5.3簡單的軸對稱圖形學案贏在假期寒假預習北師大版數(shù)學七年級下冊

5.3簡單的軸對稱圖形贏在假期—北師大版七年級下冊寒假預習【原卷版】學習目標1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)；(重點)2．經(jīng)歷等腰三角形的探究過程，能初步運用等腰三角形的性質(zhì)解決有關問題．(難點)3．理解線段的垂直平分線的概念；4．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；(重點)5．能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算．(難點)6．經(jīng)歷角的平分線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，初步掌握角的平分線的性質(zhì)定理；(重點)7．能運用角的平分線性質(zhì)定理解決簡單的幾何問題．(難點)考點類型梳理及方法總結探究點：等腰三角形的性質(zhì)【類型一】利用“等邊對等角”求角度方法總結：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．【類型二】利用方程思想求等腰三角形的角度方法總結：利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可以得到角與角之間的關系，當這種等量關系或和差關系較多時，可考慮列方程解答，設未知數(shù)時，一般設較小的角的度數(shù)為x.【類型三】利用“等邊對等角”的性質(zhì)進行證明方法總結：證明線段的平行關系，主要是通過證明角相等或互補．【類型四】利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進行證明方法總結：在等腰三角形有關計算或證明中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．探究點：線段垂直平分線的性質(zhì)【類型一】利用線段垂直平分線的性質(zhì)進行證明方法總結：解題時，往往利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出線段相等，進而得出角相等，這體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想．【類型二】利用線段垂直平分線的性質(zhì)進行判斷方法總結：AB是CD的垂直平分線，它包含兩個方面的含義：一是AB與CD垂直，二是AB把CD分成相等的兩部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“單向”的．【類型三】與線段垂直平分線有關的計算方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．對相等的線段進行轉(zhuǎn)化是解答本題的關鍵．【類型四】線段垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．探究點：線段垂直平分線的作圖方法總結：對于作圖題首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．探究點一：角平分線的性質(zhì)【類型一】利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等方法總結：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個重要依據(jù)，在運用時一定要注意是兩條垂線段相等．【類型二】角平分線的性質(zhì)與三角形面積的綜合運用方法總結：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．【類型三】角平分線的性質(zhì)與全等三角形綜合方法總結：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．【類型四】角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線性質(zhì)的綜合運用方法總結：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．【類型五】角平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)綜合的探究性問題探究點：角平分線的畫法方法總結：通過本題要掌握角平分線的作圖步驟，根據(jù)作圖明確AM是∠BAC的角平分線是解題的關鍵．預習檢測一．選擇題1．（2023秋?安溪縣期末）如圖，在，的垂直平分線交于，若，，則的周長是A．8 B．9 C．10 D．112．（2023秋?特克斯縣期中）如圖，點是平分線上一點，，垂足為，若，則點到邊的距離是A．2 B．3 C． D．43．（2023秋?衡陽期末）等腰三角形的一個角是，則它的頂角是A． B． C． D．或4．（2023秋?裕華區(qū)校級期末）如圖，在中，，，的垂直平分線與交于點，則的度數(shù)是A． B． C． D．5．（2023秋?杜爾伯特縣期末）已知等腰三角形的一個底角為，則這個等腰三角形的頂角為A． B． C． D．6．（2023秋?青龍縣期末）等腰三角形的一個角為，則它的底角的度數(shù)為A． B． C．或 D．7．（2023秋?宣化區(qū)期末）如圖，在中，，是邊上的中點，，則等于A． B． C． D．8．（2023秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，中，的垂直平分線交邊于點，的垂直平分線交邊于點，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．9．（2023秋?禹城市期中）如圖，射線平分，點、分別在射線、上，若，的面積為10，過點作于點，則的長為A．10 B．5 C．4 D．310．（2023秋?東莞市期末）如圖，平分，于點，點是射線上的一個動點．若，則的長不可能是A．4 B．3.5 C．2 D．1.511．（2023秋?咸安區(qū)期末）如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為13，的周長為A．16 B．13 C．19 D．1012．（2022秋?金平縣期末）如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應建在三角形草坪A．三條角平分線的交點處 B．三條中線的交點處 C．三條高的交點處 D．三條邊的垂直平分線的交點處13．（2023秋?四平期末）等腰三角形的頂角為，則它的一個底角是A． B． C． D．14．（2023?綿陽）如圖，在等邊中，是邊上的中線，延長至點，使，若，則A． B．6 C．8 D．15．（2023秋?官渡區(qū)期末）已知等腰三角形的一內(nèi)角度數(shù)為，則它的頂角的度數(shù)為A． B． C． D．或16．（2022秋?海滄區(qū)校級期末）如圖，在四邊形中，，平分，，，則的面積是A．3 B．4 C．6 D．1217．（2023秋?合江縣期中）一個等腰三角形的兩邊長分別為5和9，則這個三角形的周長是A．19 B．23 C．19或23 D．2018．（2023秋?章貢區(qū)期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為、，則該等腰三角形的周長是A． B． C．或者 D．19．（2022秋?費縣期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為6和1，則這個等腰三角形的周長為A．13 B．8 C．10 D．8或1320．（2023秋?西豐縣期末）如圖，中，是的角平分線，，是中點，連接，若，，，則的面積為A．7.5 B．8 C．9 D．12二．填空題21．（2023秋?惠州期末）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點、，再分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是．22．（2023秋?黔江區(qū)期末）等腰三角形的周長為，其中一邊長為，則該等腰三角形的底邊為．23．（2023?九龍坡區(qū)校級開學）如圖，中，、兩點分別在、上，為的中垂線，為的角平分線，若，則．24．（2023秋?江都區(qū)期末）等腰三角形的兩邊、滿足，那么這個三角形的周長是．25．（2023秋?永春縣校級月考）等腰三角形兩條邊長分別為和，則該等腰三角形的周長為．26．（2023秋?博爾塔拉州期末）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為．27．（2022秋?南寧期末）在中，，平分，一個等邊三角形如圖擺放，交于點．若，，則等邊三角形的邊長為．28．（2023秋?雙橋區(qū)校級期末）如圖，是的角平分線，于點，于點，點是上的點，點是上的點．（1）與是否相等？（填“是”或“否”；（2）若，則．29．（2023秋?中江縣期末）如圖，在∠AOB的邊OA，OB上取點M，N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則△OMN的周長是．30．（2022秋?曾都區(qū)期末）如圖，在中，，，點在線段上運動（點不與、重合），連接，作，交于點，當為等腰三角形時，的度數(shù)為．31．（2023秋?源匯區(qū)校級期中）如圖，在中，，，為中點，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則．32．（2023秋?德化縣期末）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，交于點，連接．若，，則的周長為．33．（2023秋?東港區(qū)校級期中）等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為．34．（2021秋?利辛縣期末）已知是等腰三角形但不是直角三角形，，若剪一刀，能將其分割成兩個等腰三角形，則的度數(shù)是．35．（2023秋?海淀區(qū)校級期中）定義：如果一個三角形的一條邊是另一條邊長度的兩倍，則稱這個三角形為倍長三角形．若等腰是倍長三角形，且一邊長為6，則的底邊長為．36．（2023秋?藁城區(qū)期末）如圖，是一個鋼架，，為使鋼架更牢固，需在其內(nèi)部焊接一些鋼管，如、、若焊接的鋼管的長度都與的長度相等，則最多能焊接根．37．（2023秋?深圳校級期末）如圖，已知在中，，，，平分，平分，與交于點，若過點的直線平分面積，那么的值為．38．（2022秋?瓊山區(qū)校級期末）如圖，在中，，的平分線交于點，，，則的面積是．39．（2023秋?裕華區(qū)期末）如圖，中．，，，若動點從點開始．按的路徑運動，且速度為每秒，設出發(fā)的時間為秒（1）若為直角三角形，則的取值是；（2）若為等腰三角形．則的值是．40．（2023秋?通州區(qū)期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線相交于點．若，則度．三．解答題41．（2022秋?昌黎縣期末）如圖，是的角平分線，、分別是和的高．（1）試說明垂直平分；（2）若，求證：．42．（2023秋?金安區(qū)校級期末）如圖所示，若和分別垂直平分和．（1）若的周長為12，求的長；（2），求的度數(shù)．43．（2023秋?龍山區(qū)期末）已知：在中，平分，平分．（1）如圖1，若，，求的度數(shù)．（2）如圖2，連接，作，，，求的面積．44．（2023秋?肅寧縣期中）如圖，與相交于點，且是的垂直平分線，于點，于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．45．（2022秋?南昌縣期末）如圖所示，中，，于點，于點，交于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若點是的中點，求證：．46．（2023秋?白云區(qū)校級期中）在中，，，平分，交于點，點與點關于直線對稱，連接，，延長交于點，過點作于．（1）補全圖形；（2）直接寫出、、之間的相等關系：；（3）求證：．47．（2023春?桃城區(qū)校級期末）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，垂足為．（1）求的周長；（2）若，求的度數(shù)．48．（2023秋?天津期末）在中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，與相交于點，的周長為6．（1）與的數(shù)量關系為．（2）求的長．（3）分別連接，，，若的周長為16，求的長．49．（2023?越秀區(qū)校級三模）如圖所示，，，，，求的大?。?0．（2022秋?思明區(qū)期末）如圖，為線段的垂直平分線，在線段上取一點，使得，在線段上取一點，使得，連接，．若，求證：．51．（2023?蓬江區(qū)校級三模）如圖，于，于，若，求證：平分．52．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）已知：如圖，在中，是的角平分線，，垂足為．求證：．53．（2023秋?合浦縣期中）如圖，在中，于點，垂直平分，交于點，交于點，連接，且．（1）若，求的度數(shù)；（2）若的周長為，，求的長．54．（2023秋?蛟河市期末）問題背景：如圖，在中，．在的延長線上取點，，作，使．（1）探究一：當時．①若，求的度數(shù)；②若，則的度數(shù)用含的式子表示為，的度數(shù)為．（2）探究二：若，直接寫出的度數(shù)．55．（2023秋?高新區(qū)校級期末）如圖，中，垂直平分，交于點，交于點，，垂足為，且，連接．（1）求證：；（2）若的周長為，，則的長為多少？56．（2023秋?杭州期中）已知：如圖，，，，在同一直線上，，．求證：．57．（2023秋?于都縣期中）如圖所示，、分別是的邊、上的點，且，．（1）若，則；（2）若，則；（3）設，，你能由（1）（2）中的結果找到、所滿足的關系嗎？請說明理由．58．（2022秋?濉溪縣期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，的周長是，求的長．59．（2022秋?瀘縣期末）如圖，在中，，，平分交于點，求的度數(shù)．60．（2022秋?梁山縣期末）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第96頁的部分內(nèi)容．定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．定理應用：如圖②，的周長是12，、分別平分和，于點，若，則的面積為．5.3簡單的軸對稱圖形贏在假期—北師大版七年級下冊寒假預習【原卷版】學習目標1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)；(重點)2．經(jīng)歷等腰三角形的探究過程，能初步運用等腰三角形的性質(zhì)解決有關問題．(難點)3．理解線段的垂直平分線的概念；4．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；(重點)5．能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算．(難點)6．經(jīng)歷角的平分線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，初步掌握角的平分線的性質(zhì)定理；(重點)7．能運用角的平分線性質(zhì)定理解決簡單的幾何問題．(難點)考點類型梳理及方法總結探究點：等腰三角形的性質(zhì)【類型一】利用“等邊對等角”求角度方法總結：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．【類型二】利用方程思想求等腰三角形的角度方法總結：利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可以得到角與角之間的關系，當這種等量關系或和差關系較多時，可考慮列方程解答，設未知數(shù)時，一般設較小的角的度數(shù)為x.【類型三】利用“等邊對等角”的性質(zhì)進行證明方法總結：證明線段的平行關系，主要是通過證明角相等或互補．【類型四】利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進行證明方法總結：在等腰三角形有關計算或證明中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．探究點：線段垂直平分線的性質(zhì)【類型一】利用線段垂直平分線的性質(zhì)進行證明方法總結：解題時，往往利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出線段相等，進而得出角相等，這體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想．【類型二】利用線段垂直平分線的性質(zhì)進行判斷方法總結：AB是CD的垂直平分線，它包含兩個方面的含義：一是AB與CD垂直，二是AB把CD分成相等的兩部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“單向”的．【類型三】與線段垂直平分線有關的計算方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．對相等的線段進行轉(zhuǎn)化是解答本題的關鍵．【類型四】線段垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．探究點：線段垂直平分線的作圖方法總結：對于作圖題首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．探究點一：角平分線的性質(zhì)【類型一】利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等方法總結：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個重要依據(jù)，在運用時一定要注意是兩條垂線段相等．【類型二】角平分線的性質(zhì)與三角形面積的綜合運用方法總結：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．【類型三】角平分線的性質(zhì)與全等三角形綜合方法總結：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．【類型四】角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線性質(zhì)的綜合運用方法總結：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．【類型五】角平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)綜合的探究性問題探究點：角平分線的畫法方法總結：通過本題要掌握角平分線的作圖步驟，根據(jù)作圖明確AM是∠BAC的角平分線是解題的關鍵．預習檢測一．選擇題1．（2023秋?安溪縣期末）如圖，在，的垂直平分線交于，若，，則的周長是A．8 B．9 C．10 D．11【分析】由的垂直平分線交于，可得，又由，，的周長，即可求得答案．【解答】解：的垂直平分線交于，，，，的周長是：．故選：．2．（2023秋?特克斯縣期中）如圖，點是平分線上一點，，垂足為，若，則點到邊的距離是A．2 B．3 C． D．4【答案】【分析】根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等即可得到答案．【解答】解：點是平分線上一點，，，點到邊的距離是2；故選：．3．（2023秋?衡陽期末）等腰三角形的一個角是，則它的頂角是A． B． C． D．或【答案】【分析】分這個角為頂角和底角，結合三角形內(nèi)角和定理可求得答案．【解答】解：當角為頂角時，則頂角為，當角為底角時，則兩個底角和為，求得頂角為，故選：．4．（2023秋?裕華區(qū)校級期末）如圖，在中，，，的垂直平分線與交于點，則的度數(shù)是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，結合圖形計算，得到答案．【解答】解：，，，是的垂直平分線，，，，故選：．5．（2023秋?杜爾伯特縣期末）已知等腰三角形的一個底角為，則這個等腰三角形的頂角為A． B． C． D．【答案】【分析】等腰三角形的特征：兩腰相等，兩底角也相等；再根據(jù)三角形內(nèi)角和是和底角是，進而求得它的頂角的度數(shù)．【解答】解：等腰三角形中的一個底角為，等腰三角形的兩底角相等，等腰三角形的頂角度數(shù)為：，故選：．6．（2023秋?青龍縣期末）等腰三角形的一個角為，則它的底角的度數(shù)為A． B． C．或 D．【答案】【分析】等腰三角形中相等的角叫底角，另外一個角叫頂角，所以本題有兩種情況．【解答】解：當為頂角時，底角為：．也可以為底角．故選：．7．（2023秋?宣化區(qū)期末）如圖，在中，，是邊上的中點，，則等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，再由的度數(shù)即可求出的度數(shù)．【解答】解：在中，已知，是邊上的中點，，，，，故選：．8．（2023秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，中，的垂直平分線交邊于點，的垂直平分線交邊于點，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，，，則，，從而可得，即可得到，即可得解．【解答】解：，，的垂直平分線交邊于點，的垂直平分線交邊于點，，，，，，．故選：．9．（2023秋?禹城市期中）如圖，射線平分，點、分別在射線、上，若，的面積為10，過點作于點，則的長為A．10 B．5 C．4 D．3【答案】【分析】過點作，垂足為，先根據(jù)三角形的面積求出的長，然后利用角平分線的性質(zhì)可得，即可解答．【解答】解：過點作，垂足為，，的面積為10，，，射線平分，，，，故選：．10．（2023秋?東莞市期末）如圖，平分，于點，點是射線上的一個動點．若，則的長不可能是A．4 B．3.5 C．2 D．1.5【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點到的距離等于，根據(jù)垂線段最短得到，然后對各選項進行判斷．【解答】解：平分，，點到的距離等于，即點到的距離為2，．故選：．11．（2023秋?咸安區(qū)期末）如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為13，的周長為A．16 B．13 C．19 D．10【答案】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：是的垂直平分線，，，，的周長為13，，的周長，故選：．12．（2022秋?金平縣期末）如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應建在三角形草坪A．三條角平分線的交點處 B．三條中線的交點處 C．三條高的交點處 D．三條邊的垂直平分線的交點處【答案】【分析】首先理解涼亭到草坪三條邊的距離相等的意義，而角平分線上的點到角兩邊的距離相等，從而得出的角平分線交于三角形內(nèi)一點，判斷它到三角形各邊的距離是否相等，問題即可解答．【解答】解：因為角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以涼亭的位置應為三條角平分線的交點．故選：．13．（2023秋?四平期末）等腰三角形的頂角為，則它的一個底角是A． B． C． D．【分析】根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等即可得出結論．【解答】解：一個等腰三角形的頂角為，它的底角．故選：．14．（2023?綿陽）如圖，在等邊中，是邊上的中線，延長至點，使，若，則A． B．6 C．8 D．【答案】【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)，得，，，再根據(jù)，得，進而得，則，然后在中，由勾股定理求出即可．【解答】解：為等邊三角形，，，是邊上的中線，，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，．故選：．15．（2023秋?官渡區(qū)期末）已知等腰三角形的一內(nèi)角度數(shù)為，則它的頂角的度數(shù)為A． B． C． D．或【分析】分類討論，①若是頂角；②若是底角，再結合等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理可求度數(shù)．【解答】解：①若是頂角，則底角；②若是底角，那么頂角．故選：．16．（2022秋?海滄區(qū)校級期末）如圖，在四邊形中，，平分，，，則的面積是A．3 B．4 C．6 D．12【答案】【分析】過點作交的延長線于點，由角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【解答】解：如圖，過點作交的延長線于點，平分，，，，，．故選：．17．（2023秋?合江縣期中）一個等腰三角形的兩邊長分別為5和9，則這個三角形的周長是A．19 B．23 C．19或23 D．20【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：①當腰長為5時，②當腰長為6時，解答出即可．【解答】解：根據(jù)題意，①當腰長為5時，周長；②當腰長為9時，周長．故其周長為19或23，故選：．18．（2023秋?章貢區(qū)期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為、，則該等腰三角形的周長是A． B． C．或者 D．【答案】【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為和，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：①為腰，為底，此時周長為；②為底，為腰，則兩邊和小于第三邊無法構成三角形，故舍去．其周長是．故選：．19．（2022秋?費縣期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為6和1，則這個等腰三角形的周長為A．13 B．8 C．10 D．8或13【答案】【分析】根據(jù)腰為6和1，分類求解，注意根據(jù)三角形的三邊關系進行判斷．【解答】解：當?shù)妊切蔚难鼮?時，三邊為1，1，6，，三邊關系不成立，當?shù)妊切蔚难鼮?時，三邊為1，6，6，三邊關系成立，周長為．故選：．20．（2023秋?西豐縣期末）如圖，中，是的角平分線，，是中點，連接，若，，，則的面積為A．7.5 B．8 C．9 D．12【答案】【分析】過點作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而得到，再由是中點，即可求解．【解答】解：如圖，過點作于點，是的角平分線，，，，，是中點，，故選：．二．填空題21．（2023秋?惠州期末）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點、，再分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是15．【分析】作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解答】解：如圖，作于，由基本尺規(guī)作圖可知，是的角平分線，，，，的面積，故答案為：15．22．（2023秋?黔江區(qū)期末）等腰三角形的周長為，其中一邊長為，則該等腰三角形的底邊為或．【分析】分長的邊是腰和底邊兩種情況進行討論即可求解．【解答】解：當長是的邊是底邊時，三邊為，，，等腰三角形成立；當長是的邊是腰時，底邊長是：，等腰三角形成立．故底邊長是：或．故答案為：或23．（2023?九龍坡區(qū)校級開學）如圖，中，、兩點分別在、上，為的中垂線，為的角平分線，若，則62．【答案】62．【分析】首先根據(jù)角平分線定義得到．結合為的中垂線，可得．然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于，結合，可以得到的度數(shù)，即可得的答案．【解答】解：為的角平分線，．為的中垂線，，，，又，．，，且的內(nèi)角和為，，，，，答的度數(shù)為．故答案為：62．24．（2023秋?江都區(qū)期末）等腰三角形的兩邊、滿足，那么這個三角形的周長是12．【分析】通過等式可以判斷，的長度，已知等腰三角形的兩邊，通過兩邊相等及構造條件可以判斷三邊，求出周長即可．【解答】解：因為，所以，．又因為是等腰三角形，所以三邊長為5，5，2，2或2，2，5（不滿足三角形構造條件，舍去）所以周長為．故填12．25．（2023秋?永春縣校級月考）等腰三角形兩條邊長分別為和，則該等腰三角形的周長為．【答案】．【分析】由于未說明兩邊哪個是腰哪個是底，故需分情況討論，從而得到其周長．【解答】解：當?shù)妊切蔚难鼮?，底為時，，，不能夠組成三角形；當?shù)妊切蔚难鼮?，底為時，，，能夠組成三角形，此時周長為．則這個等腰三角形的周長是．故答案為：．26．（2023秋?博爾塔拉州期末）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為17．【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和7，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：（1）若3為腰長，7為底邊長，由于，則三角形不存在；（2）若7為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為．故答案為：17．27．（2022秋?南寧期末）在中，，平分，一個等邊三角形如圖擺放，交于點．若，，則等邊三角形的邊長為5．【答案】5．【分析】設，先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，從而列出關于的方程進行計算，即可解答．【解答】解：設，，平分，，，是等邊三角形，，，，，，，解得：，，等邊三角形的邊長為5，故答案為：5．28．（2023秋?雙橋區(qū)校級期末）如圖，是的角平分線，于點，于點，點是上的點，點是上的點．（1）與是否相等？是（填“是”或“否”；（2）若，則．【答案】是180【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，判斷作答即可；（2）證明，可求，根據(jù)，計算求解即可．【解答】解：（1）是的角平分線，，，，故答案為：是；（2）在與中，，，，，，，故答案為：180．29．（2023秋?中江縣期末）如圖，在∠AOB的邊OA，OB上取點M，N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則△OMN的周長是12．【答案】12．【分析】過P作PH⊥MN與H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，連接PO，由角平分線的性質(zhì)得到PL＝PH，PK＝PH，因此PL＝PK，由三角形面積公式求出PH＝2，得到PK＝PL＝2，由△OMN的面積+△PMN的面積＝△POM的面積+△PON的面積＝（OM+ON）?PK＝10，求出OM+ON＝10，即可得到△OMN的周長＝OM+ON+MN＝10+2＝12．【解答】解：過P作PH⊥MN與H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，連接PO，∵PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，∴PL＝PH，PK＝PH，∴PL＝PK，∵MN＝2，△PMN的面積＝MN?PH＝2，∴PH＝2，∴PK＝PL＝2，∵△POM的面積＝OM?PL，△PON的面積＝ON?PK，∴△OMN的面積+△PMN的面積＝△POM的面積+△PON的面積＝（OM+ON）?PK＝8+2＝10，∴OM+ON＝10，∴△OMN的周長＝OM+ON+MN＝10+2＝12．故答案為：12．30．（2022秋?曾都區(qū)期末）如圖，在中，，，點在線段上運動（點不與、重合），連接，作，交于點，當為等腰三角形時，的度數(shù)為或．【答案】或．【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，然后分三種情況：當時，當時，當時，分別進行計算即可解答．【解答】解：，，，，分三種情況：當時，，是的一個外角，，此種情況不符合題意；當時，，；當時，，；綜上所述：的度數(shù)為或，故答案為：或．31．（2023秋?源匯區(qū)校級期中）如圖，在中，，，為中點，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則10．【答案】10．【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：，，為中點，為的角平分線，，到的距離到的距離，，的面積記為，的面積記為，則，故答案為：10．32．（2023秋?德化縣期末）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，交于點，連接．若，，則的周長為15．【答案】15．【分析】先根據(jù)作圖痕跡可得是線段的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)證得即可求解．【解答】解：根據(jù)作圖痕跡，是線段的垂直平分線，，，，的周長為，故答案為：15．33．（2023秋?東港區(qū)校級期中）等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為或．【答案】或．【分析】分8為腰長和底邊長，兩種情況進行討論即可．【解答】解：當8為腰長時，等腰的周長為20，的底邊長為：，“優(yōu)美比”為；當8為底邊長時，的腰長為：，“優(yōu)美比”為；故答案為：或．34．（2021秋?利辛縣期末）已知是等腰三角形但不是直角三角形，，若剪一刀，能將其分割成兩個等腰三角形，則的度數(shù)是或或．【答案】或或．【分析】題中沒有指明直線是經(jīng)過頂角的頂點還是底角的頂點，故應該分情況進行分析，從而不難求解．【解答】解：分兩種情況討論：①當直線通過等腰三角形的頂點時，頂角為；圖1，，，，，，設；，，，，；②當直線通過等腰三角形的底角頂點時，頂角：、，圖，，，，，，，，，圖，，．同理可得，綜上所述，的度數(shù)是或或．故答案為：或或．35．（2023秋?海淀區(qū)校級期中）定義：如果一個三角形的一條邊是另一條邊長度的兩倍，則稱這個三角形為倍長三角形．若等腰是倍長三角形，且一邊長為6，則的底邊長為3或6．【分析】由倍長三角形的定義，分兩種情況討論，即可求解．【解答】解：等腰是倍長三角形，腰長底邊長的2倍或底邊長腰長的2倍，如果腰長是6，底邊長是3或12，，此時不能構成三角形，底邊長是3，腰長是6；如果底邊長是6，腰長是12或3，，此時不能構成三角形，底邊長是6，腰長是12，的底邊長是3或6．故答案為：3或6．36．（2023秋?藁城區(qū)期末）如圖，是一個鋼架，，為使鋼架更牢固，需在其內(nèi)部焊接一些鋼管，如、、若焊接的鋼管的長度都與的長度相等，則最多能焊接17根．【答案】17．【分析】根據(jù)已知利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，找出圖中存在的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律及三角形的內(nèi)角和定理不難求解．【解答】解：添加的鋼管長度都與相等，，，，從圖中我們會發(fā)現(xiàn)有好幾個等腰三角形，即第一個等腰三角形的底角是，第二個是，第三個是，第四個是，第五個是，第六個是，第七個是，第八個是，，第十八個是就不存在了．所以一共有17個．故答案為：17．37．（2023秋?深圳校級期末）如圖，已知在中，，，，平分，平分，與交于點，若過點的直線平分面積，那么的值為6．【答案】6．【分析】過點作于點，于點，于點，如圖，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再利用勾股定理計算出，利用三角形面積公式計算出，由于，所以，從而可求出，然后利用得到，所以．【解答】解：過點作于點，于點，于點，如圖，平分，平分，與交于點，，，，，，，，，，，即，解得，點的直線平分面積，，，．故答案為：6．38．（2022秋?瓊山區(qū)校級期末）如圖，在中，，的平分線交于點，，，則的面積是18．【答案】18．【分析】過作于，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的面積求出即可．【解答】解：過作于，，，平分，，的面積是，故答案為：18．39．（2023秋?裕華區(qū)期末）如圖，中．，，，若動點從點開始．按的路徑運動，且速度為每秒，設出發(fā)的時間為秒（1）若為直角三角形，則的取值是或；（2）若為等腰三角形．則的值是．【答案】（1）或；（2）3秒或5.4秒或6秒或．【分析】（1）當點在線段上，或時，滿足條件；（2）先根據(jù)勾股定理計算出，然后分類討論：當時，為等腰三角形，若點在上得，若點在上，則；當時，為等腰三角形，作于，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，則可判斷為的中位線，則，易得；當時，為等腰三角形，則，易得．【解答】解：（1），動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，在上運動時為直角三角形，當在上時，時，為直角三角形（如圖1中），，，解得：，，，速度為每秒，，綜上所述：當或，為直角三角形；故答案為：或；（2），，，，當時，為等腰三角形，若點在上，；若點在上，，作于，如圖，，在中，，則，，此時；當時，為等腰三角形，作于，如圖，則，為的中位線，，即，；當時，為等腰三角形，即，，，綜上所述，為或或或時，為等腰三角形．故答案為：3秒或5.4秒或6秒或．40．（2023秋?通州區(qū)期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線相交于點．若，則140度．【答案】140．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，所以，，結合圖形計算即可．【解答】解：如圖，連接，邊，的垂直平分線相交于點，，，，，，，，．故答案為：140．三．解答題41．（2022秋?昌黎縣期末）如圖，是的角平分線，、分別是和的高．（1）試說明垂直平分；（2）若，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得，再由，得，從而證明結論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)即可得到結論．【解答】（1）解：是的角平分線，、分別是和的高，，在與中，，，，，垂直平分；（2）證明：，，，，，，，垂直平分，，，．42．（2023秋?金安區(qū)校級期末）如圖所示，若和分別垂直平分和．（1）若的周長為12，求的長；（2），求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，，然后求出的周長，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；（2）根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再求解即可．【解答】解：（1）和分別垂直平分和，，，的周長，的周長為12，；（2），，，，，，．43．（2023秋?龍山區(qū)期末）已知：在中，平分，平分．（1）如圖1，若，，求的度數(shù)．（2）如圖2，連接，作，，，求的面積．【答案】（1）；（2）2．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算的度數(shù)；（2）作于，于，如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形面積公式計算的面積．【解答】解：（1）平分，，平分，，；（2）作于，于，如圖2，平分，，，，平分，，，，的面積．44．（2023秋?肅寧縣期中）如圖，與相交于點，且是的垂直平分線，于點，于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）7．【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，進而利用證明，即可證明；（2）由（1）得，則，由全等三角形的性質(zhì)得到，再證明，即可得到．【解答】（1）證明：是的垂直平分線，，，在和中，，，；（2）解：由（1）得，，，，，，，，在和中，，，．45．（2022秋?南昌縣期末）如圖所示，中，，于點，于點，交于．（1）若，求的度數(shù)；（2）若點是的中點，求證：．【分析】（1）求得的度數(shù)后利用四邊形的內(nèi)角和定理求得結論即可；（2）連接，根據(jù)，且點是的中點，得到，，證得后即可證得．【解答】解：（1），，，，，在中，，，，．（2）連接，且點是的中點，，，，，，．46．（2023秋?白云區(qū)校級期中）在中，，，平分，交于點，點與點關于直線對稱，連接，，延長交于點，過點作于．（1）補全圖形；（2）直接寫出、、之間的相等關系：；（3）求證：．【答案】（1）見詳解；（2）．證明見詳解；（3）見詳解．【分析】（1）根據(jù)題干做法畫出圖形即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形和角平分線的性質(zhì)，可得；（3）延長交于點，連接，利用和全等得到，再用三線合一得到等量代換即可得到結果．【解答】（1）解：補全圖形如圖：（2）解：，理由如下：如圖，過點作于點，平分，，，，，，，，，，即：．故答案為：．（3）證明：如圖，延長交于點，連接，點與點關于直線對稱，，，，，，，，，，在和中，，和，，在中，，，，，平分，（三線合一），，即．47．（2023春?桃城區(qū)校級期末）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，垂足為．（1）求的周長；（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得到的周長；（2）根據(jù)等腰三角形的“兩個底角相等”得到，所以由三角形內(nèi)角和定理易求的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，是的垂直平分線，，，，的周長是：；（2）如圖，，，，又，，．48．（2023秋?天津期末）在中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，與相交于點，的周長為6．（1）與的數(shù)量關系為．（2）求的長．（3）分別連接，，，若的周長為16，求的長．【答案】（1）；（2）6；（3）5．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等解答；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計算即可；（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）是線段的垂直平分線，，故答案為：；（2）是線段的垂直平分線，，的周長為6，，，即；（3）是線段的垂直平分線，，是線段的垂直平分線，，，的周長為16，，，．49．（2023?越秀區(qū)校級三模）如圖所示，，，，，求的大小．【答案】．【分析】由可得，根據(jù)可證，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：，，即，在與中，，，．50．（2022秋?思明區(qū)期末）如圖，為線段的垂直平分線，在線段上取一點，使得，在線段上取一點，使得，連接，．若，求證：．【答案】見解析．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，進而證明，得出是等腰的頂角的角平分線，即可得證．【解答】證明：為線段的垂直平分線，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，是等腰三角形，，是的頂角的角平分線，．51．（2023?蓬江區(qū)校級三模）如圖，于，于，若，求證：平分．【分析】由于，于，若，，即可判定，則可得，然后由角平分線的判定定理，即可證得平分．【解答】證明：，，，在和中，，，，在與中，，，，平