【解題思路】舉例說明選項ABC錯誤；利用作差法證明選項D正確.【解答過程】對于A，當(dāng)c=0，a=?1，b=2時滿足ac2≥b對于B，當(dāng)c=?1，a=?2，b=?3時，滿足ca>c對于C，由不等式的基本性質(zhì)易知a+c>0，當(dāng)a=?1，b=32，c=2時滿足a+b>0，c?b>0，但對于D，a+mb+m?a故選：D．【變式1-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足x<y，設(shè)a=xex+y，b=yey+x，c=yex+x（其中e為自然對數(shù)：eA．a(chǎn)<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a【解題思路】利用作差比較法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【解答過程】因為a=xex+y，b=ye又y>x>0，e>1，所以ey>又c?a=x?y又y>x>0，ex>1，所以綜上，a<c<b．故選：A．【變式1-3】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a,b,x均為實數(shù)，下列不等式恒成立的是（

）A．若a<b，則aB．若a<b，則2024C．若ax2024D．若a<b，則a【解題思路】結(jié)合特殊值與不等式的性質(zhì)可求.【解答過程】A，當(dāng)a=?2,b=1時，(?2)2024B，當(dāng)a=0時，2024aC，由ax2024<bx2024D，當(dāng)x=0時，ax故選：C.【題型2利用基本不等式求最值】【例2】（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)x>0，y>0，m=2x2+22A．最小值3 B．最大值3C．最小值32+2【解題思路】由基本不等式求出22xy=2x?2【解答過程】x>0，y>0，故22故m=2x2AD錯誤，B正確；當(dāng)x=0.5,y=1時，m=2×故選：B．【變式2-1】（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x,y滿足x+2y=1，則1x+1+2A．12+2 B．3+22 【解題思路】利用基本不等式“1”的妙用求解.【解答過程】由題可得，x+2y=1，則x+1+2所以1=1當(dāng)且僅當(dāng)2(y+1)x+1=2(x+1)故選:C.【變式2-2】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知a>0,b>0,2a+b=ab，則2aa?1+bA．4 B．6 C．42 D．【解題思路】由已知可得a=bb?2且b>2、a>1，再由【解答過程】由a>0,b>0,2a+b=ab，a=bb?2>0，即b>2所以2aa?1當(dāng)且僅當(dāng)a=2+1時等號成立，此時所以2aa?1+b故選：D.【變式2-3】（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知a>0,b>0，則下列命題錯誤的是（

）A．若ab≤1，則1B．若a+b=4，則1aC．若a2+bD．若2a+b=1，則ab的最大值為2【解題思路】直接使用基本不等式即可判斷A，C，D；若a+b=4，則1a【解答過程】∵0<ab≤1，∴1ab≥1，∴若a+b=4，則1a當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=3時等號成立，故B正確；若a2+b2=4若2a+b=1，則1=2a+b≥22ab，即ab≤18故選：D.【題型3基本不等式中的恒成立、存在性問題】【例3】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）當(dāng)x，y∈0,+∞時，4x4+17A．25,+∞ B．26,+∞ C．994【解題思路】將左側(cè)分式的分子因式分解成4x【解答過程】當(dāng)x，y∈0,+∞時，當(dāng)且僅當(dāng)4x2+y=所以4x4+17所以m4>25故選：A.【變式3-1】（2023上·江西南昌·高一校考期中）若兩個正實數(shù)x，y滿足1x+4y=1，且不等式x+A．{m|?1<m<4} B．{m|m<?4或m>1}C．{m|?4<m<1} D．{m|m<?1或m>4}【解題思路】首先將原問題轉(zhuǎn)化為x+y4min【解答過程】∵不等式x+y∴x+∵x>0，y>0，1∴x+y當(dāng)且僅當(dāng)4xy∴m2?3m>4，∴∴實數(shù)m的取值范圍是m|m<?1或故選：D．【變式3-2】（2022上·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）已知x>0，y>0.(1)若x+9y+xy=7，求3xy的最大值；(2)若x+y=1，若1x+1【解題思路】（1）依題意利用基本不等式可得7?xy≥6xy，令t=xy(t>0)，再解關(guān)于t（2）利用乘“1”法及基本不等式求出1x+1y的最小值，依題意可得【解答過程】（1）解：因為x>0，y>0，x+9y+xy=7，所以7?xy=x+9y≥2x?9y=6xy令t=xy(t>0)，則7?t2≥6t又t>0，所以0<t≤1，即0<xy≤1，從而由x=9yx+9y+xy=7及x>0，y>0，解得x=3，y=故當(dāng)x=3，y=13時，xy的最大值為1，所以3xy的最大值為（2）解：因為x>0，y>0，x+y=1，所以1x+1y=因為1x+1所以4>12m2?m，所以m+2【變式3-3】（2023上·湖北宜昌·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知a>0，b>0，若不等式3a+1（2）若關(guān)于x的不等式3x2+bx+3≥0在[0,2]【解題思路】（1）分離變量，利用基本不等式求解；（2）當(dāng)x=0時，不等式顯然成立；當(dāng)0<x≤2時，分離變量，利用基本不等式求解.【解答過程】（1）因為a>0，b>0，則3a而(3當(dāng)且僅當(dāng)9ba=a依題意，不等式m≤(3a+所以m的最大值為12；（2）當(dāng)x=0時，不等式3x2+bx+3≥0當(dāng)0<x≤2時，3x又因為3(x+1x)≥3×2所以?b≤6，即b≥?6，即實數(shù)b的取值范圍為{b|b≥－【題型4一元二次不等式的解法】【例4】（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）不等式x2+4x?21≤0的解集為（A．?∞,?7∪C．?∞,?3∪【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解法求出對應(yīng)方程的根，結(jié)合圖象直接求解即可.【解答過程】易知方程x2+4x?21=0可化為x+7x?3所以不等式x2+4x?21≤0的解集為故選：B．【變式4-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某同學(xué)解關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)時，因弄錯了常數(shù)c的符號，解得其解集為(?∞,?3)∪(?2,+A．?1,?15 C．15,1 【解題思路】利用根與系數(shù)關(guān)系、一元二次不等式的解求得a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)而求得不等式bx【解答過程】由題意可知a<0，且?3+(?2)=?ba所以bx2+cx+a>0化為55x?1x?1<0，解得故選：C.【變式4-2】（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a,b,c∈R，且a≠0，關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(?3,2)，則關(guān)于x的不等式cA．?13,C．?∞,?1【解題思路】根據(jù)二次不等式的解集與二次方程的根的關(guān)系，利用韋達(dá)定理可得a,b,c關(guān)系，代入所求不等式解不等式即可．【解答過程】因為不等式ax2+bx+c>0，a≠0所以a<0且?ba=?3+2=?1不等式cx2+ax+b>0即6x2?x?1>0，2x?13x+1>0所以不等式cx2+ax+b>0故選：C．【變式4-3】（2022下·浙江湖州·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x<?1或x>4}A．a(chǎn)>0 B．不等式ax2C．a(chǎn)+b+c<0 D．不等式ax+b>0的解集為x【解題思路】根據(jù)解集形式確定選項A錯誤；化不等式為x2?4x?3<0,即可判斷選項B正確；設(shè)f(x)=ax【解答過程】解：因為關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x<?1或x>4}由題得a<0?1+4=?ba?1×4=c設(shè)f(x)=ax2+bx+c不等式ax+b>0為ax?3a>0,∴x<3，所以選項D錯誤.故選：B.【題型5其他不等式的解法】【例5】（2023上·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）分式不等式x+51?x≤0的解集為（A．x?5≤x≤1 B．C．{x|x≤?5或x≥1} D．{x|x≤?5或x>1}【解題思路】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法，準(zhǔn)確運算，即可求解.【解答過程】由分式不等式x+51?x≤0可轉(zhuǎn)化為x+5x?1≥0且1?x≠0，解得所以不等式的解集為{x|x≤?5或x>1}.故選：D.【變式5-1】（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）不等式x+3x?2x?1≥0A．?3,1∪2,+∞ C．?3,1∪1,2 【解題思路】利用分類討論法計算可得.【解答過程】不等式x+3x?2x?1≥0，等價于x+3解得x≥2或?3≤x<1，即不等式x+3x?2x?1≥0故選：A.【變式5-2】（2023上·江蘇揚州·高一?？计谥校┣笙铝胁坏仁降慕饧?1)3x?1x+1(2)2x?3(3)x+2【解題思路】（1）將原不等式3x?1x+1>4等價轉(zhuǎn)換為（2）將原不等式2x?3x+1<1等價轉(zhuǎn)換為（3）將原不等式x+2<1等價轉(zhuǎn)換為x+1【解答過程】（1）由題意3x?1x+1解不等式得x<?53或從而不等式3x?1x+1>4的解集為（2）由題意2x?3x+1解不等式得?1<x<4，從而不等式2x?3x+1<1的解集為（3）由題意x+2<1?解不等式得?3<x<?1，從而不等式x+2<1的解集為?3,?1【變式5-3】（2023上·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）求下列不等式（組）的解集：(1)x+2x?3(2)2x(3)2x?1≥3(4)3x?4>0,【解題思路】（1）分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解；（2）因式分解可得相應(yīng)方程的兩根，然后可寫出不等式解集；（3）利用絕對值的性質(zhì)求解；（4）分別解兩個一元一次不等式，然后求交集可得．【解答過程】（1）x+2x?3解得x<?2故原不等式的解集為?∞（2）2x解得12≤x≤2.故原不等式的解集為（3）2x?1≥3?2x?1≥3或2x?1≤?3解得x≥2或x≤?1.故原不等式的解集為?∞（4）解不等式3x?4>0，得x>4解不等式x+12≤1?x因為43,+∞【題型6由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例6】（2023上·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的不等式x2?a+1x+a<0恰有四個整數(shù)解，則實數(shù)A．5,6 B．?4,?3C．?4,?3∪5,6 【解題思路】化不等式為x?ax?1<0，分a=1，a>1和【解答過程】不等式x2?a+1當(dāng)a=1時，不等式x2當(dāng)a>1時，不等式x2?a+1要使不等式x2?a+1當(dāng)a<1時，不等式x2?a+1要使不等式x2?a+1綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是?4,?3∪故選：C．【變式6-1】（2023上·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）設(shè)不等式x2?2ax?1≤0的解集為M，若M??2,2，則實數(shù)aA．[?2,2] B．(?2,2) C．?34,【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得Δ>0【解答過程】令fx=x由題意可得?2<2a2<2故選：C.【變式6-2】（2023上·福建·高一校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為x?1<x<2，則A．?4 B．?2 C．2 D．4【解題思路】先根據(jù)一元二次不等式的解集確定出a,b,c的等量關(guān)系，然后將b?c化為以a表示的形式并結(jié)合基本不等式求解出最小值.【解答過程】因為一元二次不等式ax2+bx+c<0所以a>0且?ba=?1+2=1所以b?c+4a=a+4a所以最小值為4，故選：D.【變式6-3】（2023上·江蘇無錫·高一?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組x2?2x?8>02x2A．x?5<x<3或4<x<5 B．x?5≤x<3C．x?5<x≤3或4≤x<5 D．x?5≤x≤3【解題思路】解x2?2x?8>0得到x>4或x<?2，分?k=?72，【解答過程】x2?2x?8>0，解得x>4或2x2+(2k+7)x+7k<0當(dāng)?k=?72，即當(dāng)?k<?72，即k>7要想不等式組僅有一個整數(shù)解，則?5≤?k<?4，解得4<k≤5，4<k≤5與k>72求交集得當(dāng)?72<?k，即k<要想不等式組僅有一個整數(shù)解，則?3<?k≤5，解得?5≤k<3，?5≤k<3與k<72求交集得綜上，k的取值范圍是x?5≤x<3或4<x≤5故選：B.【題型7一元二次不等式恒成立問題】【例7】（2023·福建廈門·廈門一中?？级＃癰∈0,4”是“?x∈R，bxA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由?x∈R，bx2【解答過程】由?x∈R，bx2?bx+1>0成立，則當(dāng)b=0時，當(dāng)b≠0時，b>0b2?4b<0因此?x∈R，bx2因為(0,4)[0,4)，所以“b∈0,4”是“?x∈R，故選：A.【變式7-1】（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）已知當(dāng)x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【解題思路】先由x2?mx+16>0得m<x+16x，由基本不等式得【解答過程】當(dāng)x>0時，由x2?mx+16>0得因x>0，故x+16x≥2x×16因當(dāng)x>0時，m<x+16x恒成立，得故選：C.【變式7-2】（2023上·福建莆田·高一莆田八中校考期中）設(shè)函數(shù)fx=x(1)若t=1，且對任意的x∈a,a+2，都有fx≤5(2)若對任意的x1,x2∈【解題思路】（1）根據(jù)fx≤5得到（2）將“對任意的x1，x2∈0,4，都有fx1?fx2≤8”轉(zhuǎn)化為“M?m≤8【解答過程】（1）當(dāng)t=1時，fx令fx≤5，解得所以a≥?1a+2≤3，解得?1≤a≤1所以a的取值范圍為?1,1.（2）設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間0,4上的最大值為M，最小值為m所以“對任意的x1，x2∈0,4，都有f①當(dāng)t≤0時，M=f4=18?8t，由M?m=18?8t?2=16?8t≤8，得t≥1，從而此時t∈?；②當(dāng)0<t≤2時，M=f4=18?8t，由M?m=18?8t?2?t2從而4?22③當(dāng)2<t≤4時，M=f0=2，由M?m=2?2?t2從而2<t≤22④當(dāng)t>4時，M=f0=2，由M?m=2?18?8t=8t?16≤8得從而此時t∈?；綜上可得，t的取值范圍為4?22【變式7-3】（2023上·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2x2(1)當(dāng)a=1時，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若?x1∈0,1，?x【解題思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：構(gòu)造函數(shù)，分類討論求解二次函數(shù)最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)k=x+15（3）把問題轉(zhuǎn)化為fx【解答過程】（1）當(dāng)a=1時，fx=2所以fx?gx=x2+（2）若對任意x>0，都有fx>gx成立，即x解法一：設(shè)?x=x2+1?ax+①當(dāng)a?12≤0，即a≤1時，?x在0，+②當(dāng)a?12>0，即a>1時，?x在0,所以?x>?a?12=?所以1<a<1+15綜上，a<1+15解法二：不等式可化為a?1x<x2+154，即由題意，只須a?1<kxmin，當(dāng)且僅當(dāng)x=154x即x=15所以a?1<15，即a<1+（3）若對任意x1∈0,1，存在x即只需滿足fxmin>ggx=x2?x+a2?31gxmin=g12=a①a4≤0即a≤0時，fx在0,1②0<a4<1即0<a<4時，fx在fxmin=fa4=7③a4≥1即a≥4時，fx在0,1遞減，f所以a2?a?2>a2?8【題型8一元二次不等式有解問題】【例8】（2023·河南·長葛市統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4 C．【解題思路】由題知x0∈?1,1【解答過程】解：因為命題“?x0∈所以，命題“?x0∈所以，x0∈?1,1因為，y=x所以，當(dāng)x∈?1,1時，ymin=?2所以，x0∈?1,1時，a>x故選：C.【變式8-1】（2022·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若存在實數(shù)x，使得mx2?m?2x+m<0A．?∞,2 C．?∞,2【解題思路】分別在m=0、m>0和m<0的情況下，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.【解答過程】①當(dāng)m=0時，不等式化為2x<0，解得：x<0，符合題意；②當(dāng)m>0時，y=mx只需Δ=m?22③當(dāng)m<0時，y=mx則必存在實數(shù)x，使得mx綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為?∞故選：C.【變式8-2】（2023上·福建·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)f(1)若fx>0的解集是x|x<2或x>3，求實數(shù)(2)當(dāng)a=1時，若?2≤x≤2時函數(shù)fx≤?m+5【解題思路】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集列方程，由此求得a的值.（2）化簡不等式fx≤?m+5【解答過程】（1）依題意，fx=ax2?2a+3x+6且x1=2,x所以a>02+3=2a+3a（2）a=1時，fx≤?m+5即x2+mx+3?2m≤0在法一：因為y=x2①?m2≤?2即m≥4,x=?2②?2<?m2<2即?4<m<4時，當(dāng)x=?解得m≥27?4或m≤?27③當(dāng)?m2≥2即m≤?4，當(dāng)x=2即m無解.綜上，m≥27法二：x2+3+mx?2當(dāng)x=2時x2當(dāng)x≠2時x2+3+mx?2≤0，即m≥x令t=2?x,t∈0,4，x當(dāng)且僅當(dāng)t=7t即t=7取“=”，∴【變式8-3】（2023上·山東青島·高一青島二中?？计谥校┮阎瘮?shù)g(x)=ax2+c(a,c∈R)，g(1)=1且不等式g(x)≤（1）求函數(shù)g(x)的解析式；（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)?(x)=2g(x)?2，關(guān)于x的不等式?(x?1)+4?(m)≤?xm?4m2【解題思路】（1）根據(jù)條件g(1)=1得到a,c的一個關(guān)系式，然后將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為Δ與0的關(guān)系，從而求解出a,c的值，則gx（2）根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為“1m2?4m2≥1?2x?【解答過程】（1）∵二次函數(shù)gx=ax2+ca,c∈R又∵不等式gx≤x∴a?1x2+x+c?1≤0當(dāng)a?1=0時，x+c?1≤0不恒成立，∴a=1不合題意，舍去；當(dāng)a?1≠0時，要使得a?1x2+x+c?1≤0需要滿足：a?1＜0Δ=1?4∴由①②解得a=1故函數(shù)gx的解析式為：g（2）把gx=12x則關(guān)于x的不等式?x?1+4?m整理得1m2?4只要使得1m設(shè)y=1?2x?則y=?31∴當(dāng)1x=2所以1m解得0<m2≤34故實數(shù)m的取值范圍為?31．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式aA．?2,1 B．?∞,?2∪1,+∞ C．?2,1 【解題思路】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.【解答過程】結(jié)合圖像易知，不等式ax2+bx+c>0故選：A.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足x2+yA．x+y≤1 B．x+y≥?2C．x2+y【解題思路】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．【解答過程】因為ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y由x2+y2?xy=1可變形為x因為x2+y2?xy=1變形可得x?y=43+23故選：BC．3．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A．a(chǎn)2+bC．log2a+log【解題思路】根據(jù)a+b=1，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進(jìn)行求解.【解答過程】對于A，a2+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1對于B，a?b=2a?1>?1，所以2a?b對于C，log2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1對于D，因為a+所以a+b≤故選：ABD.4．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2A．4 B．8 C．16 D．32【解題思路】因為C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，可得雙曲線的漸近線方程是y=±bax，與直線x=a聯(lián)立方程求得D【解答過程】∵C:∴雙曲線的漸近線方程是y=±∵直線x=a與雙曲線C:x2a2?不妨設(shè)D為在第一象限，E在第四象限聯(lián)立{x=ay=故D(a,b)聯(lián)立{x=ay=?故E(a,?b)∴|ED|=2b∴△ODE面積為：S∵雙曲線C:∴其焦距為2c=2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22∴C的焦